向量组的线性相关性--线性代数习题集复习过程.doc

向量组的线性相关性--线性代数习题集

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
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第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性
一．选择题
1．n维向量线性相关的充分必要条件是 [ D ]
（A）对于任何一组不全为零的数组都有
（B）中任何个向量线性相关
（C）设，非齐次线性方程组有唯一解
（D）设，A的行秩 ＜ s.
2．若向量组线性无关，向量组线性相关，则 [ C ]
（A）必可由线性表示 （B）必不可由线性表示
（C）必可由线性表示 （D）比不可由线性表示
二．填空题：
1． 设
则
2． 设，其中，
，则
3． 已知线性相关，则 2
4． 设向量组线性无关，则满足关系式

三．计算题：
1． 设向量，，，，试问当为何值时 （1）可由线性表示，且表示式是唯一？
（2）可由线性表示，且表示式不唯一？
（3）不能由线性表示？

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 专业 班 姓名 学号
第三节 向 量 组 的 秩
一．选择题：
1．已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ]
（A） （B）
（C） （D）
2．设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则 [ B ]
（A）不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
（B）不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
（C）可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
（D）可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示
3．设n维向量组的秩为3，则 [ C ]
（A）中任意3个向量线性无关 （B）中无零向量
（C）中任意4个向量线性相关 （D）中任意两个向量线性无关
4．设n维向量组的秩为，则 [ C ]
（A）若，则任何n维向量都可用线性表示
（B）若，则任何n维向量都可用线性表示
（C）若，则任何n维向量都可用线性表示 （D）若，则
二．填空题：
1．已知向量组的秩为2，则t = 3
2．已知向量组，，，，则该向量组的秩为 2
2． 向量组，，，的秩为2，
则a = 2 b = 5

三．计算题：
1．设，，，，
（1）试求的极大无关组
（2）d为何值时，可由的极大无关组线性表示，并写出表达式

3． 已知3阶矩阵，3维向量满足，且向量组线性无关。
(1) 记,求3阶矩阵,使; (2)求
解：,
且

又因向量组线性无关,故可逆.
得.
(2) ,.

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
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第五节 向 量 空 间 综 合 练 习
一．选择题：
1．设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B, C ]
（A） （B）
（C） （D）
2．设矩阵A的秩，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ B ]
（A）A的任意m个列向量必线性无关 （B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式
（C）A的任意m阶子式不等于零 （D）非齐次线性方程组一定有无穷多组解
二．填空题：
1．设，三维列向量，已知与线性相关，则a =
2．从的基，到基，的过渡矩阵为
三．计算题：
1． 设，，试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。
解：

2．已知的两个基为，， 及 ，，
求由基到基的过渡矩阵P。
解：记,