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高二数学简单的线性规划高二数学简单的线性规划2 设设z=2x+y，式中变量，式中变量x、y满足下列条件满足下列条件 求求z的最大值和最小值的最大值和最小值 分分析析：从从变变量量x、y所所满满足足的的条条件件来来看看，变变量量x、y所所满满足足的的每每个个不不等等式式都都表表示示一一个个平平面面区区域域，不不等等式式组组则则表示这些平面区域的公共区域表示这些平面区域的公共区域xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC 分分析析：不不等等式式组组表表示示的的区区域域是是图图中的中的 ABCxyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC 从图上可看出，点从图上可看出，点(0，0)不在以不在以上公共区域内，当上公共区域内，当x=0，y=0时，时，t=2x+y=0 点点(0，0)在直线在直线l0：2x+y=0上上xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC 作作一一组组与与直直线线l0平平行行的的直直线线(或或平平行行移动直线移动直线l0)l：2x+y=t，t R 可可知知，当当在在l0的的右右上上方方时时，直直线线上上的点的点(x，y)满足满足2x+y 0，即，即t 0 xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC而且而且,直线直线l往右上平移时往右上平移时,t随之增大随之增大 在在经经过过不不等等式式组组所所表表示示的的公公共共区区域域内内的的点点且且平平行行于于l的的直直线线中中，以以经经过过点点A(5，2)的直线的直线l2所对应的所对应的t最大，最大，l2大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点 以以经经过过点点B(1，1)的的直直线线l1所所对对应应的的t最最小小所所以以：zmax=2 5+2=12，zmin=2 1+3=3xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABCl2l1 在在上上述述问问题题中中，不不等等式式组组是是一一组组对对变变量量x、y的的约约束束条条件件，由由于于这这组组约约束束条条件件都都是是关关于于x、y的的一一次次不不等等式式，所所以以又又可可称称其其为为线线性性约约束束条条件件z=2x+y是是欲欲达达到到最最大大值值或或最最小小值值所所涉涉及及的的变变量量x、y的的解解析析式式，我我们们把把它它称称为为目目标标函函数数由由于于z=2x+y又又是是关关于于x、y的的一一次次解解析析式式，所所以以又又可可叫叫做做线线性目标函数性目标函数线性规划的有关概念：线性规划的有关概念：注注意意：线线性性约约束束条条件件除除了了用用一一次次不不等式表示外，也可用一次方程表示等式表示外，也可用一次方程表示 一一般般地地，求求线线性性目目标标函函数数在在线线性性约约束束条条件件下下的的最最大大值值或或最最小小值值的的问问题题，统称为线性规划问题例如：统称为线性规划问题例如：我我们们刚刚才才研研究究的的就就是是求求线线性性目目标标函函数数z=2x+y在在线线性性约约束束条条件件下下的的最最大大值值和和最最小小值值的的问问题题，即即为为线线性性规规划划问题问题线性规划的有关概念：线性规划的有关概念：满满足足线线性性约约束束条条件件的的解解(x，y)叫叫做做可可行行解解，由由所所有有可可行行解解组组成成的的集集合合叫叫做做可可行行域域在在上上述述问问题题中中，可可行行域域就就是是阴阴影影部部分分表表示示的的三三角角形形区区域域其其中中可可行行解解(5，2)和和(1，1)分分别别使使目目标标函函数数取取得得最最大大值值和和最最小小值值，它它们们都都叫叫做这个问题的最优解做这个问题的最优解线性规划的有关概念：线性规划的有关概念：例例1已知已知x、y满足满足 ，试求试求z=300 x+900y的最大值的最大值典型例题：典型例题：分分析析：先先画画出出平平面面区区域域，然然后后在在平平面面区区域域内内寻寻找找使使z=300 x+900y取最大值时的点取最大值时的点 例例1已知已知x、y满足满足 ，试求试求z=300 x+900y的最大值的最大值典型例题：典型例题：解解：作作出出可可行行域域，见见图图中中四四边边形形AOBC表表示示的的平平面面区域区域x+2y=2502x+y=300 xy250150COBA典型例题：典型例题：作出直线作出直线l0：300 x+900y=0，即，即x+3y=0，将它平移至点将它平移至点A，显然，点显然，点A的坐标是可的坐标是可行域中的最优解，它使行域中的最优解，它使z=300 x+900y达到最大值达到最大值 易得点易得点A(0，125)，所以，所以z max=3000+900125=112500l0：x+3y=0 xy250150COBAx+2y=2502x+y=300解线性规划解线性规划问题问题的的基本基本步骤：步骤：第一步：在平面直角坐标系中作第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；出可行域；第二步：在可行域内找出最优解第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值求出目标函数的最大值或最小值典型例题：典型例题：变变题题1：在在例例1中中，若若目目标标函函数数设设为为z=400 x+300y，约约束束条条件件不不变变，则则z的的最最大大值值在点在点C处取得处取得 l0：4x+3y=0 xy250150COBAx+2y=2502x+y=300 变变题题2：若若目目标标函函数数设设为为z=300 x+600y，约约束束条条件件不不变变，则则z的的最最大大值值可可在线段在线段AC上任一点处取得等等上任一点处取得等等 事事实实上上，可可行行域域内内最最优优解解对对应应的的点点在在何何处处，与与目目标标函函数数z=ax+by(a 0，b 0)所所确确定定的的直直线线l0：ax+by=0的斜率的斜率()有关有关 就就本本例例而而言言，若若 =(直直线线x+2y=250的的斜斜率率)，则则线线段段AC上上所所有有点点都都使使z取取得得最最大大值值(如如：z=300 x+600y时时)；当当 0时，点时，点A处使处使z取得取得最大值最大值(比如：例比如：例1)；当；当 2 时，点时，点C处使处使z取得最大值取得最大值(比如：比如：z=400 x+300y时时)，其它情况请同学们课外思考其它情况请同学们课外思考 例例2 求求z=600 x+300y的最大值，使的最大值，使式式中的中的x，y满足约束条件满足约束条件 典型例题：典型例题：分分析析：画画出出约约束束条条件件表表示示的的平平面面区区域即可行域再解域即可行域再解xyO252100CBA3x+y=300 x+2y=2522x+y=0 z max=60070+300900=69000 例例3 已知已知x、y满足不等式组满足不等式组求求z=3x+y的最小值的最小值典型例题：典型例题：分析：可先找出可行域分析：可先找出可行域,平行移动直线平行移动直线l0：3x+y=0，找出可行解，进而，找出可行解，进而求出目标函数的最小值求出目标函数的最小值.z min=1 2x+y=1xy20.5OPx+2y=2l0：3x+y=0 1满足线性约束条件满足线性约束条件的可行域内共有的可行域内共有_个整数点个整数点 4 2设设z=x y，式中变量，式中变量x，y满足满足求求z的最大值和最小值的最大值和最小值z max=1，z min=3练习：练习：小结小结 3教材教材P64练习练习1：(1)求求z=2x+y的最大值，使式的最大值，使式中的中的x、y 满足约束条件满足约束条件练习：练习：小结小结xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0 x+y-1=0 x-y=0CBAO21-1-2-1123z max=3 3教材教材P64练习练习1：(2)求求z=3x+5y的最大值和最小的最大值和最小值，使值，使x、y满足约束条件满足约束条件练习：练习：小结小结xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0 x-y+1=0CBAO3x-5y-3=0-1-115z max=14，z min=11.小结小结 用图解法解决简单的线性规用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：划问题的基本步骤：1根据线性约束条件画出可行根据线性约束条件画出可行域域(即不等式组所表示的公共区域即不等式组所表示的公共区域)；2设设t=0，画出直线，画出直线l0 3观察、分析，平移直线观察、分析，平移直线l0，从，从而找到最优解而找到最优解 4最后求得目标函数的最大值或最后求得目标函数的最大值或最小值最小值