高等数学---极限和连续.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1数列的极限,一、数列极限的定义,二、几个常用的数列极限,三、数列极限的四则运算法则,四、典例精析,例1、求极限：,【,解析,】,例2、,已知,求实数a,b的值。,【解析】,1.2 函数的极限,一、函数极限的定义,3.左极限与右极限,二、极限的四则运算法则,注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.,三.两个重要极限,解析：,1.3 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量与无穷大量的定义,定义1,极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小.,推论,常数与无穷小量之积为无穷小量.,二、无穷小的性质,性质1,有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.,性质2,有限个无穷小之积仍然是无穷小.,性质3,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,三、无穷小量的阶,常用等价无穷小：,例：求极限,四、无穷小与无穷大的关系,1.4 函数的连续性,一、连续的定义,结论,：,二、,间断点,跳跃间断点,【例,1,】,【解】,2.函数间断点的几种常见类型,(1).,【第一类间断点】,(左右极限都存在的点).,1,可去间断点,【例,2,】,【解】,【说明】,可去间断点只要,改变,（原来有定义时）,或者,补充,（原来无定义时）,间断点处函数的,定义,则可使其变为连续点，故称其为,可去间断点,.,如例,5,中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,【特点】,可去型,：左右极限存在且,相等,.,跳跃型,：左右极限存在但,不相等,.,(2),【第二类间断点】,【例,3,】,【解】,【特点,】,这种情况称为,无穷间断点,【例,4】,【解】,这种情况称为,振荡间断点.,【特点】,振荡而不存在，但均不为,，称之.,图3.3.1,例3,解析：,利用“若函数在点 处连续，则函数在点 处既右连续又左连续”.,三、初等函数的连续性,1.初等函数的连续性,由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则以及复合函数的连续性可知：,结论：,(1)求初等函数的连续区间就是求其定义区间；,(2)关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性,.,定理3,初等函数在其定义域内是连续的.,2.利用函数的连续性求极限,3.闭区间上连续函数的性质,小结：若函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，则它在该区间上未必能取得最大值和最小值.,（如图3.3.2所示）.,图3.3.2,