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勾股定理的多解问题
———分类讨论
a
b
c
图（1）
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
如图（1）即：a2+b2=c2
运用勾股定理解题时，由于题目的条件不明确，会引起一题多解的现象，这时若能利用分类讨论思想进行解答，则可确保结果不重不漏，下面我们就举两个例子讨论一下。
例1、直角三角形有两条边长分别为3和4，请问第三条边长是多少？
分析：题目没有图，也没有说明两条边是直角三角形的哪两条边，所以我们可以分类讨论：（1）3和4可能是两条直角边，如图（2）；（2）3和4可能一条是直角边和一条是斜边，如图（3）。
3
4
图（2）
解：如图（2）a=3 b=4
根据勾股定理 c2 =a2+b2
=32+42
=25
所以 c=5
3
4
图（3）
如图（3）b=3 c=4
根据勾股定理c2 =a2+b2
42=a2+32
a2=16－9=7
所以 a=
答：第三条边长是5或。
例2、已知△ABC，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则BC的长为（ ）
A. 21 B. 9 C. 16 D. 21和9
分析：题目没有图，所以我们可以分类讨论：（1）高线AD可能在三角形形的内部，如图（4）；（2）高线AD可能在三角形形的外部，如图（5）。
A
解：如图（4）B
C
D
图（4）
在Rt△ADB中
根据勾股定理 AB2=AD2+BD2
172=82+BD2
BD2=172－82
=225
所以 BD=15
在Rt△ADC中
根据勾股定理 AC2=AD2+CD2
102=82+CD2
CD2=102－82
=36
A
C
D
图（5）
B
所以 CD=6
所以 BC=BD+DC=15+6=21
如图（5）在Rt△ADB中
根据勾股定理 AB2=AD2+BD2
172=82+BD2
BD2=172－82
=225
所以 BD=15
在Rt△ADC中
根据勾股定理 AC2=AD2+CD2
102=82+CD2
CD2=102－82
=36
所以 CD=6
所以 BC=BD－CD=15－6=9
故答案选：D
练习：1、一直角三角形两边长为5和12，则第三边的长为（ ）
A. 13 B. C. 13或 D.
2、已知两边的长分别为8和15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（ ）
A. 不能确定 B. C. 17 D. 17或
3、已知△ABC，AB=10，AC=17，BC边上高AD=8。则△ABC的面积为（ ）
A. 168 B. 84 C. 84或36 D. 168或72
答案：1、C 2、D 3、C
3