线性代数期末复习题.doc

线性代数复习题

一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)
1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即
. ( )
2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( )
3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( )
4. 设都是阶矩阵，且，则. ( )
5. 若矩阵A的秩为r ，则A的r－1阶子式不会全为零. ( )
6. 若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵的秩R(A) = R(B). ( )
7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( )
8. 若向量组线性相关，则一定可由线性表示. ( )
9. 向量组中，若与对应分量成比例，则向量组线性相关. ( )
10. 线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( )
11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( )
12. 齐次线性方程组一定有解. ( )
13. 若为可逆矩阵A的特征值，则为的特征值. ( )
14. 方程组的解向量都是矩阵A的属于特征值的特征向量. ( )
15. n阶方阵A有n个不同特征值是A可以相似于对角矩阵的充分条件. ( )
16. 若矩阵与矩阵相似，则. ( )

二、单项选择题
1. 设行列式则行列式 ( )

2. 行列式的元素的代数余子式的值为 ( )

3. 四阶行列式中x的一次项系数为 ( )

4. 设则D2与D1的关系是 ( )

5. n阶行列式的值为 ( )

6. 已知 则 ( )

7. 设A是n阶方阵且，则 ( )

8. 设A是矩阵，B是矩阵，则下列运算结果是m阶方阵的是 ( )

9. A和B均为n阶方阵，且，则必有 ( )

10. 设A、B均为n阶方阵，满足等式，则必有 ( )

11. 设A是方阵，若有矩阵关系式，则必有 ( )

12. 已知方阵，以及初等变换矩阵，则有 ( )

13. 设A、B为n阶对称阵且B可逆，则下列矩阵中为对称阵的是 ( )

14. 设A、B均为n阶方阵，下面结论正确的是 ( )
(A) 若A、B均可逆，则A+B可逆 (B) 若A、B均可逆，则AB可逆
(C) 若A+B均可逆，则A－B可逆 (D) 若A+B可逆，则A、B均可逆
15. 下列结论正确的是 ( )
(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵
(B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵
(C) 非奇异阵等价于单位阵
(D) 奇异阵等价于单位阵
16. 设矩阵A的秩为r，则A中 ( )
(A) 所有r－1阶子式都不为0 (B) 所有r－1阶子式全为0
(C) 至少有一个r阶子式不为0 (D) 所有r阶子式都不为0
17. 设A、B、C均为n阶矩阵，且ABC = E，以下式子
(1) BCA = E， (2) BAC = E， (3) CAB = E， (4) CBA = E
中，一定成立的是 ( )
(A) (1) (3) (B) (2) (3) (C) (1) (4) (D) (2) (4)
18. 设A是n阶方阵，且(s为正整数)，则等于 ( )

19. 已知矩阵，是A的伴随矩阵，则中位于(1, 2)的元素是 ( )
(A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －2
20. 已知A为三阶方阵，R(A) = 1，则 ( )

21. 已知矩阵A的行向量组线性无关，则矩阵AT的秩等于 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

22. 设两个向量组和均线性无关，则 ( )
(A) 存在不全为0的数使得
和
(B) 存在不全为0的数使得

(C) 存在不全为0的数使得

(D) 存在不全为0的数和不全为0的数使得
和

23. 设有4维向量组，则 ( )
(A) 中至少有两个向量能由其余向量线性表示
(B) 线性无关
(C) 的秩为4
(D) 上述说法都不对
24. 设线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( )

25. n维向量组线性无关的充要条件是 ( )
(A) 中任意两个向量都线性无关
(B) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(C) 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
(D) 中不含零向量
26. 下列命题中正确的是 ( )
(A) 任意n个n+1维向量线性相关 (B) 任意n个n+1维向量线性无关
(C) 任意n+1个n维向量线性相关 (D) 任意n+1个n维向量线性无关
27. 已知线性方程组的系数行列式D =0，则此方程组 ( )
(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解
(C) 一定无解 (D) 不能确定是否有解

28. 已知非齐次线性方程组的系数行列式D =0，把D的第一列换成常数项得到的行列式，则此方程组 ( )
(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解
(C) 一定无解 (D) 不能确定是否有解
29. 已知A为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是 ( )
(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关
(C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关
30. 已知A为矩阵，且方程组有唯一解，则必有 ( )

31. 已知n阶方阵A不可逆，则必有 ( )
(D) 方程组只有零解
32. n元非齐次线性方程组的增广矩阵的秩为n+1，则此方程组 ( )
(A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 不能确定其解的数量
33. 已知是非齐次线性方程组的任意两个解，则下列结论错误的是 ( )
(A) 是的一个解 (B) 是的一个解
(C) 是的一个解 (D) 是的一个解
34. 若是线性方程组的基础解系，则是该方程组的 ( )
(A) 解向量 (B) 基础解系 (C) 通解 (D) A的行向量
35. 若是线性方程组的解，是方程的解，则以下选项中是方程的解的是 ( ) (C为任意常数)

36. 已知矩阵A的秩为，是齐次线性方程组的任意两个不同的解，k为任意常数，则方程组的通解为 ( )

37. n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是 ( )
(A) A的秩小于n
(C) A的特征值都等于零 (D) A的特征值都不等于零
38. 已知A为三阶方阵，E为三阶单位阵，A的三个特征值分别为，则下列矩阵中是可逆矩阵的是 ( )

39. 已知是n阶方阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为，则 ( )
(A) 和线性相关 (B) 和线性无关
(C) 和正交 (D) 和的内积等于零
40. 已知A是一个阶方阵，下列叙述中正确的是 ( )
(A) 若存在数和向量使得，则是A的属于特征值的特征值
(B) 若存在数和非零向量使得，则是A的特征值
(C) A的两个不同特征值可以有同一个特征向量
(D) 若是A的三个互不相同的特征值，分别是相应的特征向量，则
有可能线性相关
41. 已知是矩阵A的特征方程的三重根，A的属于的线性无关的特征向量的个数为k，则必有 ( )

42. 矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是 ( )
(A) R(A) = R(B) (B) A = B (D) A与B有相同的特征值
43. n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的 ( )
(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
44. n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是 ( )
(A) A相似于单位矩阵E (B) A的n个列向量都是单位向量
(C) (D) A的n个列向量是一个正交向量组
45. 已知A是正交矩阵，则下列结论错误的是 ( )
必为1
(D) A的行(列)向量组是单位正交组
46. n阶方阵A是实对称矩阵，则 ( )
(A) A相似于单位矩阵E (B) A相似于对角矩阵
(D) A的n个列向量是一个正交向量组
47. 已知A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，，则 ( )
(A) A与B相似 (B) A与B不等价
(C) A与B有相同的特征值 (D) A与B合同

三、 填空题
1. 已知是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .
2. 已知三阶行列式，表示元素对应的代数余子式，则与 对应的三阶行列式为.
3. 已知，则x = .
4. 已知A，B均为n阶方阵，且，则
， .
5. 已知A是四阶方阵，且，则 ， .
6. 已知三阶矩阵A的三个特征值分别为，则 .
7. 设矩阵，B是方阵，且AB有意义，则B是 阶矩阵，AB是 行
列矩阵.
8. 已知矩阵，满足，则A与B分别是 ， 阶矩阵.
9. 可逆矩阵A满足，则 .
10. 已知，若线性相关，则x，y满足关系式
.
11. 矩阵的行向量组线性 关.
12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .
13. 设A是矩阵，，若为非齐次线性方程组的两个不同的解，则该方程的通解为 .
14. 已知A是矩阵，，则齐次线性方程组的一个基础解系中含有解的个数为 .
15. 已知方程组无解，则a = .
16. 若齐次线性方程组只有零解，则需要满足 .
17. 已知矩阵可相似对角化，则x = .
18. 已知向量、的长度依次为2和3，则向量内积 .
19. 已知向量，c与a正交，且，则 ，c = .
20. 已知为的特征向量，则a = ，b = .
21. 已知三阶矩阵A的行列式，且有两个特征值和4，则第三个特征值为 .
22. 设实二次型的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .

23. 二次型的矩阵为 .
24. 已知二次型的矩阵为，则此二次型 .
25. 已知二次型是正定的，则t要满足 .

四、 行列式计算
1. 已知A，B为三阶方阵，，求行列式.

2. 已知行列式，求.

3. 计算n阶行列式，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素
是1，其它元素都是0.

4. 计算n阶行列式.

5. 计算n阶行列式.

6. 计算行列式.

7. 计算行列式.

8. 计算行列式.
五、 矩阵计算
1. 设，求 (1)；(2).

2. 已知，且，求X.

3. 设，B均为三阶方阵，E为三阶单位阵，且，求B.

4. 设，E为四阶单位阵，且矩阵X满足关系式，求X.

5. 已知，且，求X.

6. 设，问：当k取何值时，有 (1)；(2)；(3).

六、 向量组的线性相关性及计算
1. 设，求向量组的秩和一个最大线性无关向量组，并判断是线性相关还是线性无关.
2. 设，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.
3. 当a取何值时，向量组线性相关？

4. 将向量组规范正交化.

七、 线性方程组的解
1. 给定向量组，试判断是否为的线性组合；若是，则求出线性表达式.

2. 求解非齐次线性方程组.

3. 求解非齐次线性方程组.

4. 当k满足什么条件时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.

5. 当k满足什么条件时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.

6. 已知非齐次线性方程组为，问：当a、b取何值时，方程组有无穷多个解？并求出该方程组的通解.
7. 设方程组与方程有公共解，求a的值.

8. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为3，已知是它的三个解向量，且，，求该方程组的通解.

9. 设非齐次线性方程组的增广矩阵，经过初等行变换为
，
则 (1) 求对应的齐次线性方程组的一个基础解系；
(2) 取何值时，方程组有解？并求出通解.

八、 方阵的特征值与特征向量
1. 已知，若方阵A与B相似，求x、y的值.

2. 设方阵的一个特征值为3，求y的值.

3. 已知三阶方阵A的特征值为1、2、，求行列式的值.

4. 求方阵的特征值与对应的特征向量.

5. 设，求可逆矩阵P，使得为对角矩阵.

6. 设，求正交矩阵P，使得为对角矩阵.

7. 已知矩阵, 判断是否存在一个正交矩阵P, 使得为对角矩阵.

8. 已知矩阵的特征值为1、1、，求正交矩阵P，使得为对角阵.

九、 二次型
1. 当t取何值时，为正定二次型？

2. 求一个正交变换把二次型化成标准形.

十、 证明题
1. 已知向量组线性无关，而，证明：向量组线性无关.

2. 设A、B都是n阶对称阵，证明：AB是对称阵的充要条件是AB = BA.

3. 已知方阵A满足，证明：A与都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.

4. 设A、B为n阶对称阵，且B是可逆矩阵，证明：是对称阵.

5. 设n阶方阵A的伴随矩阵为，证明：.

6. 已知向量b可由向量组线性表示且表达式唯一，证明：线性无关.

7. 设是n阶方阵A的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记，证明：不是A的特征向量.

8. 已知向量组线性无关，，证明：向量组线性无关.

9. 设是非齐次线性方程组的一个特解，是对应的线性方程组的一个基础解系，证明：(1) 都是的解；(2) 线性无关.

10. 已知A是n阶方阵，E是n阶单位阵，可逆，且，证明：
(1) ；(2) .

11. 设方阵A与B相似，证明：与相似.

12. 已知方阵A、B都是正定阵，证明：也是正定阵.

13. 设n阶行列式的元素满足，证明：当n为奇数时.

14. 已知A为正交阵，k为实数，证明：若也是正交阵，则.

15. 设A、B均为n阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB是正交阵；(2) 矩阵是正交阵.

16. 若A是n阶方阵，且，| A| =－1，这里E为单位阵. 证明：| A +E | = 0.