利用空间向量证明平行(课堂PPT).ppt

第,*,页,3.2.2 利用空间向量证明平行、,垂直关系,自 学 导 引(学生用书P,80,),会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.,课 前 热 身(学生用书P,80,),1.空间中的平行关系主要有,_,、,_,、,_,空间中的垂直关系主要有,_,、,_,、,_,.,2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是,_,即可.,线线平行,线面平行,面面平行,线线垂直,线面垂直,面面垂直,共线向量,3.证明线面平行的方法,(1)证明直线的方向向量与平面的法向量_.,(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量,_,.,(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是,_,.,垂直,共线,共面向量,4.证明面面平行的方法,(1)转化为,_,、,_,处理;,(2)证明这两个平面的法向量是,_,.,5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量,_,.,6.证明线面垂直的方法,(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是,_,;,(2)证明直线与平面内的,_,.,线线平行,线面平行,共线向量,互相垂直,共线向量,两条不共线向量互相垂直,7.证明面面垂直的方法,(1)转化为,_,、,_,;,(2)证明两个平面的法向量,_,.,线线垂直,线面垂直,互相垂直,名 师 讲 解(学生用书P,80,),1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=b即可.,2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可.,3.证明线面垂直:直线l,平面,要让l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明pa且pb,也就是ap=0且bp=0.,4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.,典 例 剖 析(学生用书P80),题型一 证明线面平行,例1:在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M、N分别是C,1,C、B,1,C,1,的中点,求证:MN平面A,1,BD.,分析:分析1,如下图,易知MNDA,1,因此得方法1.,变式训练1:ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD,1,平面C,1,DE.,证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD,1,为坐标轴建系如右图,则B(2,2,0),D,1,(0,0,3),E(1,2,0),C,1,(0,2,3),题型二 证明线面垂直,例2:如下图所示,在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E、F分别是BB,1,、D,1,B,1,的中点.,求证:EF平面B,1,AC.,分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行.,证明:方法1:设A,1,B,1,的中点为G,连结EG,FG,A,1,B.,则FGA,1,D,1,EGA,1,B.,A,1,D,1,平面A,1,B.FG平面A,1,B.,AB,1,平面A,1,B,FGAB,1,A,1,BAB,1,EGAB,1,.EFAB,1,.,同理EFB,1,C.又AB,1,B,1,C=B,1,EF平面B,1,AC.,方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定,需添加辅助线.,方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明.,方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的.,(2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优点,不能偏废.,分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行.,证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),题型三 证明面与面垂直,例3:三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC,1,的中点.,求证:平面AB,1,D平面ABB,1,A,1,.,分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.,证明:方法1:取AB的中点E.,三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,为正三棱柱,CEAB且AA,1,CE,得,CE面ABB,1,A,1,.,另取AB,1,中点M,得MDCE.,MD面ABB,1,A,1,.,又MD,面AB,1,D,面AB,1,D面ABB,1,A,1,.,方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB,1,的中点M,则相关点的坐标如下:,规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为增加计算的难度.,变式训练3:如图所示,在六面体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A,1,B,1,C,1,D,1,是边长为1的正方形,DD,1,平面A,1,B,1,C,1,D,1,DD,1,平面ABCD,DD,1,=2.,(1)求证:A,1,C,1,与AC共面,B,1,D,1,与BD共面;,(2)求证:平面A,1,ACC,1,平面B,1,BDD,1,.,证明:以D为原点,以DA,DC,DD,1,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A,1,(1,0,2),B,1,(1,1,2),C,1,(0,1,2),D,1,(0,0,2).,技 能 演 练(学生用书P82),基础强化,1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是(),A.(1,0,0)B.(0,1,0),C.(0,0,1)D.(0,1,1),答案:B,2.平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面与平面的关系是(),A.平行 B.相交但不垂直,C.相交且垂直 D.无法判定,答案:C,3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,则AC与平面DEF的位置关系是(),A.平行 B.相交,C.在平面内 D.不能确定,答案:A,解析:如图所示,易知EFAC,又AC,平面DEF,EF,平面DEF,AC平面DEF.,4.在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,若E为A,1,C,1,的中点,则直线CE垂直于(),A.AC B.BD,C.A,1,D D.A,1,A,答案:B,解析:如图,B,1,D,1,CC,1,B,1,D,1,A,1,C,1,又CC,1,A,1,C,1,=C,1,B,1,D,1,平面AA,1,C,1,C,而CE平面AA,1,C,1,C,B,1,D,1,CE,又B,1,D,1,BD,CEBD.,5.平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y,2,等于(),A.2 B.0,C.1 D.无意义,答案:C,6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,8),则直线l与平面的位置关系是,_,.,解析:a5n=(-2)4+30+81=0,an,l,或l.,答案:l,或l,能力提升,7.在正方体AC,1,中,O、M分别是DB,1,、D,1,C,1,的中点.,证明:OMBC,1,.,证明:如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD,1,为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.,8.在棱长为a的正方体OABC-O,1,A,1,B,1,C,1,中,E、F分别是AB、BC上的动点,且AE=BF,求证:A,1,FC,1,E.,证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A,1,(a,0,a),C,1,(0,a,a).,设AE=BF=x,E(a,x,0),F(a-x,a,0).,9.如右图所示,在平行六面体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E、F、G分别是A,1,D,1,、D,1,D、D,1,C,1,的中点.求证:平面EFG平面AB,1,C.,品味高考,10.(北京卷)如图在直三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中,AC=3,BC=4,AB=5,AA,1,=4,点D是AB的中点,求证:AC,1,平面CDB,1,.,证明:因直三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以AC,2,+BC,2,=AB,2,.所以ACBC,