第一学期线性代数复习知识点及练习题.doc

2008-2009学年第一学期线性代数复习知识点和练习题一、行列式1行列式：性质,计算,展开式例1设,则 ;例2若,则 ;例3已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依次分别为,则 ;例4计算四阶行列式.二、矩阵1矩阵的运算：加法,数乘,乘法,转置2矩阵的逆：定义,求逆3矩阵的初等变换：行阶梯形矩阵,行最简形矩阵4矩阵的秩：定义,用初等行变换求秩例1设,则 ; ;例2已知,则_;_;_;_;例3已知为三阶方阵,且,则_;_;_;例4若方阵满足,则_;_;例5设,则_;例6设为矩阵且,则_;例7设,求;例8求矩阵使.三、向量1向量的线性运算2向量的线性表示及判断3向量组的线性相关性：定义,判断4向量组的秩,极大无关组例1已知向量,且,则 ;例2已知向量与正交,则 ;例3已知向量,线性相关,则 ;例4设向量组,求向量组的秩;求向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.四、线性方程组1齐次线性方程组的解的判断和性质2非齐次线性方程组的解的判断和性质3齐次线性方程组的基础解系和通解4非齐次线性方程组的通解例1若齐次线性方程组有非零解,则 ;例2求线性方程组的基础解系和通解;例3求非齐次线性方程组的通解.五、相似矩阵1矩阵的特征值和特征向量：定义,求解,性质2相似矩阵：定义,性质3矩阵的对角化：条件,方法4对称矩阵的对角化例1三阶方阵的特征值为,则 ; ; ;例2设方阵与相似,且,则 ;例3设,求的特征值与特征向量;例4求正交矩阵使与对角阵相似;例5三阶方阵的特征值对应的特征向量,求;例6已知是矩阵的一个特征向量,则 .六、二次型1二次型：矩阵, 2二次型正定性判断例1已知二次型,写出二次型矩阵;判别此二次型的正定性;- 3 -