同济大学高等数学第七版§110--闭区间上连续函数的性.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十节,一、最值定理,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,一、最大值与最小值,举例：,最大值与最小值：,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),，如果有,x,0,I,，使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),，,则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),在区间,I,上的最大值（最小值）,函数,f,(,x,)=1+sin,x,在区间,0,，,2,p,上有最大值,2,和最小值,0,0,1,2,函数,f,(,x,)=sgn,x,在区间,(-,，,+,),内有最大值,1,和最小值,-1,一、最大值与最小值,最大值与最小值：,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),，如果有,x,0,I,，使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),，,则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),在区间,I,上的最大值（最小值）,举例：,一、最大值与最小值,最大值与最小值：,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),，如果有,x,0,I,，使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),，,则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),在区间,I,上的最大值（最小值）,在开区间,(0,，,+,),内，,sgn,x,的最大值和最小值都是,1,举例：,但函数,f,(,x,)=,x,在开区间,(,a,，,b,),内既无最大值又无最小值,x,y,O,y,=,x,a,b,一、最大值与最小值,最大值与最小值：,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),，如果有,x,0,I,，使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),，,则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),在区间,I,上的最大值（最小值）,举例：,注,1,：定理,1,说明，如果函数,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上连续，那么至少有一点,x,1,a,，,b,，使,f,(,x,1,),是,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值，又至少有一点,x,2,a,，,b,，使,f,(,x,2,),是,f,(,x,),在,a,，,b,上的最小值,a,b,x,y,f,(,x,1,),x,x,1,O,f,(,x,2,),x,2,y=f,(,x,),定理,1,（最大值和最小值定理）,在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和最小值,注,2,：,如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理,1,（最大值和最小值定理）,在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和最小值,在闭区间,0,，,2,考察函数,y,x,2,1,1,2,O,函数,y,=,f,(,x,),在开区间,0,，,2,内既无最大值又无最小值,证明,设函数,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上连续由定理,1,，函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上有最大值,M,和最小值,m,，使任一,x,a,，,b,满足,m,f,(,x,),M,上式表明，,f,(,x,),在,a,，,b,上有上界,M,和下界,m,，因此函数,f,(,x,),在,a,，,b,上有界,定理,1,（有界性定理）,在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,定理,1,（最大值和最小值定理）,在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值 和最小值,二、零点定理与介值定理,注,:,1.,如果,x,0,使,f,(,x,0,)=0,则,x,0,称为函数,f,(,x,),的,零点,几何解释,定理,2(,零点定理,),使得,二、零点定理与介值定理,定理,2(,零点定理,),使得,例,1,证明方程,x,3,-4,x,2,+1=0,在区间,(0,1),内至少有一个根,证明,设,f,(,x,)=,x,3,-4,x,2,+1,则,f,(,x,),C,0,1,并且,f,(0)=1,0,f,(1)=-2,0,根据,零点定理,在,(0,1),内至少,x,使得,f,(,x,)=0,即,x,3,-4,x,2,+1=0,这说明方程,x,3,-4,x,2,+1=0,在区间,(0,1),内至少有一个根是,x,12,定理,3(,介值定理,),设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),那么,对于,f,(,a,),与,f,(,b,),之间的,任意一个数,C,在开区间,(,a,b,),内至少有一点,x,使得,几何意义,:,连续曲线弧,y=f,(,x,),与水平直线,y=C,至少有一个交点,13,定理,3(,介值定理,),证,零点定理,设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),那么,对于,f,(,a,),与,f,(,b,),之间的,任意一个数,C,在开区间,(,a,b,),内至少有一点,x,使得,设,j,(,x,)=,f,(,x,)-,C,则,j,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,14,几何意义,:,之间的任何值,(,不会有任何遗漏,).,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,与最小值,15,例,证,由,零点定理,16,注意条件,1.,闭区间,;2.,连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,三、小结,最值定理,;,有界性定理,;,零点定理,;,介值定理,.,四个定理,