余弦定理(二).doc

1.1.2余弦定理（二）
知识梳理
1.在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，则有：
(1) , (2) , , (3) ,
2.正弦定理及其变形 (1) (2) , ,
(3) , (4)
3. 余弦定理及其推论（1） （2） (3)在中， ; ; .
自主探究
在中，已知两边及其中一边的对角，解三角形.一般情况下，先用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数.对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形请结合下面的例子加以探究.
例：在中，（1）若，求及的值；（2）若，求边c.
变式训练：在中，若,满足条件的三角形有几个？
对点讲练
一、利用正、余弦定理证明三角恒等式
例1：在中，求证：.
变式训练1：在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，求证：.

二、利用正、余弦定理判断三角形形状
例2：在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，如果,试判断三角形形状.
变式训练2：在中，已知，且,试判断三角形形状.

三、利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
例3：在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，,且
(1)求的面积；（2）若，求角C.
变式训练3：在中，，已知.角A、B、C所对的边分别是a,b,c.
（1）求的值；（2）设,求的值.

课堂小结
1、解斜三角形常见题型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个（至少有一边）才能求解，常见题型及解法见下表：
已知条件
应用
定理
一般解法
一边和两角
（如,）
正弦
定理
由求角A;由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.
两边和夹角
（如,）
正弦
定理
余弦
定理
由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由求另一角.在有解时只有一解.
三边（）
余弦
定理
由余弦定理求出角A、B;再利用,求出角C.在有解时只有一解.
两边和其中一边的对角
（如,）
正弦
定理
余弦
定理
由正弦定理求出角B; 由,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.
2、根据所给条件确定三角形形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
当堂练习
1、在四边形ABCD中，已知,,求BC的长.
2、在中，若,试判断三角形形状.
3、在中，若,试判断三角形形状.
4、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，且满足.(1)求角B的值；（2）若求的值.
课时作业
1、在中，若,则三角形形状一定是（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
2、在中，若，则B等于（ ）
A、60 B、45或135 C、120 D、30
3、在中，若,则三角形形状一定是（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
4、在中，若，则A是（ ）A、锐角 B、钝角 C、直角 D、60
5、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新的三角形的形状是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、由增加的长度决定
6、已知的面积等于,则的周长是
7、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，若，并且A为锐角，则为 三角形.
8、在中，,,则
9、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，求证：.
10、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c且，判断三角形形状.
11、在中，.(1)求边BC的长；（2）记AB的中点为D,求中线CD的长.