一节定积分概念.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一节 定积分概念,一、引入定积分概念实例,二、定积分,概念,三,、定积分,存在定理,四、定积分基本性质,第1页,第1页,一、引入定积分概念实例,引例,1,曲边梯形面积,曲边梯形,设函数,f,(,x,)在区间,a,b,(,a,b,)上非负且连续,由曲线,y=f,(,x,),直线,x=a,x=b,及,x,轴围成图形称为曲边梯形,其中曲线弧,y=f,(,x,),称为,曲边,线段,ab,称为,底边,.,第2页,第2页,问题 求由,x=a,x=b,y=,0,与,y=f,(,x,),所围成曲边梯形面积.,第3页,第3页,求曲边梯形面积,A,详细做法：,(1)分割,在(,a,b,)内插入,n,1个分点,过每个,分点,x,i,(,i,=1,2,n,)作,y,轴平行线，将,曲,边梯形分割成,n,个小曲边梯形.,记每一个小区间,长度为,把区间,a,b,分成,n,个小区间,第4页,第4页,(2)近似、求和.,在每一个小区间,x,i,-1,x,i,上任取一点,i,以,x,i,为底边,以,f,(,i,)为高作小矩形,其面积为,f,(,i,),x,i,.,以此作相应小曲边梯形面积近似值,即,n,个小矩形面积和即为整个曲边梯形近似值,第5页,第5页,我们同样能够用这种“分割，近似、求和，取极限”办法处理变力作功问题.,(3)取极限,记所有小区间长度最大值为,当,0时和式 (,n,个小矩形面积之和)极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即,第6页,第6页,引例2,变力做功,设一物体作直线运动,受到与运动方向平行力作用,当力,F,是恒力时,物体位移为,s,力,F,所做功就是,w,=,Fs,.,但实际问题中,物体在运动中受力经常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做功.假如已知,F,(,s,)是位移,s,连续函数,物体位移区间为,a,b,(即位移,s,从,a,变到,b,).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上函数,F,(,s,).假如把位移区间分成许多小区间，总功应等于相应于各小区间上变力所做功之总和.,第7页,第7页,计算环节,(1),分割,第8页,第8页,第9页,第9页,以上两问题即使不同，但处理问题方法却相同，即归结为求同一结构总和极限.由此引入定积分概念.,第10页,第10页,在每个小区间 任取一点 作和式,二、定积分概念,定义5.1,设函数,f,(,x,)在区间,a,b,上有界,在(,a,b,)内插入,n,1个分点,各小区间长度为,把区间,a,b,分为,n,个小区间,第11页,第11页,定积分,(简称,积分,),其中,f,(,x,)叫做,被积函数,，,f,(,x,)d,x,叫做,被积表示式,，,x,叫做,积分变量,，,a,叫做,积分下限,，,b,叫做,积分上限,，,a,b,叫做,积分区间,.,第12页,第12页,依据定积分定义，前面所讨论两个引例就可,以用定积分概念来描述：,曲线 、,x,轴及两条直线,x=a,x=b,所围成曲边梯形面积,A,等于函数,f,(,x,)在区间,a,b,上定积,分，即,物体在变力,F,(,s,)作用下作直线运动，由起始位置,a,移动到,b,，变力对物体所做之功等于函数,F,(,s,)在,a,b,上定积分，即,第13页,第13页,假如函数,f,(,x,)在区间,a,b,上定积分存在，则称函数,f,(,x,)在区间,a,b,上可积.,第14页,第14页,关于定积分概念，还应注意两点:,(1)定积分 是积分和式极限，是一个数值,定积分值只与被积函数,f,(,x,)及积分区间,a,b,相关,而与积分变量记法无关.即有,(2),在定积分 定义中,总假设,为了此后使用以便，对于 情况作下列要求：,第15页,第15页,定积分几何意义：,假如在,a,b,上 ，则 在几何上表示由曲线,y=f,(,x,)，直线,x=a,，,x=b,及,x,轴所围成曲边梯形面积.,第16页,第16页,假如在,a,b,上 ,此时由曲线,y=f,(,x,),直线,x=a,，,x=b,及,x,轴所围成曲边梯形位于,x,轴下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形面积,A,相反数.,第17页,第17页,假如在,a,b,上,f,(,x,)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线,y=f,(,x,)，直线,x=a,，,x=b,及,x,轴之间各部分面积代数和.,第18页,第18页,三,、定积分,存在定理,定理5.1,定理5.2,第19页,第19页,例1,用定义计算,解,(1)分割.插入,n,1个分点把区间0,1分成,n,等分,各分点坐标依次是,每个小区间长度均为,(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为,i,即,作乘积,第20页,第20页,这里用了正整数平方和公式,(3)取极限.当 ,时取极限,得,因此所求定积分,第21页,第21页,性质,1,函数和(或差)定积分等于它们定积分和(或差),证实,设各性质中涉及函数都是可积,.,四、定积分基本性质,第22页,第22页,推论,有限个函数代数和定积分等于各函数定积分代数和，即,第23页,第23页,性质,2,被积函数中常数因子能够提到积分号前面,即,证实,第24页,第24页,性质,3,假如积分区间,a,b,被分点,c,分成区间,a,c,和,c,b,则,性质6.3表明定积分对积分区间含有,可加性,，这个性质能够用于求分段函数定积分.,按定积分补充要求有:无论,a,b,c,相对位置如何(如,a,b,c,c,a,b,等),总有等式,第25页,第25页,利用定积分几何意义，可分别求出,例,2,已知,解,第26页,第26页,性质,4,性质,5,推论,1,第27页,第27页,性质,6(估值定理),证实,由性质6.2和性质6.4,可得,第28页,第28页,曲边梯形面积小于由,y=M,，,x=a，x=b,及,x,轴所围成矩形面积，而不小于由,y=m,，,x=a，x=b,及,x,轴所围成矩形面积.,性质,6,几何意义,：,第29页,第29页,例,3,解,第30页,第30页,性质,7(,定积分中值定理),假如函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上,连续,，则在积分区间,a,b,上至少存在一个点,使下式成立,证实,由于函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，依据闭区间上连续函数最大值和最小值定理，,f,(,x,)在,a,b,上一定有最大值,M,和最小值,m,，由定积分性质 6，有,第31页,第31页,即数值 介于,f,(,x,)在,a,b,上最大值,M,和最小值,m,之间.,第32页,第32页,性质,7,几何意义：,第33页,第33页,假如函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，我们称,为函数,f,(,x,)在,a,b,上平均值.,第34页,第34页,