椭圆专题复习.doc

椭圆专题复习
1.(课本P33.7)已知圆圆动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
2.(课本P33.8).设动点到点的距离是到直线的距离之比为，则点的轨迹方程是
3.（课本P32.3)改编)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_______________________________
4.(课本P33.3).经过两点,两点的椭圆标准方程是 .
5.(2015江苏改编) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的椭圆的离心率是，且右焦点到左准线的距离为3，则椭圆的标准方程为________.
6．(2015南通)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆的另一个交点为，且,则椭圆的离心率为
7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该离心率e的取值范围是________．
8.( 浙江2015高考第15题·)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________.

9.(重庆2015高考第21题)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e.

拓展1: 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一点A关于原点的对称点为B，右焦点为F，,求椭圆的离心率的取值范围。

拓展2：已知椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴的正半轴交于点A，O是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，求椭圆的离心率的取值范围．

10．(江苏2014高考第17题)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率e的值．
巩固练习

1. .设点,，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为 .
2. .椭圆的离心率为，则的值为
3. 如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为__________．
4. .(江苏2013高考第12题).在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为 ），右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为
5.椭圆0)的右焦点为F,点在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是________．
6．如图，已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .

7.如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1) 若点P坐标为(，1)，求椭圆C的方程；
(2) 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，求椭圆C的离心率；

8.已知椭圆：，点分别是椭圆的左顶点和上顶点，直线与圆：（是椭圆的半焦距）相离，是直线上一动点，过点作圆的两切线，切点分别为,．
（1）若椭圆经过两点、，求椭圆的方程；
（2）当为定值时，求证：直线经过一定点，并求的值（是坐标原点）；
（3）若存在点使得为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

变式：设满足方程，则点的轨迹是
变式：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一点A关于原点的对称点为B，右焦点为F，,则椭圆的离心率的取值范围是__________.
变式：已知椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴的正半轴交于点A，O是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，椭圆的离心率的取值范围 ．

9.如图，已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .
变式：

10.如图，已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .

变式：

11.(课本P33.11).如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________.

16．
(1) 解：因为点P(，1)，所以kOP＝.
因为AF⊥OP，－×＝－1，
所以c＝b，所以3a2＝4b2.(2分)
又点P(，1)在椭圆上，
所以＋＝1，解之得a2＝，b2＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.(4分)
(2) 解：由题意，直线AF的方程为＋＝1，与椭圆C的方程＋＝1联立消去y，得x2－＝0，解得x＝0或x＝，所以Q点的坐标为，(7分)
所以直线BQ的斜率为kBQ＝＝.
由题意得＝，所以a2＝2b2，(9分)
所以椭圆的离心率e＝＝＝.(10分)

易错点：忽略挖去与轴的交点.
参考答案：(待定)
6.
易错点：容易遗漏焦点在轴的情形.
参考答案：或
14.
答案　＋＝1
解析　设所求的椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，C，
F(，0)．
依题意，得＝，FM的直线方程是x＝，
所以M.
由于O，C，M三点共线，所以＝，
即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.
所求方程是＋＝1.
O
B
C
F1
F2
D
x
y
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆
()的左、右焦点，B，C分别为椭圆的
上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为. 若
，则直线的斜率为
(备用)

1．方程表示的曲线是 ；其方程为
表示的曲线是 ；其方程为 .
参考答案：椭圆；；线段；
（P37.10）椭圆的焦点，短轴的一个端点为，当为钝角时,则离心率e的取值范围是

变式：椭圆的焦点，点为椭圆上一动点，当为钝角时,求点的横坐标取值范围.
解析 |AF|而|PF|
所以 即解得.
答案 D
5.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴的正半轴交于点A，O是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，椭圆的离心率的取值范围 ．
(2)设M(x，y)，则MA⊥MO，得·＝－1.
将其与椭圆方程联立，
消去y，得(x－a)(b2x－a2x＋b2a)＝0.
由x≠a，得x＝＝.
∵M(x，y)在椭圆上，∴x∈[－a，a]，
又MA⊥MO，则x∈(0，a)，即0<<a，
∴0<<1,1<＝<2，则>，∴e>.
又∵0<e<1，∴<e<1.
6 (2)(2014·江西)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
(2)直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±.
∴A(c，)，B(c，－).
∴kBF1＝＝＝－.
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c).
令x＝0，则y＝－，
∴D(0，－)，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝.
∵e>0，∴e＝＝＝.
答案　(1)　(2)
命题点2　由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质
例5　(2015·江苏)如图，在平面直

角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.
解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入椭圆方程，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
则x1,2＝，
C的坐标为，且
AB＝＝
＝.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.
从而k≠0，故直线PC的方程为
y＋＝－，
则P点的坐标为，
从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，
解得k＝±1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
思维升华　解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.

4.(课本P33.3(1)).过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______________.