平面向量的坐标运算.doc

平面向量的坐标运算一、知识精讲1平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得axiyj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标记作a(x，y)，此式叫做向量的坐标表示(2)在直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)3平面向量的坐标运算向量的加、减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)实数与向量的积若a(x，y)，R，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则 (x2x1，y2y1)，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标4两个向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则ababx1y2x2y10.小问题大思维1与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y)2已知向量(1，2)，M点的坐标与的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；(1，2)，而M(1，2) 3在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变5已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，是否有成立？提示：不一定由于的意义与x1y2x2y10的意义不同，前者不允许x2和y2为零，而后者允许，当x1x20，或y1y20或x2y20时，ab但不成立二、典例精析例1、如图所示，已知ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标变式练习：若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于 () AabB.ab C.ab Dab答案：B例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t .(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？变式练习：已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)若a(1,1)，b(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标(2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐标 例3、已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？保持例题条件不变，是否存在实数k，使akb与3ab平行？变式练习已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？例4、 (1)已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，(1)求证：A，B，C三点共线；(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？变式练习设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标 变式练习：在AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，AD与BC交于点M，求点M的坐标 三、课后检测一、选择题1已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O；若a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中，正确结论的个数是()A0 B1C2 D3解析：由平面向量基本定理可知，正确；不正确例如，a(1,0)(1,3)，但11；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的始点是不是原点无关，故错误；a的坐标与终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故错误答案：B2已知a(3，1)，b(1,2)，若manb(10,0)(m，nR)，则()Am2，n4 Bm3，n2Cm4，n2 Dm4，n2解析：manbm(3，1)n(1,2)(3mn，m2n)(10,0)，m4，n2.答案：C3设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析：四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a(4b2c)2(ac)d0，d6a4b4c6(1，3)4(2,4)4(1，2)(2，6)答案：D4若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)满足(kab)c，则k()A3 B3C. D解析：kab(k1，k1)，由(kab)c，得2(k1)4(k1)0，解得k3.答案：B5已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得解得顶点D的坐标为(2，)答案：A6若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y()A13 B13C9 D9解析：(8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.答案：D7已知a(2,1cos )，b(1cos ，)，且ab，则锐角等于()A45 B30C60 D30或60解析：由ab得2()1cos2sin2，为锐角，sin ，45.答案：A二、填空题8已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)，且ab，则tan _.解析：ab，2sin cos 2sin .即4sin cos ，tan .答案：9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：ab(21，1m)(1，m1)，由(ab)c，得12(m1)(1)0，即m1.答案：110已知点A(1，1)、B(1,3)、C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有(1) ，R，则x_.解析：取点O(0,0)，由 (1) ，得(x,5)(1，1)(1)(1,3)，解得答案：211已知向量a(2,3)，ba，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为_解析：由ba，可设ba(2，3)设点B坐标为(x，y)，则AB(x1，y2)b.由又B点在坐标轴上，则120或320，或，代入式得B点坐标为(0，)或(，0)答案：(0，)或(，0)三、解答题12已知A、B、C三点的坐标为(1,0)、(3，1)、(1,2)，并且，求证：.证明：设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)(2,2)点E的坐标为(，)同理点F的坐标为(，0)，(，)又(1)4()0，.13平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，回答下列问题：(1)求3ab2c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)3ab2c3(3,2)(1,2)2(4,1)(9,6)(1,2)(8,2)(918,622)(0,6)(2)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)m4n3且2mn2，解得m，n.(3)(akc)(2ba)，又akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0.k.