2.10变化率与导数、导数的计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第 十 节,变化率与导数、导数的计算,【知识梳理】,1.函数y=f(x)在x=x,0,处的导数,(1)定义：称函数y=f(x)在x=x,0,处的瞬时变化率,_=为y=f(x)在x=x,0,处的导数，记作,f(x,0,)或,即f(x,0,)=_.,(2)几何意义：函数f(x)在点x,0,处的导数f(x,0,)的几何意义是,在曲线y=f(x)上点(x,0,，f(x,0,)处的_.相应地，切线,方程为_.,2.函数y=f(x)的导函数,称函数f(x)=_为函数y=f(x)的导函数，,导函数有时也记作y.,切线的斜率,y-f(x,0,)=f(x,0,)(x-x,0,),3.基本初等函数的导数公式,0,x,-1,cosx,-sinx,a,x,lna,e,x,4.导数四则运算法则,(1)f(x)g(x)_.,(2)f(x)g(x)_.,(3)_(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),【解析】,选C.正确.根据导数的定义知其正确.,错误.应先求f(x),再求f(x,0,).,正确.如y=1是曲线y=sinx的切线,但其交点个数有无数个.,错误.如y=0与抛物线y,2,=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物,线y,2,=x的切线.,正确.f(x)=(f(a)x,2,+lnx)=(f(a)x,2,)+(lnx),=2xf(a)+.,2.下列求导过程,其中正确的个数是(),A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】,选C.正确，由求导公式可知,正确，,正确;错误，因为 为一常数，所以,故正确的只有三个.,3.函数f(x)=(x+2a)(x-a),2,的导数为(),A.2(x,2,-a,2,)B.2(x,2,+a,2,),C.3(x,2,-a,2,)D.3(x,2,+a,2,),【解析】,选C.f(x)=(x-a),2,+(x+2a)2(x-a)=3(x,2,-a,2,).,4.某汽车的路程函数是s(t)=2t,3,-gt,2,(g=10m/s,2,),则当t=2s时,汽车的加速度是(),A.14m/s,2,B.4m/s,2,C.10m/s,2,D.-4m/s,2,【解析】,选A.由题意知,汽车的速度函数为v(t)=s(t)=6t,2,-,gt,则v(t)=12t-g,故当t=2s时,汽车的加速度是v(2)=,122-10=14(m/s,2,).,5.(2013大纲版全国卷)已知曲线y=x,4,+ax,2,+1在点,(-1,a+2),处切线的斜率为8,a=(),A.9 B.6 C.-9 D.-6,【解析】,选D.由题意可知,点(-1,a+2)在曲线上,因为y=4x,3,+2ax,则4(-1),3,+2a(-1)=8,解得a=-6.,6.(2014济南模拟)曲线y=在点(-1，-1)处的切线方程为,_.,【解析】,y=故y|,x=-1,=2,所以切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.,答案：,y=2x+1,考点1,导数的定义及应用,【典例1】,(1)已知f(2)=2,f(2)=3,则 的值,为(),A.1 B.2 C.3 D.4,(2)利用定义求函数y=的导数.,【解题视点】,(1)根据导数的定义，将 表示成平均变化率的形式，根据定义求解.,(2)先求y，再求出当x0时的极限值.,【规范解答】,(1)选C.令x=x-2,【互动探究】,在本例(1)中，若将题干中“x-2”变为“2(x-2)”，其他条件不变，则结果如何？,【解析】,令x=x-2,则,【规律方法】,1.定义法求导数流程,2.确定函数y=f(x)在x=x,0,处的导数f(x,0,)的方法,(1)利用导数的定义法.,(2)先求导函数f(x),再求导函数值f(x,0,).,提醒：,求f(x,0,)时，要先求f(x)，再求f(x,0,)，顺序不可颠倒.,【变式训练】,若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x,0,(a,b)，则 的值为(),A.f(x,0,)B.2f(x,0,),C.-2f(x,0,)D.0,【解析】,选B.x=(x,0,+h)-(x,0,-h)=2h,y=f(x,0,+h)-f(x,0,-h)，所以,【加固训练】,1.,如图，函数,f(x),的图象是折线段,ABC,，其中,A,，,B,，,C,的坐标分别为,(0,4),，,(2,0),，,(6,4),，则,f(f(0),_,；,_(,用数字作答,).,【解析】,f(0),4,，,f(f(0),f(4),2.,由导数定义,当0 x2时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2.,答案：,2 2,2.函数y=f(x)=在x=1处的导数为_.,【解析】,方法一：y=f(1+x)-f(1)=,答案：,考点2,导数的计算,【典例2】,(1)(2014岳阳模拟)已知函数f(x)=g(x),=bx,2,+3x,设函数h(x)=f(x)-g(x),且h(1)=h(1)=0,则a,b的值分别为_和_.,(2)求下列各函数的导数.,y=(2x,2,-1)(3x+1).,【解题视点】,(1)先求h(x)=f(x)-g(x),再据h(1)=,h(1)=0构建关于a,b的方程组求得.,(2)可以先展开解析式，然后再求导，也可以直接利用乘积,的求导法则进行求导.将 利用三角公式化简,后，再求导.先通分，再求导.,【规范解答】,(1)函数h(x)的定义域为x|x-a,则h(x)=f(x)-g(x)=,答案：,0或 -2或-6,(2)方法一:y=(2x,2,-1)(3x+1)=6x,3,+2x,2,-3x-1,所以,y=(6x,3,+2x,2,-3x-1),=(6x,3,)+(2x,2,)-(3x)-(1)=18x,2,+4x-3.,方法二,:y=(2x,2,-1)(3x+1)+(2x,2,-1)(3x+1),=4x(3x+1)+3(2x,2,-1)=12x,2,+4x+6x,2,-3,=18x,2,+4x-3.,先使用三角公式进行化简得,【易错警示】,注意求复杂函数导数的顺序,对于复杂函数的求导，在求导之前，切记应先化简，再求导，否则会出现不必要的错误，如本例均可先化简，再求导，这样可简化步骤，减少运算量.,【规律方法】,导数计算的原则和方法,(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.,(2)方法：,连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；,分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；,对数形式：先化为和、差的形式，再求导；,根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；,三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.,【变式训练】,1.(2014天津模拟)已知f(x)=x(2013+lnx),f(x,0,)=2014,则x,0,等于(),A.e,2,B.1 C.ln2 D.e,【解析】,选B.因为f(x)=2013x+xlnx,所以f(x)=2013+lnx+1=2014+lnx,又因为f(x,0,)=2014,所以2014+lnx,0,=2014,解得x,0,=1.,2.求下列各函数的导数.,(1)y=(3x,2,-4x)(2x+1).,(2)y=x,2,sin x.,(3),【解析】,(1)因为y=(3x,2,-4x)(2x+1),=6x,3,+3x,2,-8x,2,-4x=6x,3,-5x,2,-4x,，,所以,y=18x,2,-10 x-4.,(2)y=(x,2,)sin x+x,2,(sin x)=2xsin x+x,2,cos x.,【加固训练】,1.(2014长沙模拟)若函数f(x)=则,与 的大小关系是(),【解析】,选C.依题意得f(x)=-sin x+,2.求下列函数的导数.,(1)y=3,x,e,x,-2,x,+e.,【解析】,(1)y=(3,x,e,x,)-(2,x,)+(e)=(3,x,)e,x,+3,x,(e,x,),-(2,x,)=3,x,ln 3e,x,+3,x,e,x,-2,x,ln 2=(3e),x,ln(3e)-2,x,ln 2.,(2)先化简,考点3,导数几何意义的应用,【考情】,导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何中的直线、抛物线等知识交汇命题，以选择、填空题或解答题中基本的一问的形式出现，考查求曲线的切线的斜率、方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数等问题.,高频考点通关,【典例3】,(1)(2013广东高考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k),处的切线平行于x轴，则k=_.,(2)(2013北京高考)设,l,为曲线C：在点(1，0)处的,切线.,求,l,的方程.,证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线,l,的下方.,【解题视点】,(1)先求导，根据切线平行于x轴得切线的斜率为,0，进而根据导数的几何意义构建方程求解.,(2)先求出切点处的导数，再代入点斜式方程求切线方程.,转化为 再转化为求f(x)=x(x1)ln x(x0),的极小值问题.,【规范解答】,(1)对y=kx+ln x求导得y=而x轴的斜,率为0，所以在点(1,k)处切线的斜率为y|,x=1,=k+1=0，解得,k=1.,答案：,1,(2)y=于是y|,x=1,=1，,因此,l,的方程为y=x1.,只需要证明x0且x1时，x1,设f(x)=x(x1)ln x,x0，,则f(x)=,当x(0,1)时，f(x)0.,所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.,所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值.,所以f(x)f(1)=0(x1).,因此，除切点(1，0)之外，曲线C在直线,l,的下方.,【通关锦囊】,【通关题组】,1.(2014福州模拟)若曲线y=x,2,+ax+b在点P(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(),A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1,C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1,【解析】,选A.y=2x+a,因为切线x-y+1=0的斜率为1,所以20+a=1,即a=1.又(0,b)在直线x-y+1=0上,因此0-b+1=0,即b=1.,2.(2014孝感模拟)设曲线y=x,n+1,(nN,*,)在点(1，1)处的切,线与x轴的交点横坐标为x,n,，则log,2014,x,1,+log,2014,x,2,+log,2014,x,3,+log,2014,x,2013,的值为(),A.-log,2014,2013 B.-1,C.-1+log,2014,2013 D.1,【解析】,选,B.,由已知得,y=(n+1)x,n,，所以曲线在点,(1,，,1),处,的切线斜率为,k=n+1,，切线方程为,y-1=(n+1)(x-1),，令,y=0,，解,得,x,n,=.,所以原式,=log,2014,(x,1,x,2,x,3,x,2013,),3.（2014长沙模拟）函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1)处的,切线方程为y=x+2，则f(1)+f(1)=_.,【解析】,由题意可知,所以f(1)+f(1)=3.,答案：,3,【加固训练】,1.(2014广州模拟)已知f(x)=ln x,g(x)=(m,0)，直线,l,与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的,切点为(1,f(1),则m等于(),A.-1 B.-3 C.-4 D.-2,【解析】,选D.f(x)=所以直线,l,的斜率为k=f(1)=1,又f(1)=0,所以直线,l,的方程为y=x-1.,g(x)=x+m，设直线,l,与g(x)的图象的切点为(x,0,y,0,),则有x,0,+m=1,y,0,=x,0,-1,y,0,=x,0,2,+mx,0,+,m0,于是解得m=-2,故选D.,2.(2014长春模拟)曲线y=e,x,在点(2,e,2,)处的切线与坐标轴所,围三角形的面积为(),A.e,2,B.2e,2,C.e,2,D.,【解析】,选D.令f(x)=e,x,因为f(x)=e,x,所以曲线在点(2,e,2,),处的切线的斜率为k=f(2)=e,2,切线方程为y-e,2,=e,2,(x-2),即,e,2,x-y-e,2,=0,切线与x轴和y轴的交点分别为A(1,0),B(0,-e,2,),则切线与坐标轴围成的OAB的面积为 1e,2,=,选D.,3.(2014南京模拟)抛物线y=x,2,上的点到直线:x-y-2=0的最短,距离为_.,【解析】,y=2x,根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线,y=x,2,的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短，设切点坐,标为(x,0,x,0,2,)，则 所以切点坐标为,切点到直线x-y-2=0的距离 所以抛物线上,的点到直线x-y-2=0的最短距离为,答案：,【易错误区7】,求解曲线切线方程问题中的易错点,【典例】,(2014天津模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线,y=x,3,和 都相切，则a等于(),【解析】,【误区警示】,【规避策略】,【类题试解】,(2014咸宁模拟)曲线 过点P(2,4),的切线方程为_.,【解析】,设曲线 与过点P(2,4)的切线相切于点,则切线的斜率为:,所以切线方程为,因为点P(2，4)在切线上，所以,即x,0,3,-3x,0,2,+4=0,所以x,0,3,+x,0,2,-4x,0,2,+4=0,所以x,0,2,(x,0,+1)-4(x,0,+1)(x,0,-1)=0,所以(x,0,+1)(x,0,-2),2,=0,解得x,0,=-1或x,0,=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,答案：,4x-y-4=0或x-y+2=0,