165几个初等模型.doc

16.5几个初等模型 学习目标1 能表述导弹核武器竞赛的数学模型；2 能表述市场平衡问题的数学模型；3 会用奇偶校验法解决铺瓷砖问题；4 了解工厂地址选择的数学模型；5 能表述动物体形问题的数学模型。一、导弹核武器竞赛 美国和前苏联都深感自己需要一定数量的洲际弹道导弹，以对付对方的“核讹诈”,其基本想法是当自己在遭到对方的突然袭击后能有足够的导弹幸存下来，以便给予对方以“致命打击”. 为此双方展开了一场竞争,方法有: (1)努力增加自己的核武器，从数量上压倒对方.但这样作下去双方都感到负担过重. (2)引进反弹道导弹和多弹头导弹. (3)加固导弹库或建造核潜艇来保护导弹,使之不易受到攻击. 究竟用什么方法为好,在对方采取不同的策略时,自己又将如何对付？为此展开了一场激烈的军备竞赛.由于核武器种类繁多，性能各异,问题比较复杂，所知信息又少。因此下面建立一个简单的图解模型，以便帮助阐明其中某些问题. 把讨论的两国称为甲方和乙方.用x,y分别表示甲方和乙方拥有的导弹数.由于x,y很大,把x和y看作实数. 假设两方拥有的导弹相同，而且具有同等的防护能力. 甲方为了安全，其拥有的核弹头数x要随乙方的弹头数y的增长而增长。可以假设存在增函数f,当xf(y)时甲方才感到安全,x=f(y)称为甲方的安全线,同样y=g(x)是乙方的安全线,即当yg(x)时乙方才感到安全.图1610乙方安全区甲方安全区B0CA由图1610可知甲方的安全区和乙方的安全区.二者的公共部分双方都感到安全，即军备竞赛的稳定区域(图中阴影部分).两条安全线的交点为竞争的平衡点。问题在于当第一次打击不可能摧毁对方的假设下，这样的稳定区域存在吗？换言之，两条单调增加的曲线x=f(y)和y=g(x)相交吗？这要求证明并进而讨论,当反导弹和多弹头导弹这类武器出现时，对于平衡点A()将产生什么影响？ 为了证明x=f(y)和y=g(x)相交,我们采用如下方法:证明从原点出发的任一直线y=rx(r0)必与曲线x=f(y)相交,其中x=f(y)从(,0)开始，以递增到无穷的斜率向上弯曲.0 Y = rxxY因为不论乙方拥有的核弹头数y是甲方的多少倍(如r倍,r可以充分大),都不能一次毁灭甲方，也就是说在乙方y=rx枚核弹头的袭击下,甲方一枚弹头保存下来的概率p(r)仍然大于零(尽管可以很小),那么甲方只需要拥有 枚弹头,就可以感到安全.正是直线y=rx和曲线x=f(y)交点的横坐标.所以y=rx与甲方安全线x=f(y)相交.如图16-11所示.同理,y=rx必与曲线y=g(x)相交.y=g(x)从 图1611(0,y)开始,起斜率递减到零.这样曲线x=f(y)与y=g(x)相交于A()点,这是x和y的最小稳定值. 下面我们要讨论，如果某一方使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段,两条安全曲线和稳定点A()将如何变化呢? 如果甲方由于使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段，则它的导弹更不容易遭受突然袭击，这将使甲方任一枚导弹逃脱突然袭击的概率p(r)增大，所以曲线f(y)向左移动，在图16-10中用虚线表示.点不变,此时曲线的形状稍有改变.为了保持稳定，双方只需要更少的导弹，稳定点为B. 如果甲方用某种设施，例如反弹道导弹来防护它的城市，这时乙方要对甲方进行致命的打击，就需要比更多的导弹，于是g(x)向上移动.在图16-10中用“ ”线表示.我们可以看出，要保持稳定，双方都需要更多的导弹，稳定点为C.图1612BAyxx=f(y) 0如果使用多弹头导弹，此时情况将变得更加复杂.例如,甲方将它的每枚导弹的单弹头改装为N个弹头,那么它所需要的能逃脱偷袭的导弹数可以更少些(需要的数大约是).这样x=f(y)就向左移动。乙方在一次被偷袭中将面临N倍之多的弹头.所以，从乙方的观点来看，X轴的比例尺变化了一个因子N，因而乙方将要更多的导弹。曲线g(x)将向上移动.由图2.10可知,甲方需要的导弹比原来要少些.至于曲线弯曲形状变化的细节，应该用概率模型来代替图解模型，或者把二者结合起来，这就要求对导弹的效能作出更精确的假设，在此不作讨论.二、市场平衡问题市场供求关系是非常复杂的问题,这里假定市场受自由竞争的的供求关系所调节来讨论市场平衡问题.站在消费者的角度,如果市场上某种商品多价格低就愿意多买,反之就少买,然而站在生产者角度,价格低利润少就少生产.这样就造成市场上商品缺乏,价格上涨.对有利可图的商品各厂家又竞相增加生产，这样下去又会出现商品过剩,价格下跌,因此在市场上会出现价格忽高忽低,商品时多时少的现象,那么什么情况下市场趋与稳定?什么情况下市场出现波动,政府应该采取什么措施制止这种状态继续蔓延呢?问题相当复杂，这里只做定性讨论.记Q表示产品数量,P表示产品价格.由消费者所确定的需求曲线D是单调下降的.由生产者所确定的供应曲线P是单调增加的.如图1613所示.要讨论的是:在什么情况下,市场的供求关系平衡? 设供应曲线P上任意一点a出发,按需求曲线D成交的价格应是(消费者认为,东西多,价格应便宜，即而一旦价格降到，生产者就要将产量由降到，即(因价格低，生产者认为利润太少而减少产量)，对于消费者来说，产量很少，对应价格应为，即价格上升，生产者利润增加而增加产量，如此下去有显然供求关系将趋向于曲线P与曲线D的交点平衡点A 图1613 图1614 但是，如果供应曲线P与需求曲线D如图1614那样，那么市场供求关系变化的结果不趋向于平衡点，而是越来越偏离它当然，也有可能产生供求关系产生循环的现象，如图1615所示由上可知：供求关系有时趋向于平衡点，有时偏离平衡点那么，供求关系趋向于平衡点还是偏离于平衡点有何规律，主要由什么因素决定呢？由图1613和图1614可以看出，当需求曲线D的斜率的绝对值小于供应曲线P的斜率时，市场趋于平衡，反之则不平衡通常，由于原料价格比较稳定，设备使用时间较长，大生产比较稳定等各方面的原因，供应曲线P的变化是不大的而需求曲线D会有改变(价格便宜，顾客多买，价格昂贵，顾客少买)要使供求关系趋向于平衡，就要求曲线D平坦些直观上看，D平坦就表示消费者对市场很敏感(价格降低一点，就购买许多商品)为了使供求关系趋于平衡，有时需要政府一定的干预，采取通货紧缩，限制消费者手中不能有太多的钱 图1615 图1616P 如果产品的成本增加了，那么增加这部分成本是由生产者承担呢？还是由顾客承担呢？先介绍边际成本这个概念，多生产一件产品需要增添的成本称为边际成本增添的收入称为边际收入如果边际成本增加了，将有多少转嫁给用户为好呢？在图1616中虚线表示边际成本增加后的供应曲线(边际成本曲线)当需求曲线比较平坦时（如需求曲线）,生产者所需负担的成本增加部分要大些,如图1616所示.此时，生产者负担,用户负担.平坦的需求曲线表示用户对价格非常敏感.如果用户对价格不敏感(需求曲线比较陡峻,如曲线D),此时生产者可以少负担一部分费用(部分),而把大部分增加的费用转嫁给用户(部分).在社会实践中,有许多事情比较复杂,开初对其所知信息甚少.此时可用图解法先做定性讨论,摸出一些规律,获得新的信息.然后在此基础上,进一步深入调查研究，掌握更多的资料,使问题的讨论往数量化方向发展,有时定性和定量讨论可以同时进行,以帮助分析.只有这样对事物的认识才能准确、深刻.三、铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺设如图16-17所示图形的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块.一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法完整铺好. 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图16-17所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题. 图1617 为此,在图16-17上白、黑相间的染色.然后仔细观察,发现共有19个白格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无论用什么方法),总要剩下2个黑格没有铺.而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的,唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二. 解决铺瓷砖问题中所用方法在数学上称为“奇偶校验”,即是如果两个数都是奇数或偶数，则称具有相同的奇偶性.如果一个数是奇数,另一个数是偶数,则称具有相反的奇偶性.在组合几何中会经常遇到类似的问题. 在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格.因此，把19块长方形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时,才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方形瓷砖这就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺好如图16-17所示地面是不可能的.任何改变铺设方式的努力都是徒劳的.数学中许多的著名的不可能的证明都要用到奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己动手做一下).奇偶校验在粒子物理学也有很重要的作用，1957年美籍华人杨振宁和李政道推翻了“宇称守恒定理”，由此获得了诺贝尔奖，其中就是运用了奇偶校验方法。由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简单,极富创造力.在估计事情不可能成立时,可考虑使用奇偶性这一方法来论证.四、工厂地址选择的数学模型 现代工厂地址的选择，关系到工业布局及经济效益的重大决策,涉及到经济和非经济的多种因素,因此在选址时,应对几个被选厂址的各种不同因素的优劣进行综合平衡，根据各种不同的选址标准，选出最佳厂址. 选址时,我们主要考虑两大类因素,一是定量因素，二是定性因素. 定量因素主要是指经济效益,即考虑工厂的成本和收入.成本包括三个方面: (1)生产成本:由物料、能源、信息等基本因素所确定. (2)社会成本:工厂对环境的污染应赔偿的损失费等. (3)分配成本:工厂把产品发送到消费地点,应付的运输费用及其他周转费. 生产成本,社会成本,分配成本与厂址的选择有直接关系,对厂家的成本起决定性的作用.它们可用数字表示,因而称为定量因素. 厂址的选择不仅要考虑定量因素,而且还要考虑复杂的不易定量化的定性因素.如国家的方针政策,当地的科研和工业力量、文化背景和教育情况、生活条件、群众对建厂的态度等.在定性因素中,尤为重要的是国家的方针政策.比如关于工业布局,保护自然资源,控制城市和旅游区污染,开发工业落后地区,大区工业配套以及引进外资等方面的方针政策,这些因素对工厂选址往往是极其重要的约束条件. 先决因素(先决条件)是在上述的定量和定性因素中,任何被选地址都必须满足的若干因素.如战备需要,工业布局,某些工业划定在特定地区兴办,某些工业必须接近原料产地和能源等. 最佳厂址是在满足先决条件的备选厂址中,按照一定标准挑选出最满意的厂址. 厂址选择的准则数学模型如下: 第一类为简化模型，以工厂投产后年度总支出(年度总成本加均摊的基建费)为基础进行比较. 假设 (1)在各备选地址建厂,其规模、经济寿命期都相同,并且保持均衡生产,年产量不变,因而可按年度总成本进行比较. (2)在各备选地址建厂基建工期均较短,不考虑基建投资年度分配的差异,因而可以按基建总投资进行比较.准则1 最佳厂址的基建投资年等价额，年度生产成本，年度分配成本之和最小，即年度总支出最小，经济效益最高。用V表示基建投资,n表示工厂经济寿命期(单位 年),s表示经济寿命期终了时工厂的残余价值,表示工厂满额生产时年度生产成本, 表示工厂年度分配成本,i表示基建贷款的年利率.A表示基建投资的年等价额,即把基建投资加上相应的利息，按工厂收益期(经济寿命期)每年均匀偿付的数额,其计算公式如下: (1) 准则1的数学模型为 (2)足码j表示年度总支出是地址j的函数. 年度生产成本包括材料费,公共服务费(水、电、气、设备维修),职工工资,经常费(管理费,财产保险金及各种杂支),即 =+ (3) 将(2.5)代入(2.4),准则1的数学模型为 (4) 如果由于建厂给社会带来损失(如占用良田或造成土质恶化使农业减产),(4)中还应记入社会成本,由于建厂给社会带来的附加收益(如改善了道路减少了运输费),则应作为负值记入社会成本(4).当然，这是从国家角度考虑,对于企业，社会附加收益并不能收回. 准则2 最佳厂址是年度总支出和各定性因素保持最佳平衡(即综合优点最大)的厂址. 在备选厂址中,如果定性因素差别很大,就不能忽视.然而定性因素不好比较.为此引入一个新概念“优度”,即分别表示各厂址两类因素在全部备选厂址中的相对优点(相对价值).优度最小值为零,表示该因素对比评价结果无优点;优度最大值为1，表示该因素相对地具有100%的优点.分别求出各地两类因素优度的加权和,其加权值最大的地址为最佳厂址. 令表示第j个地址定量因素的优度, 表示第j个地址定性因素的优度,a表示的权值,. 准则2的数学模型为 (5) 定量因素优度的计算方法: 如果有n个备选厂址进行比较,则 令表示第j个厂址相应的年度总支出,则其倒数表示第j个厂址诸定量因素综合优点的一种绝对尺度.所以第j个厂址的定量因素优度为 (6) 定性因素优度的计算方法： 根据各定性因素的相对重要性，在m个定性因素中，给予第k个因素以适当的权值,并使. 在n个备选厂址中，给予第j个厂址的第k个因素以适当的分数，表示该因素在n个厂址中的相对优点，并使。所以，第j个厂址的定性因素优度为 ， （7） 而 。 将（6）、（7）代入（5），得准则2的数学模型为 （8） 定量因素优度计算举例。 设有甲、乙、丙三个厂址，估计甲厂的年度总支出=200（万元），乙厂的年度总支出（万元），丙厂的年度总支出(万元)。则其优度值分别为 由此可以看出甲厂址的定量因素优度值大。 定性因素优度计算举例。 设在定性因素中我们考虑：（1）国 的工业布局方针政策：（2）当地的生活条件好坏；（3）当地的文化教育状况；（4）当地科研力量的强弱。我们分别赋权值：方针=0.3，生活=0.3，文化教育=0.2，科研=0.2。对三个厂址的各定性因素打分如表16-2所示。 表16-2地址 =0.3=0.3=0.2=0.2 123 由此可以看出第三厂址的定性因素优度值大。 决策者对各定性因素所赋予的权值应给定，但对各项定性因素在给每个厂址打分时，各人由于认识不同，打分不一样。我们可以用体育比赛的评分方法，将几个打分中的最高分和最低分舍去，剩下的中间分数取其平均值作为该项的记分，这样就比较客观了。 准则3 最隹厂址是先决条件下年度总支出最低的厂址。 某地址满足先决条件时，其优度为1，表示该地址可以作为备选厂址。不满足先决条件时，其优度为零，表示该地址不能作为备选 厂址，没有中间情况。先决条件总优度为各个先决条件优度之积。 令表示第j个地址的先决条件总优度（设有r个先决条件）。表示第j个地址第q个先决条件的优度。则 (9)把（9）同（4）结合起来，准则3的数学模型为 (10)准则4 最佳厂址是满足先决条件下定量因素和定性因素保持最佳平衡的厂址。把（9）同（8）结合起来，得准则4的数学模型 (11) （11）是第一类选址准则的完整的表达式，前面三个准则都 是准则4的特例。 第二类为通用模型，在一般情况下，各备选地址的建厂期并不相同，受益有早有晚，在建设期内每年投资分配也不相同，付息不等，投产后生产能力要逐步发挥。维修费逐步增加，加之其它原因，年度总支出是变动的。为了与实际更加接近，我们以工厂在经济寿命期内总受益的现值为基础进行比较。 令T表示基本建设工期（单位年），V表示基本建设投资的等价现值，表示第t年基本建设投资额。则 (12) 如果在T年内每年投资额相同，均为,则（12）式为 (13)令表示工厂第t年总收入，表工厂第t年的总成本，则工厂在经济寿命期内盈利的等 价现值为 (14)如果 基建费年度分配相同，则（14）变为 (15)在n个备选 厂址中，第j个地址的优度为 ，并且 。准则5 最佳厂址在经济寿命期内总受益（盈利）最大。其数学模型为 max (16)准则6 最佳厂址是总受益和定性因素保持最佳平衡的厂址。其数学模型为 max （17）准则7 最佳厂址要求在满足先决条件下总受益最大。其数学模型为 max （18）准则8 最佳厂址要求在满足先决条件下总受益和定性因素保持最佳平衡。其数学模型为 max （19） 选址总是由大致范围的普查逐步缩小，直到具体定点，凡不符合先决条件之一者，在选址过程中被排除，不会进入最后比较之列。所以，上述8个数学模型中，理论上表达完整的是（10）、（11）、（18）、（19），而实际应用的则是（4）、（8）、（16）、（17）。 过去有些决策者在选择工厂地址时，也权衡了各种利弊得失，但多是估计性质的。特别是对于定性因素就更难说清两个地址的优劣比较。以上的选址数学模型为决策者选址提供了理论依据。特别是用优度的方法把定性因素数量化，对于每个地址的优劣从数量上有了较精确的区分，这帮助我们准确选址，充分发挥经济效益起了很好的作用。五、动物体形问题 研究四足行走动物躯干的长度（不包括头和尾）与它的体重的关系，粗略地估计动物的体重，具有一定的现实意义。例如，生猪收购站或屠宰场的工作人员，要精确地测出生猪的体重是麻烦的，有时也没有那个必要，常常希望有一个简单而有效的估计体重的方法。 动物的构造因种类不同而异，各种动物的构造也相当复杂，因而容易做出非常复杂的模型，与其陷入复杂而不可解释的结果中，不如使用较粗糙的模型。 将动物躯干当作一条支撑在四肢末端的挠性梁（圆柱体），在弹性理论中已经对挠性梁作过充分研究，因而有许多现成的结果可供使用。 设动物躯干的几何尺寸如图1618所示。设l表示长度，d表示直径，A表示横截面面积，F表示体重，表示动物躯干在自身体重作用下的最大挠曲。假设动物躯干为一弹性梁 ，支撑在四肢上，由弹性理论知，最大挠曲满足 (正比于) （20）因为 FmAl所以 （21）由此得 （22） 图1618 表示动物躯干的相对下垂度。 如果太大，四肢将无法支撑躯干，动物的身躯将会残废变形。如果太小，四脚支撑身躯超过了需要，无疑是一种浪费。由于长期进化的结果，应为一常数（该常数因动物种类而异）。 由（22）式得 （23）即较大的动物有较大的身躯。又从FmAl，A,将（23）代入得 （24） 说明动物的体重与躯干长度的四次方成正比。当我们确定出某种四足动物（如生猪）的（24）式的比例系数后，就能很容易从躯干的长度估计出动物的体重了。用动物躯干长度粗略地估计动物体重，模型的建立充分地发挥自己的想象力，大胆地把动物躯干与弹性梁联系起来，利用弹性力学中已有的结果，使问题得以解决。这再一次展示了类比法在解决实际问题时的作用。这一方法读者应很好的掌握。习题16.41在导弹核武器竞赛模型中，假设两国都 在每枚导弹上安装N个弹头，并假设新弹头的威力与旧弹头相同，试证明两国将需要更多的弹头。2已知在气体中音速v与气压p以及气体密度有关，试证明v与p成正比而与成反比。复习题十六1对于一个mn的棋盘，假定有外形完全一样的骨牌，每一骨牌可以覆盖棋盘上两个邻接的方格。如果用一些骨牌覆盖棋盘，使得棋上的所有方格都被骨牌覆盖，并且没有两块骨牌交叠，就称这一覆盖是棋盘的一个完备覆盖。 对于一个剪去了两个对角的88棋盘，是否存在完备覆盖？2.设一所监狱有64间囚室，其类似排列88棋盘，典狱长告诉关押在一个角落囚室里的囚犯，只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室，他将被释放，问囚犯能获得自由吗（所有相邻囚室间都有门相通）？3主动脉血液的速度与心脏和动脉之间的压差有关。试求血液速度和压力之间的关系。（提示：用功能定理进行讨论）4对于许多普通物体（例如行进中的汽车和自由落体等），大气阻力大致与成正比，这里S是表面积，v是速度。 （1）如果v是落体的末速度，证明：对于类似比例的物体，有。 （2）证明：当与地面相碰时必然转换为某种其他能量形式的单位面积动能与m成正比。5购买商品时，一般人都 愿意买大包装商品，因为大包装商品比小包装商品便宜，如某种牙膏60g装的每支0.96元，150g装的每支2.15元，二者单位重量的价格比是1.17：1，试用比例方法构造模型并解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量W的关系，价格由成本、运输成本和包装成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有与表面积S成正比，还有与W无关的原因。 （2）写出单位重量价格C与W的关系，说明W越大C越小。 （3）说明单价C随W增加而下降的速度是负的，其实际意义是什么。6利用16.2节表161给出的17901980年的美国实际人口资料建立下列模型： 分段的指数增长模型譬如按时间分三段，分别确定增长率. 阻滞增长模型重新确定固有增长率和最大容量.7假定人口的增长服从这样的规律：时刻的人口为，到时间内人口的增量与-成正比(其中为最大容量)试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较26