第一部分量子力学基础知识课堂讲授4学时.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 量子力学基础知识,（课堂讲授,4,学时）,十九世纪末，经典物理学已经形成一个相当完善的体系，机械力学方面建立了牛顿三大定律，热力学方面有吉布斯理论，电磁学方面用麦克斯韦方程统一解释电、磁、光等现象，而统计方面有玻耳兹曼的统计力学。当时物理学家很自豪地说，物理学的问题基本解决了，一般的物理都可以从以上某一学说获得解释。唯独有几个物理实验还没找到解释的途径，而恰恰是这几个实验为我们打开了一扇通向微观世界的大门。,十九世纪末的物理学,电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量子力学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。,1.1.1,黑体辐射和能量量子化,黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射入的,辐射实际上全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。黑体是理想的吸收体，也是理想的发射体。,第一节.量子力学的提出,一个吸收全部入射线的表面称为黑体表面。一个带小孔的空腔可视为黑体表面。它几乎完全吸收入射幅射。通过小孔进去的光线碰到内表面时部分吸收，部分漫反射，反射光线再次被部分吸收和部分漫反射,，只有很小部分入射光有机会再从小孔中出来。,如图,1,1,所示,图,1,2,表示在四种不同的温度下，黑体单位面积单位波长间隔上发射的功率曲线。十九世纪末，科学家们对黑体辐射实验进行了仔细测量，发现辐射强度对腔壁温度,T,的依赖关系。,The Nobel Prize in Physics 1918,for their theories,developed independently,concerning the course of chemical reactions,Max Karl Ernst Ludwig,Planck,Germany Berlin University Berlin,Germany 1858-1947,普朗克,根据光波的经典图像，波的能量与它的强度成正比，而与频率无关，因此只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光电效应，而电子的能动将随光强的增加而增加，与光的频率无关，这些经典物理学的推测与实验事实不符。,光电效应和光子学说,光电效应是光照在金属表面上，金属发射出电子的现象。,1,.,只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子，不同金属的临阈频率不同。,2,.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。,3,.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。,1.1.2,图1-3 光电效应示意图,(光源打开后,电流表指针偏转),光电效应和光子学说,(2).光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静止质量为零。按相对论的质能联系定律,=mc,2,光子的质量为,m=h,c,2,所以不同频率的光子有不同的质量。,1905年，Einstein提出光子学说，圆满地解释了光电效应。光子学说的内容如下：,(1).光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与光子的频率成正比，即,式中h为,Planck,常数，,为光子的频率。,将频率为,的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时，产生光电效应，光子消失，并把它的能量,h,转移给电子。电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子的动能。,(3).光子具有一定的动量(p),P=mc=h,/c=h,光子有动量在光压实验中得到了证实。,(4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。,E,k,=h,W,当,h,W,时，从金属中发射的电子具有一定的动能，它随,的增加而增加，与光强无关。,式中W是电子逸出金属所需要的最低能量，称为脱出功，它等于,h,0,；E,k,是光电子的动能，它等于,mv,2,2,，上式能解释全部实验观测结果：,当,h,n,1,n,1,、n,2,为正整数,该公式可推广到氢原子光谱的其它谱系,2,1,（3）各态能量一定，角动量也一定(M=nh/2,),并且是,量子化,的，大小为,h/2,的整数倍。,（1）原子中有一些,确定能量,的稳定态，原子处于定态,不辐射能量。,（2）原子从,一定态,过渡到,另一定态,，才发射或吸收能量。,为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论，爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著名的玻尔理论：,+e,-e,r,库仑引力 离心力 角动量,总能量,动能,势能,Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，对碱金属原子也近似适用.但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。后来，Bohr模型又被.Sommerfeld等人进一步改进，增加了椭圆轨道和轨道平面取向量子化(即空间量子化).这些改进并没有从根本上解决问题,促使更多物理学家认识到,必须对物理学进行一场深刻变革.法国物理学家德布罗意(L.V.de Broglie)勇敢地迈出一大步.,1924年,他提出了物质波可能存在的主要论点.,Bohr,玻尔,他获得了,1922,年的诺贝尔物理学奖。,Bohr(older),玻尔,第二节 微观微粒的波粒二象性,Einstein,为了解释光电效应提出了光子说，即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在科学界引起很大震动。1924年，年轻的法国物理学家,德布罗意（de Broglie）,从这种思想出发,提出了实物微粒也有波性,他认为,：,“在光学上,比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是不是把粒子的图像想得太多，而过于忽略了波的图像？”,-德布罗意物质波,他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。,E=h v,p=h/,1927年，戴维逊（Davisson）与革末（Germer）利用单晶体电子衍射实验，汤姆逊（Thomson）利用多晶体电子衍射实验证实了德布罗意的假设。,光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为,波粒二象性,。,戴维逊,(,Davisson),等估算了电子的运动速度，若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个pm，这样波长一般光栅无法检验出它的波动性。他们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距，所以选择了金属的单晶为衍射光栅。,将电子束加速到一定速度去撞击金属Ni的单晶，观察到完全类似射线的衍射图象，证实了电子确实具有波动性。图1-5为电子射线通过,CsI,薄膜时的衍射图象，一系列的同心圆称为衍射环纹。该实验首次证实了德布罗意物质波的存在。后来采用中子、质子、氢原子等各种粒子流，都观察到了衍射现象。证明了不仅光子具有波粒二象性，微观世界里的所有微粒都有具有波粒二象性，波粒二象性是微观粒子的一种基本属性。,微观粒子因为没有明确的外形和确定的轨道，我们得不到一个粒子一个粒子的衍射图象，我们只能用大量的微粒流做衍射实验。实验开始时，只能观察到照象底片上一个个点，未形成衍射图象，待到足够长时间，通过粒子数目足够多时，照片才能显出衍射图象，显示出波动性来。可见微观粒子的波动性是一种统计行为。微粒的物质波与宏观的机械波（水波，声波）不同，机械波是介质质点的振动产生的；与电磁波也不同，电磁波是电场与磁场的振动在空间的传播。微粒物质波，能反映微粒出现几率，故也称为几率波。,空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现在此处的,几率,成正比,此即物质波的,统计解释.,德布罗意,（Louis Victor de Broglie，1892-1987）法国物理学家。德布罗意提出的物质波假设。为人类研究微观领域内物体运动的基本规律指明了方向。为了表彰德布罗意，他被授予1929年诺贝尔物理学奖。,具有波动性的粒子不能同时有,精确坐标和动量.,当粒子的某个坐标被确定得愈精确,则其相应的动量则愈不精确;反之亦然.但是，其位置偏差(,x)和动量偏差(,p)的积恒定.即有以下关系:,通过电子的单缝衍射可以说明这种“不确定”的确存在。,第三节,不确定度关系,-测不准原理,x=b,在同一瞬时，由于衍射的缘故，电子动量的大小虽未变化，但动量的方向有了改变。由图可以看到，如果只考虑一级,(,即,),衍射图样，则电子绝大多数落在一级衍射角范围内，电子动量沿 轴方向分量的不确定范围为,由德布罗意公式和单缝衍射公式,和,上式可写为,又因为,x=b，因此,宏观世界与微观世界的力学量之间有很大区别，前者在取值上没有限制，变化是连续的，而微观世界的力学量变化是量子化的，变化是不连续的，在不同状态去测定微观粒子，可能得到不同的结果，对于能得到确定值的状态称为“本征态”，而有些状态只能测到一些不同的值（称为平均值），称为“非本征态”。例如，当电子处在坐标的本征态时，测定坐标有确定值，而测定其它一些物理量如动量，就得不到确定值，相反若电子处在动量的本征态时，动量可以测到准确值，坐标就测不到确定值，而是平均值。海森伯,（Heisenberg）,称两个物理量的这种关系为“测不准”关系。,海森伯,(W.K.Heisenberg,，,1901-1976),德国理论物理学家，他于,1925,年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于,26,岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起，奠定了量子力学的基础，为此，他于,1932,年获诺贝尔物理学奖。,海森伯,所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。,例,1.,一颗质量为,10,g,的子弹，具有,200m,s,-1,的速率，若其动量的不确定范围为动量的,0.01%(,这在宏观范围已十分精确,),，则该子弹位置的不确定量范围为多大,?,解:,子弹的动量,动量的不确定范围,由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围,我们知道原子大小的数量级为,10,-10,m,，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已没有实际意义。,例,2,.,一电子具有,200,的速率，动量的不确定范围为动量的,0.01%(,这已经足够精确了,),，则该电子的位置不确定范围有多大,?,解,:,电子的动量为,动量的不确定范围,由不确定关系式，得电子位置的不确定范围,宏观物体 微观粒子,具有确定的坐标和动量 没有确定的坐标和动量,可用牛顿力学描述。需用量子力学描述。,有连续可测的运动轨道，可 有概率分布特性，不可能分辨,追踪各个物体的运动轨迹。,出各个粒子的轨迹。,体系能量可以为任意的、连 能量量子化,。,续变化的数值。,不确定度关系无实际意义 遵循不确定度关系,微观粒子和宏观物体的特性对比,量子力学的基本假设，象几何学中的公理一样，是不能被证明的。公元前三百年欧几里德按照公理方法写出几何原本一书，奠定了几何学的基础。二十世纪二十年代，狄拉克，海森伯，薛定锷等在量子力学假设的基础上构建了这个量子力学大厦。假设虽然不能直接证明，但也不是凭科学家主观想象出来的，它来源于实验，并不断被实验所证实。,第四节.量子力学基本假设,假设1：,对于一个微观体系，它的状态和有关情况可以用波函数(x,y,z,t)来表示。是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间函数。不含时间的波函数（x,y,z)称为定态波函数。,本课程只讨论定态波函数。,量子力学是描述微观体系运动规律的科学,.,例如：对一个两粒子体系,=(x,1,y,1,z,1,x,2,y,2,z,2,t)，其中x,1,y,1,z,1,为粒子1的坐标；x,2,y,2,z,2,为粒子2的坐标；t是时间。,1.4.1 波函数和微观粒子的状态,*,=(f-ig)(f+ig)=f,2,+g,2,因此,*,是实数，而且是正值。为了书写方便，有时也用,2,代替,*,。,的形式可由光波推演而得，根据平面单色光的波动方程：,=A expi2(x/-,t),将波粒二象性关系,E=h，p=h/,代入，得单粒子一维运动的波函数,=A exp（i2/h）(x p,x,-Et),一般是复数形式：,=f+ig,f和g是坐标的实函数，的共轭复数为,*,其定义为,*,=f-ig。为了求,*,，只需在 中出现i的地方都用 i 代替即可。由于,在原子、分子等体系中，将称为原子轨道或分子轨道；将,*,称为概率密度，它就是通常所说的电子云；,*,d,为空间某点附近体积元,d(dxdydz),中电子出现的概率。,(x,y,z)在空间某点的数值，可能是正值，也可能是负值。微粒的波性通过的+、-号反映出来，这和光波是相似的。+、-号涉及状态函数(如原子轨道等)的重叠。,的性质与它是奇函数还是偶函数有关,偶函数：(x,y,z)=(-x,-y,-z),奇函数：(x,y,z)=-(-x,-y,-z),波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个状态的几率性质（选率）。,平方可积：,即在整个空间的积分,*,d应为一有限数，通常要求波函数归一化，即,*,d 1。,合格波函数的条件,由于波函数描述的波是几率波，所以波函数必须满足下列三个条件：,单值：,即在空间每一点只能有一个值；,连续：,即的值不会出现突跃，而且对x，y，z 的一级微商也是连续函数；,符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优,波函数。,波函数,1.4.2 物理量和算符,假设2：,对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符。,算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。如：,sin,，,log,等。,线性算符：,(,1,2,),1,2,自轭算符：,1,*,1,d,1,(,1,),*,d,或,1,*,2,d,2,(,1,),*,d,例如，,id,/,dx,，,1,exp,ix,，,1,*,exp-,ix,，,则，,exp-,ix,(,id,/,dx,)exp,ix,dx,exp-,ix,(-,exp,ix,),dx,-,x.,exp,ix,(,id,/,dx,)exp,ix,*,dx,exp,ix,(-exp,ix,),*,dx,-,x.,量子力学需用,线性自轭算符,，目的是使算符对应的,本征值为实数,。,物理量,算符,位置 x,动量的 x 轴分量p,x,角动量的z轴分量,M,Z,=x p,y,y p,x,动能 T=p,2,/2m,势能 V,总能 E=T+V,=x,P,x,=(i h/2)(/x）,M,Z,=（i h/2)x（/y）y（/x),T =（h,2,/8,2,m)(,2,/x,2,+,2,/y,2,+,2,/z,2,）,=（h,2,/8,2,m）,2,V=V,H=（h,2,/8,2,m）,2,+V,若干物理量及其算符,=A exp(i2/h)(x p,x,Et),/x=A exp(i2/h)(x p,x,Et)d/d x(i2/h)(x p,x,Et),=(i2/h)(p,x,),P,x,=(i h/2)(/x),算符 P,x,算符 P,x,=(i h/2)(/x)推演：,P,x,=(i h/2)(/x),假设3：,若某一力学量 A 的算符 A 作用于某一状态函数后，等于某一常数 a 乘以，即,A=a,那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量 A 具有确定的数值a，,a,称为力学量算符 A 的,本征值,，,称为A的,本征态或本征波函数，,上式称为A的,本征方程。,1.4.3 本征态、本征值和,Schr,dinger,方程,d/d x=d a exp(-ax)/d x=-a,2,exp(-ax),=(-a)a exp(-ax)=(-a),本征值为 a,例题1：,=a exp(-ax)是算符 d/d x 的本征函数，,求本征值。,例题2：,=a exp(-ax)是算符d,2,/dx,2,的本征函数,求本征值。,d,2,/dx,2,=d,2,a exp(-ax)/dx,2,=-a,2,d exp(-ax)/d x,=a,3,exp(-ax)=a,2,a exp(-ax),=a,2,本征值为a,2,自轭算符的本征值一定为实数：,a,，两边取复共轭，得，,*,*,a,*,*，由此二式可得：,*(,),d,a,*,d，,(,*,*),d,a,*,*,d,由自轭算符的定义式知，,*,d,(,*,*,),d,故，,a,*,d,a,*,*,d，,即 a,a,*，所以，,a,为实数。,Schr,dinger,方程是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程。,薛定谔方程的由来：,自由粒子波函数：,为满足归一化,分别对x、y、z进行两次偏导，得：,三式相加，并除以2m,考虑到能量除动能外，还有势能V(x、y、z),（哈密顿算符）,证明：,i,=a,i,i,，,j,=a,j,j ，,(,a,i,a,j,),(,i,),=a,i,i,=a,i,i,i,j,d=,a,j,i,j,d,(,i,),j,d=,a,i,i,j,d,(a,i,a,j,),i,j,d=0,a,i,a,j,i,j,d=0,本征函数组的正交，归一的关系,i,j,d=,j,i,d=,i j,1,i=j,0,ij,本征函数组的正交，归一的关系,对一个微观体系，自轭算符,给出的本征函数组,1，,2，,3,，形成一个正交，归一的函数组。,(1).归一 ：,i,i,d=1,(2).正交：,i,j,d=0 (ij),假设4：,若,1,，,2,n,为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是该体系可能的状态。,1.4.4 态叠加原理,组合系数,c,i,的大小反映,i,贡献的多少。为适应原子周围势场的变化，原子轨道通过线性组合，所得的杂化轨道（sp，sp,2,，sp,3,等）也是该原子中电子可能存在的状态。,可由c,i,值求出和力学量A 对应的平均值a,本征态的力学量的平均值,设与,1,，,2,n,对应的本征值分别为a,1,，,a,2,，,a,n,，当体系处于状态,并且已归一化时，可由下式计算力学量的平均值,a,（对应于力学量A的实验测定值）：,非本征态的力学量的平均值,若状态函数,不是力学量A的算符,的本征态,当体系处于这个状态时,a,但这时可用积分计算力学量的平均值：,a,*,d,例如，氢原子基态波函数为,1s,，其半径和势能等均无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。,1.4.5 Pauli(泡利)原理,假设,：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。或者说，两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。,Pauli原理的另一种表述：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标），必然得出反对称的波函数。,电子具有不依赖轨道运动的自旋运动,具有固有的角动量和相应的磁矩,光谱的Zeeman效应(光谱线在磁场中发生分裂)、精细结构等都是证据。,微观粒子具有波性，等同微粒是不可分辨的。,(,q,1,q,2,)=(,q,2,q,1,),费米子：自旋量子数为半整数的粒子。如，电子、质子、中子等。,(,q,1,q,2,q,n,)(,q,2,q,1,q,n,),倘若,q,1,q,2,，即,(,q,1,q,1,q,3,q,n,)(,q,1,q,1,q,3,q,n,),则，(,q,1,q,1,q,3,q,n,)0，处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率为零。据此可引伸出以下两个常用规则：,Pauli不相容原理：多电子体系中，两自旋相同的电子不能占据同一轨道，即，同一原子中，两电子的量子数不能完全相同；,Pauli排斥原理：多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。,玻色子：自旋量子数为整数的粒子。如，光子、介子、氘、粒子等。不受 Pauli不相容原理的制约。(,q,1,q,2,q,n,)(,q,2,q,1,q,n,),泡利,Pauli,获,1945,年诺贝尔物理学奖。,一个质量为m的 粒子，在一维 x 方向上运动。,0 ，0 x,l,V=,，x 0 和 x,l,V=V=0 V=,0 x,l,此二阶齐次方程的通解为：,=c,1,cos(8,2,m E,/,h,2,),1,/,2,x+c,2,sin(8,2,m E,/,h,2,),1,/,2,x,第五节 一维势箱中的粒子运动状态,Schr,dinger,方程：,n 0 ,E=n,2,h,2,/,8m l,2,（x）=c,2,sin(nx,/,l）=(2/l),1/2,sin(nx,/,l）,c,2,=(2/l),1/2,根据品优波函数的连续性和单值条件，,当x=0 和 x=,l,时，,=,0,即 x=0 时,（0）=c,1,cos(0),+c,2,sin(0)=0,则：,c,1,=0,x=,l,时,（l）=c,2,sin(8,2,m E,/,h,2,),1/2,l=0,c,2,不能为 0,故必须是:,(8,2,m E,/,h,2,),1/2,l=n,n=1，2，3，,C,2,可由归一化条件求出,令,讨论：,1、n 称为量子数，只可能取正整数,。,2、画出,n,(x)及,n,2,(x),3、零点能、节点及节点数,+,+,-,-,n=4,n=3,n=2,n=1,n=3,n=2,n=1,+,+,+,+,-,-,E,1,E,2,E,3,E,4,1,(x),2,(x),3,2,(x),4,(x),4,2,(x),2,2,(x),1,2,(x),3,(x),一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度,n=4,体系的波函数与能量：,当,n=1,时，体系处于基态,。,当,n=2,时，体系处于第一激发态,。,当,n=3,时，体系处于第二激发态。,讨论：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时，,l,长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包含正弦波一个半周期。随着能级升高，波函数的节点越来越多。而几率分布函数告诉我们自由粒子在势箱中出现的几率大小。例如：基态时，粒子在 处出现几率最大。而第一激发态，粒子在,处出现几率为0，在 处出现几率最大。,势箱中粒子的量子效应：1.粒子可以存在多种运动状态，它们可由,1,，,2,，,n,等描述；,2.能量量子化；,3.存在零点能；,4.没有经典运动轨道，只有几率分布；,5.存在节点，节点多，能量高。,箱中粒子的各种物理量,只要知道了,，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到：,（1）粒子在箱中的平均位置,粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中心点是对称的。,（2）粒子动量的,x,轴分量p,x,（3）粒子的动量平方p,x,2,值,一维试箱模型应用示例,丁二烯的离域效应：,E,定,=2,2,h,2,8,ml,2,=4,E,1,E,离,=2,h,2,/8,m,(3,l,),2,+22,2,h,2,/8,m,(3,l,),2,=(10/9),E,1,势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。,C,C,C,C,C,C,C,C,E,1,4/9,E,1,1/9,E,1,定域键,离域键,l,l,l,3,l,花菁燃料的吸收光谱,R,2,N(CHCH),r,CHN,+,R,2,势箱总长,l,248r+565pm,，,共有,2r,2,2,个,电子，基态时需占,r+2,个分子轨道，当电子由第（,r+2,）,个轨道跃迁到第（,r+3,）,个轨道时，需吸收光的频率为,=,E/h,=(,h/8ml,2,)(r+3),2,-(r+2),2,=(,h/8ml,2,)(2r+5),由,=,c/,，,=,8ml,2,c,/(2r+5),h,r,计算,实验,311.6 309.0,412.8 409.0,514.0 511.0,说明此体系可近似看做一维势箱。,量子力学处理微观体系的一般步骤：,根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrdinger方程；,解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及,E,n,，求得,n,描绘,n,，,n,*,n,等图形，讨论其分布特点；,用力学量算符作用于,n，,求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；,联系实际问题，应用所得结果。,三维势箱中粒子运动的Schrdinger方程：,三维势箱中粒子运动的波函数：,三维势箱能级表达式：,简并态：能量相同的各个状态。,三维无限深正方体势阱中粒子的简并态,再见！,