勾股定理的多解问题.doc

勾股定理的多解问题 分类讨论abc图（1）勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。如图（1）即：a2+b2=c2 运用勾股定理解题时，由于题目的条件不明确，会引起一题多解的现象，这时若能利用分类讨论思想进行解答，则可确保结果不重不漏，下面我们就举两个例子讨论一下。例1、直角三角形有两条边长分别为3和4，请问第三条边长是多少？分析：题目没有图，也没有说明两条边是直角三角形的哪两条边，所以我们可以分类讨论：（1）3和4可能是两条直角边，如图（2）；（2）3和4可能一条是直角边和一条是斜边，如图（3）。34图（2）解：如图（2）a=3 b=4 根据勾股定理 c2 =a2+b2 =32+42 =25 所以 c=534图（3）如图（3）b=3 c=4根据勾股定理c2 =a2+b2 42=a2+32 a2=169=7 所以 a=答：第三条边长是5或。例2、已知ABC，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则BC的长为（ ） A. 21 B. 9 C. 16 D. 21和9分析：题目没有图，所以我们可以分类讨论：（1）高线AD可能在三角形形的内部，如图（4）；（2）高线AD可能在三角形形的外部，如图（5）。A解：如图（4）BCD图（4）在RtADB中 根据勾股定理 AB2=AD2+BD2 172=82+BD2 BD2=17282 =225 所以 BD=15 在RtADC中根据勾股定理 AC2=AD2+CD2 102=82+CD2 CD2=10282 =36ACD图（5）B所以 CD=6 所以 BC=BD+DC=15+6=21 如图（5）在RtADB中 根据勾股定理 AB2=AD2+BD2 172=82+BD2 BD2=17282 =225 所以 BD=15 在RtADC中根据勾股定理 AC2=AD2+CD2 102=82+CD2 CD2=10282 =36所以 CD=6 所以 BC=BDCD=156=9故答案选：D练习：1、一直角三角形两边长为5和12，则第三边的长为（ ）A. 13 B. C. 13或 D. 2、已知两边的长分别为8和15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（ ） A. 不能确定 B. C. 17 D. 17或 3、已知ABC，AB=10，AC=17，BC边上高AD=8。则ABC的面积为（ ） A. 168 B. 84 C. 84或36 D. 168或72答案：1、C 2、D 3、C3