资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，点是切点，，若半径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
3．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是
A． B． C． D．
4．下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
5．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．边长为2的正六边形的面积为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．
8．若反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大，则关于的函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是( )
A． B． C． D．
10．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（ ）
A．9m B．12m C．8m D．10m
11．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．15π B．20π C．24π D．30π
12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为_____步．
14．数据3000，2998，3002，2999，3001的方差为__________．
15．如图，在△ABC中，点DE分别在ABAC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6.则线段CD的长为______
16．如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
17．计算：× =______.
18．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）某活动小组对函数的图象性质进行探究，请你也来参与
（1）自变量的取值范围是______；
（2）表中列出了、的一些对应值，则______；
（3）依据表中数据画出了函数图象的一部分，请你把函数图象补充完整；
0
1
2
3
3
0
0
3
（4）就图象说明，当方程共有4个实数根时，的取值范围是______．
20．（8分）汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?
21．（8分）如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？
22．（10分）如图，等腰Rt△BPQ的顶点P在正方形ABCD的对角线AC上（P与AC不重合），∠PBQ=90°，QP与BC交于E,QP延长线交AD于F，连CQ.
(1)①求证：AP=CQ ；
②求证：
(2)当时，求的值.
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，点的坐标是．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点在第一象限内，连接，过点作交延长线于点，且，过点作轴于点，连接，设点的横坐标为，的而积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴，连接、，若，时，求的值．
24．（10分）如图，是直径AB所对的半圆弧，点C在上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．
小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AE/cm
0.00
0.41
0.77
1.00
1.15
1.00
0.00
1.00
4.04
…
AD/cm
0.00
0.50
1.00
1.41
2.00
2.45
3.00
3.21
3.50
…
在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为.
（1）画出，使与关于点成中心对称，并写出点的对应点的坐标_____________；
（2）以原点为位似中心，位似比为1：2，在轴的左侧，画出将放大后的，并写出点的对应点的坐标___________________；
（3）___________________.
26．如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】连接OC，求出∠COD和∠D，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案．
【详解】连接OC，
∵AO=CO，∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB =60°，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD =90°-60°=30°，
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=4，
∴，
∴阴影部分的面积是:
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，三角形的面积的应用，还考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．
2、D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
3、C
【详解】∵10张卡片的数中能被4整除的数有：4、8，共2个，
∴从中任意摸一张，那么恰好能被4整除的概率是
故选C
4、D
【解析】由题意根据中心对称图形的性质即图形旋转180°与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，依次对选项进行判断即可．
【详解】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，能与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
5、A
【解析】直接得出２的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是２的概率为：
故选Ａ．
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
6、B
【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.
【详解】如图，，AC=2，,
A、三边依次为： ， ，1，
∵，∴A选项中的三角形与不相似；
B、三边依次为：、、1，
∵，∴B选项中的三角形与相似；
C、三边依次为：3、、，
∵，∴C选项中的三角形与不相似；
D、三边依次为： 、、2，
∵，∴D选项中的三角形与不相似；
故选：B.
【点睛】
此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.
7、A
【解析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，
∴边心距是：；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8、D
【分析】通过反比例函数的性质可得出m的取值范围，然后根据一次函数的性质可确定一次函数图象经过的象限．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大
∴
∴
∴
∴关于的函数的图象不经过第三象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质、一次函数的图象与系数的关系、一次函数的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
9、D
【分析】根据EF∥BC，FD∥AB，可证得四边形EBDF是平行四边形，利用平行线分线段成比例逐一验证选项即可．
【详解】解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∴BE=DF，EF=BD，
∵EF∥BC，
∴，，
∴，故B错误，D正确；
∵DF∥AB，
∴，,
∴，故A错误；
∵，，故C错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的的判定，平行线分线段成比例的定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10、A
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，
∴AB＝DE＝9m，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
11、A
【解析】试题分析：∵圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，
∴这个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5.
∴这个圆锥的侧面积=．
故选A．
考点：1.简单几何体的三视图；2.圆锥的计算．
12、C
【分析】根据轴对称，中心对称的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、该图形为轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、该图形为中心对称图形，但不是轴对称图形，故B错误；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C正确；
D、该图形为轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误；
故答案为C．
【点睛】
本题考查了轴对称，中心对称图形的识别，掌握轴对称，中心对称的概念是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】设正方形城池的边长为步, 根据比例性质求.
【详解】解：设正方形城池的边长为步,
即正方形城池的边长为1步．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
14、2
【分析】先根据平均数的计算公式求出平均数，再根据方差公式计算即可．
【详解】数据3000，2998，3002，2999，3001的平均数是： ，
方差是：
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了方差的定义，熟记方差的计算顺序：先差、再方、再平均.
15、
【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出CD的长度．
【详解】设AD＝2x，BD＝x，
∴AB＝3x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴DE＝4，，
∵∠ACD＝∠B，
∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
设AE＝2y，AC＝3y，
∴，
∴AD＝y，
∴，
∴CD＝2，
故填：2.
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
16、．
【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
【详解】解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17、7
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可.
【详解】解：原式
故答案为：7
【点睛】
本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键.
18、
【分析】先把代入求出n的值，然后根据图像解答即可.
【详解】把代入，得
-n-2=-4，
∴n=2，
∴当x<2时，.
故答案为：x<2.
【点睛】
本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，以及一次函数和一元一次不等式的关系、数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
三、解答题（共78分）
19、（1）全体实数；（2）1；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）自变量没有限制，故自变量取值范围是全体实数；
（2）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；
（3）描点、连线即可得到函数的图象；
（4）根据函数的图象即可得到a的取值范围是-1＜a＜1．
【详解】（1）自变量没有限制，故自变量取值范围是全体实数；
（2）当x=-2时，
∴m=1
（3）如图所示
（4）当方程共有4个实数根时，y轴左右两边应该都有2个交点，也就是图象x轴下半部分，此时-1＜a＜1；
故答案为：（1）全体实数；（2）1；（3）见解析；（4）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
20、2008年盈利3600万元．
【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为x，由题意得：
3000(1+x)2=4320，
解得：，（不合题意，舍去），
∴年增长率20%，
∴3000×(1+20%)=3600，
答：该公司2008年盈利3600万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．
21、规则不公平,理由见解析
【解析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表，积的情况如下：
以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果，
∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，
∵P（甲胜）＞P（乙胜），
∴规则不公平．
【点睛】
本题考查游戏公平性、列表法和树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
22、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）
【分析】（1）①证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=∠BAC，∠APF=∠ABP，即可证得△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（2）设正方形边长为，根据已知条件可求得PA的长，再根据第(1)②的结论可求得AF的长，从而求得答案.
【详解】证明：
（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△PBQ为等腰直角三角形，
∴∠PBQ=90°，PB=BQ，
∵∠ABP+∠BPC =∠BPC+∠CBQ=，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
②如图，
∵∠CPB=∠3+∠4=∠1+∠2，
∵∠4=∠1=45°，
∴∠3=∠2，
∴∠5=∠2，
∵∠6=∠1=45°，
∴△PFA∽△BPA，
∴，
∴ 即；
(2)设正方形边长为，则，
∵，
∴，
∴PA=，
∵，
∴，
解得：AF=，
∴DF=，
∴.
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求出点B的坐标，设直线解析式为，代入A、B即可求得直线解析式；
（2）过点作于点，延长交于点，通过证明≌，可得，，故点的横坐标为，，设，可求得，故S与的函数关系式为；
（3）延长、交于点，过点作点，连接、，先证明≌，可得，通过等量代换可得，再由勾股定理可得，结合即可解得．
【详解】（1）∵
∴，
∴
∴点
设直线解析式为
解得，
∴直线解析式为
（2）过点作于点，延长交于点，
∵轴，轴
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴≌
∴，，点的横坐标为，，设，则，
∵
∴
∴
∴
（3）延长、交于点，过点作点，连接、
由（2）可知，
∴
又∵
∵
∴
∴，，延长交于点，
∵，
∴
∵
∴，，
∴≌
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
由勾股定理可得
∵
∴，
∴
【点睛】
本题考查了直线解析式的几何问题，掌握直线解析式的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
24、（1）AD，AE；（2）画图象见解析；（3）2.2，．
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据题意作图即可；
（3）满足AE=AD条件，实际上可以转化为正比例函数y=x．
【详解】解：（1）根据题意，D为AB边上的动点，
∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数；
∴故答案为：AD，AE．
（2）根据已知数据，作图得：
（3）当AE=AD时，y=x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.2或3.3
故答案为：2.2或3.3
【点睛】
本题是圆的综合题，以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
25、（1）画图见解析，；（2）画图见解析，；（3）.
【分析】（1）先作出A、B、C三点关于原点对称的点A1、B1、C1，再顺次连接即可；利用关于原点对称的点的坐标特点即可得出点A1的坐标；
（2）利用位似图形的性质分别作出A、B、C三点的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；利用位似图形的性质即可得出点A2的坐标；
（3）先根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，进一步即可求出的度数，再根据位似图形的性质和特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】解：（1）如图，即为所求，，故答案为：；
（2）如图即为所求，，故答案为：；
（3）∵，∴，∴∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的作图、位似作图、等腰直角三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数值等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解答的关键.
26、（1）40；（2）
【解析】试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
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