第三章机械能定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章,机械能定理,0,3.,1 动能定理,3.1.1 功与功率,力的空间累积量：功,元功,变力沿曲线作功,1,质点从,a,到,b,的运动过程中，力,F,所作的功,在,SI,中，功的单位是,N,m(,牛,米)，又称,J(,焦耳)，即有,J=N,m。,2,重力功,O,重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关，,与经过的路径无关。,3,弹力功,x,x+dx,k,弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关，,与其间经过的路径无关。,4,万有引力功,r,m,M,系,与路径无关,7,二体径向位力功,弹力和万有引力都是径向力,库仑力功,8,功率,功率,P,：力在单位时间内所作的功：,设,F,作用的对象在,dt,时间的位移量为,d,l,在,SI,中，功率单位特称,W（,瓦特），即有,W,=J/s,9,3,.,1.2 质点动能定理,任一惯性系,S,中，合力,F,对质点所作元功,牛顿第二定律的切向分量式,代入得,10,在,S,系中定义质点的动能：,质点动能定理,合力对质点作的功等于质点动能的增加量,微分式,积分式,非惯性系中引入惯性力作功量，它与真实力作功量之和,也等于质点在非惯性系中动能的增量。,11,3.1.3,质点系动能定理,质点系在某惯性系的动能,质点系,动能定理,：,非惯性系中引入各质点所受惯性力作功之和,W,惯,，也可有相应的,“质点系动能定理”,内力是否作功?,12,例1,h,l,m,A,F,v,0,h,l,A,v,0,O,试求,F,的功率,A,点以,v,0,匀速水平运动,13,解法二,求导,求导,h,l,A,v,0,O,14,例2,长,L,、,质量,M,的平板放在光滑水平面上，质量,m,的小木块,以水平初速,v,0,滑入平板上表面，两者间摩擦系数为,，,试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。,m,v,0,M,L,小木块运动到平板右端时与平板速度相同,过程中,m,与,M,间一对摩擦力作功,地面惯性系中动能定理,解法一,15,在随木板运动的非惯性系中,木块以初速,v,0,滑入，最后静止在木板右端。,在这个过程中，摩擦力和惯性力做功。,平动加速度,木块所受惯性力,动能定理,解法二,16,解法三,当作两体问题处理,木块以初速,v,0,滑入，最后静止在木板右端。,17,第三章作业,A,组,4、7、8、9、10,12、17、18、20、22、,24,B,组,26,、,29,、,33,、,34,18,3.,2,保守力与势能,3.2.1,保守力,力的冲量,“路线”唯一,力作的功,“路线”不唯一,从作功的角度，力可分为,摩擦力、空气阻力就是典型的非保守力,自然界所有的基本力都是保守力,19,3.,2,.2,势能,两点之间的可能路径,A,B,P,L,1,L,2,在任意位置上取一个“标准”点,P,从,A,到,B,保守力作的功,定义质点在,S,系的每一个位置的势能：,计算保守力所作的功,20,守恒的理念：动能的增加等于势能的减少,势能零点的选择具有任意性，实际中常选,F,=0,点为势能零点。,任意点的势能等于将质点从该点移动到参考点保守力作的功,势能的减少,=,保守力作功,=,动能的增加,21,重力势能,重心,等势面：势能相等的点形成的曲面,重力的等势面是一水平面,22,弹性势能,势能是保守力作功引起的，,势能究竟“藏”在系统何处？,力从哪里来？,场-引力场、电场、磁场、电磁场等等,势能藏在场中,场又从哪里来?,O,x,23,二体势能,O,S,系,P,1,P,2,两个质点的相互作用是一对保守性作用力和反作用力,系统势能的定义：两个力的作功之和等于系统势能的减少量,系统势能只依赖于两个质点的相对位置，,且在所有参考系中都是相同的。,对于两体系统，系统势能又称为二体势能,24,二体万有引力势能,25,二体库仑势能,26,3.2,.3 势能函数,势能函数一般是空间的三元函数,如何由势能函数求保守力?,27,一维情况,势能函数,保守力,F,是,x,方向的,势能与保守力有关系,28,三维情况,保守力,F,一般也是三元函数,势能与保守力有关系,势能的全微分公式,29,引入哈密顿算符,30,势能曲线,一维势能函数对应的,E,p,-,x,曲线称为势能曲线；,二维的称为势能曲面。,例 二体引力势能对应的势能曲线,E,p,r,31,思考题,半径为,R,的光滑圆环绕竖直轴以,0,匀速转动，圆环上套一小球，试确定其稳定平衡点位置。,32,例4,均匀柱形弹性体：劲度系数,k,、,自由长度,L，,质量,m,，,求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能。,均匀柱形弹性体的性质：,原长,L,中任意一段,l,的劲度系数,受力,F,时，,O,x,33,对应原长,x,处,dx,段的劲度系数,受力,该小段的伸长量,总伸长量,内含弹性势能,34,3.,3 机械能定理,3.3.1 机械能定理,从力学的角度看，质点间的相互作用力或是保守性的，,或是非保守性的。,35,惯性系中质点系动能定理：,将保守性内力作功之和用它们的势能代替，,动能定理可改写为,质点系中各对保守性内力对应的势能之和,E,p,各对保守性内力作功之和,W,内保,便等于,E,p,的减少量,非保守性内力作功之和,W,内非保,，外力作功之和,W,外,36,定义质点系动能与内势能之和为质点系机械能,质点系机械能定理,所有非保守内力作功与所有外力作功之和,等于质点系机械能增加量,37,质点系所受外力也可进一步分为保守性的和非保守性的。,保守性的外力也有对应的外势能,非惯性系中各质点所受保守性惯性力对应的势能之和,E,p,惯,其中,38,3.3.2,机械能守恒定律,动能由各质点速度确定，,势能由系统自身几何位置和形状确定，,速度和几何位形都是运动状态的表征，,因此机械能是由系统运动状态确定的力学量。,动能,势能,保守力作功,机械能,其它形式的能量,非保守力作功,除机械能外，还有许多其它形式的能量,39,机械能守恒定律,能量守恒定律,这条定律支配着至今,我们所知道的一切自然现象，,没有发现这条定律有什么例外。,40,例 6,某惯性系中质量各为,m,，,M,的质点,A,，,B,。,开始时相距,l,0,，A,静止，,B,沿连线向外以,v,0,运动。,在力,F,作用下，,B,作匀速运动。,(1)试求,A、B,间距可达到的最大值,l,max,(2),此过程中变力,F,所作的功。,m,M,A,B,l,0,先定性分析,A,、,B,的运动,41,选择合适的参考系,随,B,运动的惯性系,利用机械能守恒定律,利用机械能定理,另外一种情况,m,M,A,B,l,0,42,例,7,半径为,R,的匀质圆环形光滑细管放在光滑的水平面上，管内有两个相同质量的小球，它们的初速度相同，如图所示。求,（,1,）两球相碰时离管道中心的距离。,（,2,）从小球穿出缺口到相碰，管道水平经过的路程。,O,R,O,R,动量守恒,机械能守恒,43,例 9,长,L,的匀质软绳绝大部分沿长度部分放在光滑水平,桌面上，仅有很少一部分悬挂在桌面外。而后绳将从,静止开始下滑。问绳能否达到图（,b）,状态？,若否，绳滑下多长时会甩离桌边？,L,L,分析物理过程,（,a,）,（,b,）,（,c,）,44,利用机械能守恒定律,绳的水平方向动量,时，存在极大值,L,L,l,45,3,.4,碰撞,将碰撞的物体模型化为质点,宏观世界经常会发生物体间的碰撞,碰撞的特点：碰撞时间一般很短，,物体的动量有明显变化，,碰撞力很大，,常规力,(,如重力,),与其相比提供的冲量可略,碰撞的基本问题：已知碰撞前系统的运动状态，,要求确定碰撞后系统的运动状态。,碰撞现象普遍存在！,46,起跳和落地时的肌肉和筋腱,足球、排球、体操等运动中，膝部要承受多达,7-14,倍的峰值体重,47,3.1 一维碰撞,m,1,m,2,m,1,m,2,碰撞前,碰撞后,碰撞前后动量守恒：,为解,v,1,，,v,2,，,还需建立补充方程,48,弹性碰撞,碰撞前后系统动能不变（机械能守恒）,两个解：一解对应碰前状态，另一解对应碰后状态。,49,性质：碰撞前后相对速度大小不变,特例1：,（反弹）,特例2：,碰后交换速度,50,完全非弹性碰撞,碰后质点1和2一起运动,碰后动能损失,51,非弹性碰撞,介于弹性与完全非弹性之间的碰撞,引入恢复系数,52,53,三体碰撞,m,1,m,2,完全非弹性碰撞有唯一解,碰撞前后动量守恒：,54,解仍然具有的不定性,模型的问题,弹性碰撞,将物体刚性化与质点化,55,3,.4,.2 二维斜碰撞,动量守恒方程,m,1,m,2,完全非弹性碰撞有唯一解,弹性碰撞,若再补充一个角度关系则有唯一解,解的不定性源于物体的刚性化与质点化,四个未知标量,56,例11,采用二体约化质量方法，,计算二体正碰撞过程中系统 动能损失。,碰撞过程中动能损失量由内力作功引起，,因此在所有参考系中相同。,1,2,v,0,1,2,v,引入恢复系数,57,利用动能定理,二体约化质量,转换到其它参考系，质点1，2初速分别记为,v,10,，,v,20,，,则有,58,习题3-3,质量同为,m,的两个小球，用长为 2,l,的轻绳连接后静放在光滑桌面上，受绳中央的恒力,F,作用。,问在两球第一次相碰前的瞬间，小球在垂直于,F,的方向上分速度多大？,m,59,解法一,绳中张力的水平分量,小球平行方向做匀加速运动，碰前行程,s,利用动能定理,60,解法二,绳中张力的垂直分量,小球垂直方向的位移,利用动能定理,61,解法三,在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，,只有力,F,作功,利用动能定理,62,