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1 第一章第一章 数和数的运算数和数的运算一一 概念概念（一）整数（一）整数1 1、整数的意义整数的意义 自然数和自然数和 0 0 都是整数。都是整数。2 2 、自然数、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1 1，2 2，33叫做自然数。叫做自然数。一个物体也没有，用一个物体也没有，用 0 0 表示。表示。0 0 也是自然数。也是自然数。3 3、计数单位、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是每相邻两个计数单位之间的进率都是 1010。这样的计数法叫做十进制计数法。这样的计数法叫做十进制计数法。4 4 、数位、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5 5、数的整除、数的整除整数整数 a a 除以整数除以整数 b(bb(b 0 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说），除得的商是整数而没有余数，我们就说 a a 能被能被 b b 整除，或整除，或者说者说 b b 能整除能整除 a a 。例如。例如 153=5153=5，所以，所以 1515 能被能被 3 3 整除，整除，3 3 能整除能整除 1515。如果数如果数 a a 能被数能被数 b b（b b 0 0）整除，）整除，a a 就叫做就叫做 b b 的倍数，的倍数，b b 就叫做就叫做 a a 的因数。倍数和约数的因数。倍数和约数是相互依存的。是相互依存的。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1 1，最大的因数是它本身。，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。个位上是个位上是 0 0、2 2、4 4、6 6、8 8 的数，都能被的数，都能被 2 2 整除，例如：整除，例如：202202、480480、304304，都能被，都能被 2 2 整除。整除。个位上是个位上是 0 0 或或 5 5 的数，都能被的数，都能被 5 5 整除，例如：整除，例如：5 5、3030、405405 都能被都能被 5 5 整除。整除。一个数的各位上的数的和能被一个数的各位上的数的和能被 3 3 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 3 3 整除，例如：整除，例如：1212、108108、204204 都能都能被被 3 3 整除。整除。能被能被 2 2 整除的数叫做偶数，不能被整除的数叫做偶数，不能被 2 2 整除的数叫做奇数。整除的数叫做奇数。0 0 也是偶数。自然数按能否被也是偶数。自然数按能否被2 2 整除的特征可分为奇数和偶数。整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有一个数，如果只有 1 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数，和它本身两个因数，这样的数叫做质数，100100 以内的质数有：以内的质数有：2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313、1717、1919、2323、2929、3131、3737、4141、4343、4747、5353 、5959、6161、6767、7171、7373、7979、8383、8989、9797。一个数，如果除了一个数，如果除了 1 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4 4、6 6、8 8、9 9、1212 都是合数。都是合数。1 1 不是质数也不是合数，自然数除了不是质数也不是合数，自然数除了 1 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1 1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如个合数的质因数，例如 15=3515=35，3 3 和和 5 5 叫做叫做 1515 的质因数。的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把例如把 2828 分解质因数分解质因数 28=22728=227几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如因数，例如 1212 的约数有的约数有 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212；1818 的约数有的约数有 1 1、2 2、3 3、6 6、9 9、1818。其中，。其中，1 1、2 2、3 3、6 6 是是 1212 和和 1 1 8 8 的公因数，的公因数，6 6 是它们的最大公因数。是它们的最大公因数。公约数只有公约数只有 1 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 1 和任何自然数互质。和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有两个合数的公约数只有 1 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。几个数两两互质。2如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1 1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如倍数，如 2 2 的倍数有的倍数有 2 2、4 4、6 6 、8 8、1010、1212、3 3 的倍数有的倍数有 3 3、6 6、9 9、1212、1515、1818 其中其中 6 6、1212、1818是是 2 2、3 3 的公倍数，的公倍数，6 6 是它是它们的最小公倍数。们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（二）小数（二）小数1 1 、小数的意义、小数的意义 把整数把整数 1 1 平均分成平均分成 1010 份、份、100100 份、份、10001000 份份 得到的十分之几、百分之几、千分之得到的十分之几、百分之几、千分之几几 可以用小数表示。可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 1010。小数部分的最高分数单位。小数部分的最高分数单位“十分之十分之一一”和整数部分的最低单位和整数部分的最低单位“一一”之间的进率也是之间的进率也是 1010。2 2、小数的分类、小数的分类 循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。做循环小数。例如：例如：3.5553.555 0.03330.0333 12.10910912.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例例如：如：3.993.99 的循环节是的循环节是“9 9 ”，0.54540.5454 的循环节是的循环节是“5454 ”。（三）分数（三）分数1 1 、分数的意义、分数的意义 把单位把单位“1”“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”“1”平平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位把单位“1”“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 2 、分数的分类、分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1 1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1 1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。（四）百分数（四）百分数1 1 、表示一个数是另一个数的百分之几的数、表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数叫做百分数,也叫做百分率也叫做百分率 或百分比。百或百分比。百分数通常用分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。来表示。百分号是表示百分数的符号。二二 方法方法（一）数的读法和写法（一）数的读法和写法 1.1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个去读，再在后面加一个“亿亿”或或“万万”字。每一级末尾的字。每一级末尾的 0 0 都不读出来，其它数位连续都不读出来，其它数位连续有几个有几个 0 0 都只读一个零。都只读一个零。2.2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在3那个数位上写那个数位上写 0 0。3.3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点点”，小，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4.4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5.5.分数的读法：读分数时，先读分母再读分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之分之”然后读分子，分子和分母按照整数然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。的读法来读。6.6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7.7.百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。的读法来读。8.8.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”“%”来表示。来表示。（二）数的改写（二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万万”或或“亿亿”作单位的数。有作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1.1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把例如把 12543000001254300000 改写成以万做单位的数改写成以万做单位的数是是 125430125430 万；改写成万；改写成 以亿做单位以亿做单位 的数的数 12.54312.543 亿。亿。2.2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。一个近似数来表示。例如：例如：13024900151302490015 省略亿后面的尾数是省略亿后面的尾数是 1313 亿。亿。3.3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 4 或者比或者比 4 4 小，就把尾数去掉；如果小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是尾数的最高位上的数是 5 5 或者比或者比 5 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进大，就把尾数舍去，并向它的前一位进 1 1。例如：省。例如：省略略 345900345900 万后面的尾数约是万后面的尾数约是 3535 万。省略万。省略 47250974204725097420 亿后面的尾数约是亿后面的尾数约是 4747 亿。亿。（三）数的互化（三）数的互化 1.1.小数化成分数：原来有几位小数，就在小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。掉小数点作分子，能约分的要约分。2.2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。化成有限小数的，一般保留三位小数。3.3.一个最简分数，如果分母中除了一个最简分数，如果分母中除了 2 2 和和 5 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有化成有限小数；如果分母中含有 2 2 和和 5 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4.4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5.5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。两位。6.6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小，再把小数化成百分数。数化成百分数。7.7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（四）数的整除（四）数的整除 1.1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2.2.求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公因数的商只有公因数 1 1 为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数约数 。3.3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，4一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。个数的最小公倍数。4.4.成为互质关系的两个数：成为互质关系的两个数：1 1 和任何自然数互质和任何自然数互质 ；相邻的两个自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有两个合数的公约数只有 1 1 时，这两个时，这两个合数互质。合数互质。（五）（五）约分和通分约分和通分 约分的方法：用分子和分母的公约数（约分的方法：用分子和分母的公约数（1 1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。公倍数作分母的分数。三三 性质和规律性质和规律（一）商不变的规律（一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（二）小数的性质（二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1.1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大小数点向右移动一位，原来的数就扩大 1010 倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大大 100100 倍；倍；2.2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小小数点向左移动一位，原来的数就缩小 1010 倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小小 100100 倍；倍；3.3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0“0补足位。补足位。（四）分数的基本性质（四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。小不变。（五）分数与除法的关系（五）分数与除法的关系1.1.被除数被除数除数除数=被除数被除数/除数除数 2.2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3.3.被除数相当于分子，除数相当于分母。被除数相当于分子，除数相当于分母。四四 运算的意义运算的意义（一）整数四则运算（一）整数四则运算1 1 整数加法：整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数加数+加数加数=和和 一个加数一个加数=和另一个加数和另一个加数 2 2 整数减法：整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。总数，减数和差分别是部分数。3 3 整数乘法：整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，在乘法里，0 0 和任何数相乘都得和任何数相乘都得 0.0.1 1 和任何数相乘都的任何数。和任何数相乘都的任何数。5一个因数一个因数 一个因数一个因数 =积积 一个因数一个因数=积积另一个因数另一个因数 4 4 整数除法：整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。在除法里，在除法里，0 0 不能做除数。因为不能做除数。因为 0 0 和任何数相乘都得和任何数相乘都得 0 0，所以任何一个数除以，所以任何一个数除以 0 0，均得不，均得不到一个确定的商。到一个确定的商。被除数被除数除数除数=商商 除数除数=被除数被除数商商 被除数被除数=商商除数除数 （二）小数四则运算（二）小数四则运算1.1.小数加法：小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2.2.小数减法：小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算个加数的运算.3.3.小数乘法：小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。是多少。4.4.小数除法：小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。一个因数的运算。（三）分数四则运算（三）分数四则运算 1.1.分数加法：分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。是把两个数合并成一个数的运算。2.2.分数减法：分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。个加数的运算。3.3.分数乘法：分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。4.4.乘积是乘积是 1 1 的两个数叫做互为倒数。的两个数叫做互为倒数。5.5.分数除法：分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。一个因数的运算。（四）运算定律（四）运算定律 1.1.加法交换律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+aa+b=b+a 。2.2.加法结合律：加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)a+b)+c=a+(b+c)。3.3.乘法交换律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 ab=baab=ba。4.4.乘法结合律：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即个数相乘，它们的积不变，即(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)。65.5.乘法分配律：乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)(a+b)c=ac+bcc=ac+bc 。6.6.减法的性质：减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a-b-c=a-a-b-c=a-(b+c)(b+c)。（五）运算法则（五）运算法则 1.1.回顾整数加法、减法、乘法的计算法则：回顾整数加法、减法、乘法的计算法则：2.2.整数除法计算法则：整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1 1，要补，要补“0”“0”占位。每次除得的余数要小于除数。占位。每次除得的余数要小于除数。3.3.小数乘法法则：小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”“0”补足。补足。4.4.除数是整数的小数除法计算法则：除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添末尾仍有余数，就在余数后面添“0”“0”，再继续除。，再继续除。5.5.除数是小数的除法计算法则：除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。6.6.异分母分数加减法计算方法异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。7.7.带分数加减法的计算方法带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。10.10.分数乘法的计算法则分数乘法的计算法则:分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12.12.分数除法的计算法则分数除法的计算法则:甲数除以乙数（甲数除以乙数（0 0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。除外），等于甲数乘乙数的倒数。（六）（六）运算顺序运算顺序 1.1.没有括号的混合运算没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算先算乘、除法，后算加减法。加减法。2.2.有括号的混合运算有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。第二章第二章 度量衡度量衡 一一 长度长度 单位之间的换算单位之间的换算 1 1 厘米厘米 1010 毫米毫米 1 1 分米分米 1010 厘米厘米 1 1 米米 10001000 毫米毫米 1 1 千米千米 10001000 米米 二二 面积面积 （一）什么是面积（一）什么是面积面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。（二）常用的面积单位（二）常用的面积单位 7 平方厘米平方厘米 平方分米平方分米 平方米平方米 平方千米平方千米 （三）面积单位的换算（三）面积单位的换算 1 1 平方分米平方分米=100=100 平方厘米平方厘米 1 1 平方米平方米 100100 平方分米平方分米 1 1 公倾公倾 1000010000 平方米平方米 1 1 平方千米平方千米 100100 公顷公顷 三三 体积和容积体积和容积（一）什么是体积、容积（一）什么是体积、容积体积，就是物体所占空间的大小。体积，就是物体所占空间的大小。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。（二）常用单位（二）常用单位 1 1 体积单位体积单位 立方米立方米 立方分米立方分米 立方厘米立方厘米 2 2 容积单位容积单位 升升 毫升毫升 （三）单位换算（三）单位换算 1 1 体积单位体积单位 1 1 立方米立方米=1000=1000 立方分米立方分米 1 1 立方分米立方分米=1000=1000 立方厘米立方厘米 2 2 容积单位容积单位 1 1 升升 =1000=1000 毫升毫升 1 1 升升 =1=1 立方米立方米 1 1 毫升毫升=1=1 立方厘米立方厘米 四四 质量质量 1 1 吨吨=1000=1000 千克千克 1 1 千克千克 =10001000 克克 五五 时间时间 1 1 世纪世纪=100=100 年年 1 1 年年=365=365 天天 平年平年 一年一年=366=366 天天 闰年闰年 1 1 天天=2424 小时小时 1 1 小时小时=60=60 分分 1 1 分分=60=60 秒秒 第三章第三章 代数初步知识代数初步知识 一、用字母表示数一、用字母表示数1 1 用字母表示数的意义和作用用字母表示数的意义和作用 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。2 2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式（1 1）常见的数量关系）常见的数量关系 路程用路程用 s s 表示，速度表示，速度 v v 用表示，时间用用表示，时间用 t t 表示，三者之间的关系：表示，三者之间的关系：s=vts=vt v=s/tv=s/t t=s/vt=s/v总价用总价用 a a 表示，单价用表示，单价用 b b 表示，数量用表示，数量用 c c 表示，三者之间的关系表示，三者之间的关系:a=bca=bc b=a/cb=a/c c=a/bc=a/b（2 2）运算定律和性质）运算定律和性质 加法交换律：加法交换律：a+b=b+aa+b=b+a加法结合律：（加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：乘法交换律：ab=baab=ba乘法结合律：（乘法结合律：（ab)c=a(bc)ab)c=a(bc)乘法分配律：（乘法分配律：（a+b)c=ac+bca+b)c=ac+bc减法的性质：减法的性质：a-(b+c)a-(b+c)=a-b-c=a-b-c（3 3）用字母表示几何形体的公式）用字母表示几何形体的公式 长方形的长用长方形的长用 a a 表示，宽用表示，宽用 b b 表示，周长用表示，周长用 c c 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。c=2(a+b)c=2(a+b)s=abs=ab8 正方形的边长正方形的边长 a a 用表示，周长用用表示，周长用 c c 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。c=c=4a4a s=as=a平行四边形的底平行四边形的底 a a 用表示，高用用表示，高用 h h 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。s=ahs=ah 三角形的底用三角形的底用 a a 表示，高用表示，高用 h h 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。s=ah/2s=ah/2梯形的上底用梯形的上底用 a a 表示，下底表示，下底 b b 用表示，高用用表示，高用 h h 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。s=(a+b)h/2s=(a+b)h/2 圆的半径用圆的半径用 r r 表示，直径用表示，直径用 d d 表示，周长用表示，周长用 c c 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。c=d=2rc=d=2r s=s=r r扇形的半径用扇形的半径用 r r 表示，表示，n n 表示圆心角的度数，面积用表示圆心角的度数，面积用 s s 表示。表示。s=s=nrnr/360/360长方体的长用长方体的长用 a a 表示，宽用表示，宽用 b b 表示，高用表示，高用 h h 表示，表面积用表示，表面积用 s s 表示，体积用表示，体积用 v v 表示。表示。v=shv=sh s=2(ab+ah+bh)s=2(ab+ah+bh)v=abhv=abh正方体的棱长用正方体的棱长用 a a 表示，底面周长表示，底面周长 c c 用表示，底面积用用表示，底面积用 s s 表示，表示，体积用体积用 v v 表示表示.s=s=6a6a v=av=a圆柱的高用圆柱的高用 h h 表示，底面周长用表示，底面周长用 c c 表示，底面积用表示，底面积用 s s 表示，表示，体积用体积用 v v 表示表示.s s 侧侧=ch=ch s s 表表=s=s 侧侧+2s+2s 底底 v=shv=sh圆锥的高用圆锥的高用 h h 表示，底面积用表示，底面积用 s s 表示，表示，体积用体积用 v v 表示表示.v=sh/3v=sh/33 3 用字母表示数的写法用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”“.”，或者省略不写，数字要写在字，或者省略不写，数字要写在字母的前面。母的前面。当当“1”“1”与任何字母相乘时，与任何字母相乘时，“1”“1”省略不写。省略不写。4 4 、将数值代入式子求值、将数值代入式子求值 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。二、简易方程二、简易方程 （一）方程和方程的解（一）方程和方程的解 1 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。、方程：含有未知数的等式叫做方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立，方程才成立 。2 2 、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。三、解方程三、解方程 解方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程，求方程的解的过程叫做解方程。四、列方程解应用题四、列方程解应用题 先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用