八年级下册数学上饶数学期末试卷(培优篇)(Word版含解析).doc

八年级下册数学上饶数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）
一、选择题
1．若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么以3a，3b，3c为三边长的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠D
C．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC
4．甲、乙两人一周中每天制作工艺品的数量如图所示，则对甲、乙两人每天制作工艺品数量描述正确的是（ ）

A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲与乙一样稳定 D．无法确定
5．如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（ ）

A．246 B．296 C．592 D．以上都不对
6．如图，菱形中，是的垂直平分线，，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝7，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．18
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点与坐标原点重合，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，下列图像能表示与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．函数中x的取值范围是______．
10．菱形的周长为，它的一个内角为，则菱形的面积为______．
11．若一个直角三角形的两边长分别是3和4，那么以斜边为边长的正方形的面积为______.
12．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝10，则BD的长为_______．

13．一次函数的图象与轴的交点是，则______．
14．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝CD，当AB＝_________时，四边形ABCD为菱形．

15．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________．

16．已知，则________．
三、解答题
17．计算题．
（1）；
（2）﹣；
（3）（）0+（﹣）﹣2+﹣；
（4）（）×6．
18．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

19．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．

（1）小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路；
（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接BF、CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形．
（2）当D点为AB的中点时，判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

21．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 ，i4＝　 ，i+i2+i3+…+i2021＝　 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求的最小值．
22．已知某列货车挂有A，B两种不同规格的货车厢共60节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元，设使用该列车全部车厢的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若使用该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢多少节？
23．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图，，点为边上一定点，点为边上一动点，以为一边在∠MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图、、中线段、、和的长，他们猜想的周长是长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图，过点作，垂足为点
则

又四边形正方形，
，
则

在与中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、与长度之间的等量关系为 ．

24．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，在线段上有一点（点不与点、点重合），将沿折叠，使点落在上，记作点，在上方，以为斜边作等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，在平面内是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与全等（点不与点重合），若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．

25．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．
（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；
（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．
①求证：点M是CD的中点；②求x的值．
（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．

【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求的的取值范围．
【详解】
代数式有意义，
．
解得．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次分式有意义的条件是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理逆定理判断即可；
【详解】
∵直角三角形的三边长分别为a，b，c，假设c为斜边，
∴，
∴，
∴以3a，3b，3c为三边长的三角形是直角三角形；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，准确分析判断是解题的关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
【详解】
解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据折线统计图得出甲、乙每天制作的个数，从而得出两组数据之间的关系，继而得出方差关系．
【详解】
解：由折线统计图知，甲5天制作的个数分别为15、20、15、25、20，
乙5天制作的个数分别为10、15、10、20、15，
∴甲从周一至周五每天制作的个数分别比乙每天制作的个数多5个，
∴甲、乙制作的个数稳定性一样，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了利用方差进行决策，准确分析判断是解题的关键．
5．A
解析：A
【详解】
解：连接BD．
∵∠C=90°，BC=12，CD=16，
∴BD==20，
在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，
152+202=252，
即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB•BD+BC•CD
=×15×20+×12×16
=150+96
=246．
故选A．

6．A
解析：A
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得出，，，再根据是的垂直平分线，可得出，因此，，可推出
，最终得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】
本题考查的知识点是菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得出，是解此题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求得,进而求得三角形的周长．
【详解】
解：∵点D，E分别AB、BC的中点，AC＝7，
∴DE＝AC＝3.5，
同理，DF＝BC＝2.5，EF＝AB＝3，
∴△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝9，
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，理解三角形中位线定理是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先根据矩形的性质得到OA=BC=6，OC=AB=4，再分三种情况：点P在OA、AB、BC边上时，分别求出函数解析式，即可得到图象.
【详解】
∵矩形的顶点，,
∴OA=BC=6，OC=AB=4，
当点P在OA边上即0≤t<3时，，
当点P在AB边上即3≤t<5时，，
当点P在BC边上即5≤t≤8时，，
故选：B .
【点睛】
此题考查函数图象，正确理解题意分段求出函数解析式是解题的关键.
二、填空题
9．x＞﹣2且x≠1．
【解析】
【分析】
从二次根式，分式，零指数幂三个角度去思考求解即可．
【详解】
由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．
故答案为：x＞﹣2且x≠1．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，熟练上述基本条件是解题的关键．
10．A
解析：
【解析】
【分析】
由菱形的性质和已知条件得出
,由含30°角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出OA,可得BD，AC的长度，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
如图所示:、

∵AB= BC= CD= DA，
，，

∵菱形的周长为12,
∴，
∴，
∴
∴,

∴菱形的面积
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30° 角的直角三角形的性质、勾股定理;熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．25或16
【解析】
【分析】
分两种情况考虑：若4为直角边，利用勾股定理求出斜边；若4为斜边，利用勾股定理求出第三边，分别求出斜边边长的正方形面积即可.
【详解】
解：分两种情况考虑：
若4为直角边，根据勾股定理得：斜边为＝5，此时斜边为边长的正方形面积为25；
若4为斜边，此时斜边为边长的正方形面积为16，
综上，以斜边为边长的正方形的面积为为25或16.
故答案为：25或16
【点睛】
本题考查勾股定理,分类讨论利用勾股定理算出第三边是解题关键.
12．B
解析：20
【分析】
先根据矩形的性质和∠BOC=120∘，证明△AOB是等边三角形，即可得到OB=AB=10，BD=2OB=20.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120∘，
∴∠AOB=60∘，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=10，
∴BD=2OB=20；
故答案为：20.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．3
【分析】
将（0，3）代入一次函数解析式中即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】
解：∵函数的图象经过，
∴3＝0+m，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：代入点的坐标找出关于m的一元一次方程．
14．B
解析：BC（答案不唯一）
【分析】
首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD或AB=BC．
【详解】
解：可添加的条件为AB=AD或BC．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB（或AB=BC），
∴四边形ABCD为菱形．
故答案是：AD或BC．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
15．(2，0)或（5，0）
【分析】
先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．
【详解】
与轴交
解析：(2，0)或（5，0）
【分析】
先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．
【详解】
与轴交于点，
∴y=0，x=-1，
∴A(-1，0)，
直线与直线交于点，
，
解得，
∴B（2，3），
当点C为直角顶点时，
∴BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
B、C横坐标相同，C（2，0），
当点B为直角顶点时，
∴BC⊥AB，
，k=1，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=，
AC==6，
AO=1，
CO=AC-AO=5，
C（5，0），
C点坐标为（2，0）或（5，0）．
故答案为：（2，0）或（5，0）．

【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键．
16．##
【分析】
首先将通分为，然后将代入求解即可．
【详解】
解：，
将代入，
原式＝
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了分式的通分运算，代数式求值问题，完全平方公式的变形，解题的关键是将利用分
解析：##
【分析】
首先将通分为，然后将代入求解即可．
【详解】
解：，
将代入，
原式＝
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了分式的通分运算，代数式求值问题，完全平方公式的变形，解题的关键是将利用分式的性质和完全平方公式进行通分．
三、解答题
17．（1）（2）（3）-1（4）6
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）根据实数的混合运算法则即可求解；
（4）根据二次根式的混合运算
解析：（1）（2）（3）-1（4）6
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）根据实数的混合运算法则即可求解；
（4）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】
（1）
=
=
（2）﹣；
=
=
=
（3）（）0+（﹣）﹣2+﹣
=1+4-2-4
=-1
（4）（）×6
=
=6．
【点睛】
此题主要考查二次根式与实数的运算，解题的关键是熟知负指数幂与二次根式的运算法则．
18．（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC
解析：（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝=（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，
∴1.52＋B′C2＝2.52，
∴B′C＝2（m），
∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出三角形三边的长，然后用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）过A点作于，过作于，然后证明≌，得到，在证明即可得到答案.
【详解
解析：（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出三角形三边的长，然后用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）过A点作于，过作于，然后证明≌，得到，在证明即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵，
，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
（2）过A点作于，过作于，

由图可知：，，，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（1）见解析；（2）四边形CDBF是菱形，理由见解析
【分析】
（1）证△CEF≌△BED（ASA），得CF=BD，再由CF∥DB，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的直线性质得CD=DB，即
解析：（1）见解析；（2）四边形CDBF是菱形，理由见解析
【分析】
（1）证△CEF≌△BED（ASA），得CF=BD，再由CF∥DB，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的直线性质得CD=DB，即可证平行四边形CDBF是菱形．
【详解】
（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD，
∵E是BC中点，
∴CE=BE，
在△CEF和△BED中，

∴△CEF≌△BED（ASA），
∴CF=BD，
又∵CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）解：四边形CDBF是菱形，理由如下：
∵D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=AB=BD，
由（1）得：四边形CDBF是平行四边形，
∴平行四边形CDBF是菱形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△CEF≌△BED是解题的关键，属于中考常考题型．
21．（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所
解析：（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；
（3）根据题目已知条件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．
【详解】
（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S＝i+i2+i3+…+i2021，
iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，
∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，
∴S＝，
故答案为﹣i，1，；
（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）
＝3﹣i+4﹣4﹣9
＝﹣i﹣6；
（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，
∴a＝4，b＝3，
∴＝，
∴的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，
∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，
∴A'B＝＝25，
∴的最小值为25．
【点睛】
此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（1）y＝﹣0.2x+48；（2）该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【分析】
（1）先变换单位，设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，根据题意列出
解析：（1）y＝﹣0.2x+48；（2）该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【分析】
（1）先变换单位，设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，根据题意列出函数关系式；
（2）根据用该列车全部车厢的总费用少于45万元列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）6000元＝0.6万元，8000元＝0.8万元，
设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，
依题意，得y＝0.6x+0.8（60﹣x）＝﹣0.2x+48；
（2）由题意，得﹣0.2x+48＜45，
解得：x＞15，
∵x为正整数，
∴x的最小值为16，
答：该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
23．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．
【分析】
（1）通过测量可得；
（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由
解析：（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．
【分析】
（1）通过测量可得；
（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；
（3）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得结论．
【详解】
解：（1）△AEF的周长是OA长的2倍，
故答案为：2；
（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，

则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO，
在△BCG与△ABO中，
，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG=AO，CG=BO，
∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，
∴四边形CGOF是矩形，
∴CF=GO，CG=OF=OB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO；
（3）如图5，过点C作CG⊥ON于点G，

则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO，
在△BCG与△ABO中
，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG=AO，BO=CG，
∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，
∴四边形CGOF是矩形，
∴CF=GO，CG=OF=OB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE，
∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO）=OA+OB-（OB-OA）=2OA．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24．（1）；（2），；（3），或，或，．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法，即可得出结论；
（2）先求出，，进而求出点的坐标，再构造出，得出，，设，进而建立方程组求解，即可得出结论；
（3）
解析：（1）；（2），；（3），或，或，．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法，即可得出结论；
（2）先求出，，进而求出点的坐标，再构造出，得出，，设，进而建立方程组求解，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当时，利用中点坐标公式求解，即可得出结论；
②当时，当点在上方时，判断出四边形是平行四边形，即可得出结论；
当点在下方时，判断出四边形是平行四边形，再用平移的性质，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设直线的函数表达式为，
点，点，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）如图1，

点，点，
，，
，
由折叠知，，
过点作轴，交轴于，
，
，
，，
，
，，
过点作轴于，延长交于，

，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
，；
（3）设，则，
由折叠知，，，
在中，，
，
，
，，，，
点，，为顶点的三角形与全等，
①当时，
，，
连接交于，则，，由（1）知，，，
设，
，，
，，
，；
②当时，当点在上方时，
，，
四边形是平行四边形，
，
，；
当点在下方时，，，
四边形是平行四边形，
点，向左平移个单位，再向下平移个单位到达点，
点是点向左平移个单位，再向下平移个单位到达点，，即满足条件的点的坐标为，或，或，．

【点睛】
本题考查了一次函数综合题，考查了待定系数法，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，中点坐标公式，解题的关键是构造出全等三角．
25．（1）；；（2）①见详解；②x=1；（3）△CDP为等腰三角形时x的值为：或或．
【分析】
（1）BP+DP为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若P点落在BD上，此时和最短，且为
解析：（1）；；（2）①见详解；②x=1；（3）△CDP为等腰三角形时x的值为：或或．
【分析】
（1）BP+DP为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若P点落在BD上，此时和最短，且为．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AQ=x，则QD=3-x，PQ=x．又PDQ=45°，所以QD＝PQ，即3-x=x．求解可得答案；
（2）由已知条件对称分析，AB=BP=BC，则∠BCP=∠BPC，由∠BPM=∠BCM=90°，可得∠MPC=∠MCP．那么若有MP=MD，则结论可证．再分析新条件∠CPD=90°，易得①结论．②求x的值，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形QDM，发现QM，DM，QD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可．
（3）若△CDP为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又P点为A点关于QB的对称点，则AB=PB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则P点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDP为等腰三角形（CD为腰）的P点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDP为等腰三角形（CD为底）的P点．则如图所示共有三个P点，那么也共有3个Q点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．
【详解】
解：（1）连接DB，若P点落在BD上，此时BP+DP最短，如图：

由题意，∵正方形ABCD的边长为3，
∴，
∴BP＋DP的最小值是；
由折叠的性质，，则，
∵∠PDQ=45°，∠QPD=90°，
∴△QPD是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；
（2）如图所示：

①证明：在正方形ABCD中，有
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵P点为A点关于BQ的对称点，
∴AB=PB，∠A=∠QPB=90°，
∴PB=BC，∠BPM=∠BCM，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠MPC=∠MPB-∠CPB=∠MCB-∠PCB=∠MCP，
∴MP=MC．
在Rt△PDC中，
∵∠PDM=90°-∠PCM，
∠DPM=90°-∠MPC，
∴∠PDM=∠DPM，
∴MP=MD，
∴CM=MP=MD，即M为CD的中点．
②解：∵AQ=x，AD=3，
∴QD=3-x，PQ=x，CD=3．
在Rt△DPC中，
∵M为CD的中点，
∴DM=QM=CM=，
∴QM=PQ+PM=x+，
∴(x+)2＝(3−x)2+()2，
解得：x=1．
（3）如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于P1，P3．此时△CDP1，△CDP3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点P2，此时△CDP2以CD为底的等腰三角形．
；
①讨论P1，如图作辅助线，连接BP1、CP1，作QP1⊥BP1交AD于Q，过点P1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCP1为等边三角形，正方形ABCD边长为3，
∴P1F＝，P1E＝．
在四边形ABP1Q中，
∵∠ABP1=30°，
∴∠AQP1=150°，
∴△QEP1为含30°的直角三角形，
∴QE=EP1＝．
∵AE=，
∴x=AQ=AE-QE=．
②讨论P2，如图作辅助线，连接BP2，AP2，过点P2作QG⊥BP2，交AD于Q，连接BQ，过点P2作EF⊥CD于E，交AB于F．

∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AP2=BP2．
∵AB=BP2，
∴△ABP2为等边三角形．
在四边形ABP2Q中，
∵∠BAD=∠BP2Q=90°，∠ABP2=60°，
∴∠AQG=120°
∴∠EP2G=∠DQG=180°-120°=60°，
∴P2E＝，
∴EG=，
∴DG=DE+GE=，
∴QD=，
∴x=AQ=3-QD=．
③对P3，如图作辅助线，连接BP1，CP1，BP3，CP3，过点P3作BP3⊥QP3，交AD的延长线于Q，连接BQ，过点P1，作EF⊥AD于E，此时P3在EF上，不妨记P3与F重合．

∵△BCP1为等边三角形，△BCP3为等边三角形，BC=3，
∴P1P3＝，P1E＝，
∴EF＝．
在四边形ABP3Q中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBP3=150°，
∴∠EQF=30°，
∴EQ=EF=．
∵AE=，
∴x=AQ=AE+QE=+．
综合上述，△CDP为等腰三角形时x的值为：或或．
【点睛】
本题第一问非常基础，难度较低．第二问因为动点的原因，思路不易找到，这里就需要做题时充分分析已知条件，尤其是新给出的条件．其中求边长是勾股定理的重要应用，是很重要的考点．第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点P找全．另外求解各个Q点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用，有着极高的难度．