平面向量的坐标运算.doc

(完整word)平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算(1）
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算;
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。
教学过程:
一、复习引入:
1.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、ｂ等表示；
2。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3．差向量的意义： = a， = b, 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

4．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）｜λ|=|λ｜|｜；（2）λ>0时λ与方向相同；λ〈0时λ与方向相反;λ=0时λ=
5．运算定律 结合律:λ（μ)=(λμ)
分配律：(λ+μ)=λ+μ λ（+)=λ+λ
6． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ,使=λ.
7．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。
与相等的向量的坐标也为。
特别地，,,。
如图，在直角坐标平面内,以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。
2．平面向量的坐标运算
(1）若,，则,
则
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
（2） 若,，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
=-=（ x2, y2) - （x1，y1)= （x2- x1， y2- y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则,即
三、讲解范例:
例1 已知a+b=（2，—8),a-b=(-8,16），求a和b.

例2(1）已知的三个顶点A、B、C的坐标分别为A（-2， 1), B(-1， 3)， C(3, 4）,求点D的坐标。
(2)已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1), B（-1, 3）, C（3, 4），求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

例3已知三个力 (3， 4）， (2, -5)， （x， y）的合力++=
求的坐标.

例4 已知点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若为何值时，点P在第三象限内。

例5 已知A（—2，4）、B（3，-1）、C（-3，—4)且的坐标。

例6 已知点O（0,0)、A(1，2）、B(4,5)及四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值,若不能,请说明理由。

四、课堂练习：
1．若M(3, —2) N（—5， —1） 且 , 求P点的坐标；
2．若A(0, 1), B（1, 2), C（3, 4） 则-2=（ )
3．已知：四点A(5, 1)， B(3, 4）, C（1， 3）， D（5， —3) 求证：四边形ABCD是梯形。

平面向量的坐标运算（2）
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
(2）掌握平面向量的坐标运算；
(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线。
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教学过程:
一、复习引入：
1.向量的表示方法:①用有向线段表示；②用字母a、ｂ等表示;
平面向量的坐标表示
若，，则
2。向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
几何法：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平面向量的坐标运算：若,，则，
3．向量的差：几何法: = a， = b, 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
平面向量的坐标运算:若,，则
4．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ｜=|λ||｜;（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=
坐标运算：
5．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ)
分配律：（λ+μ）=λ+μ λ（+）=λ+λ
6． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ，使=λ.
7．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
二、讲解新课:向量平行的充要条件（坐标表示）
∥ (¹）的充要条件是x1y2-x2y1=0
证明：设=（x1， y1） ，=(x2, y2) 其中¹
由∥的充要条件是=λ得， (x1， y1） =λ(x2, y2) 消去λ，得x1y2-x2y1=0
探究:（1)消去λ时不能简单地两式相除. ∵y1, y2有可能为0。
∵¹ ∴x2， y2中至少有一个不为0;分1）y2 ¹ 0；2）y2=0。两类讨论。
（2）充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
（3）从而向量共线的充要条件有两种形式：
∥ (¹）
三、讲解范例：
例1若向量=(—1，x）与=(-x， 2)共线且方向相同，求x。

例2 已知A（—1，—1)、B（1，3）、C(2，5),求证A、B、C三点共线。

例3 已知A(-1, -1）, B(1，3）， C(1，5) ,D(2,7) ，向量与平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?

例4 已知a=(1,2）,b=（—3,2），当k为何值时ka+b与a-3b平行，平行时是同向还是异向？

例5 如果向量分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.

例6 已知 a=( x1， y1 )，b=（ x2, y2 ）且.

四、课堂练习：
1。若a =（2，3)，b=(4,—1+y)，且a∥b，则y=( ）
A.6 B.5 C。7 D.8
2。若A(x，—1）,B(1,3),C（2，5）三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B。-1 C.1 D.3
3.若=i+2j, =(3—x）i+（4—y)j（其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量）。 与共线，则x、y的值可能分别为( ）
 A。1，2 B。2，2 C。3，2 D。2，4

平面向量的坐标运算（3）
教学目的:
(1）理解平面向量的坐标的概念；
(2）掌握平面向量的坐标运算；
(3)会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教学过程：
一、复习引入：
1。向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、ｂ等表示;
平面向量的坐标表示
若,,则
2.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
几何法：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平面向量的坐标运算：若，，则，
3．向量的差：几何法: = a， = b， 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
平面向量的坐标运算：若，，则
4．实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1）|λ｜=｜λ||｜;（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
坐标运算：
5. 向量共线的充要条件：
∥ (¹）
二、例题
例1 已知 a=(3x+4y，-2x-y），b=（2x—3y+1,-3x+y+3）若2a=3b,求x与y的值。

例2 已知ABCD是正方形，BE//AC, AC=CE ， EC的延长线交BA的延长线于F。试用向量方法证明：AF=AE。

例3 已知向量 ，满足 ｜｜=||=1,且+=，试求 ,.

例4 已知A（2，3）、B（5,4）、C(7,10)，若为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？点P在第三象限内？

例5 已知A、B、C三点坐标分别为（—1，0)、（3，-1）、（1,2)，

平面向量的坐标运算
一、选择题
1、已知=（-2，4），=(2，6），则= （ )
A．（0,5) B．（0，1) C．(2,5) D．(2，1)
2、已知两点A(4，1），B(7，—3)，则与向量同向的单位向量是 （ ）
A．（，—) B．(—，） C．（-,） D．(,—）
3、若向量 = (1，1)， = (1,－1）， =(－1，2），则等于 （ ）
A．－+ B．－ C．－ D．－ +
4、已知向量=（1,2），=（0，1），则下列各点中在直线AB上的点是 ( ）
A．(0，3） B．(1,1） C．(2，4） D．(2，5)
5、已知向量=(—2，4)，=（1，-2)，则与的关系是 （ )
A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向
6、设k∈R，下列向量中，与向量=（1，—1）一定不平行的向量是 （ ）
A．（k，k) B．（—k，—k） C．（k2+1，k2+1) D．(k2-1，k2—1)

二、填空题
1、已知:、，那么 ； ．
2、已知点和向量，若，则点的坐标是 ．
3、已知向量=(3，-2)，=（—2，1），=（7，-4），且=λ+μ, 则λ= ，μ= ．
4、已知=(2,4), =（－1,－3)，=(－3,2)． 则|3+2｜=________．
若一个单位向量与－的方向相同，则的坐标为________________．
5、设点A（-1，2）、B（2，3)、C（3,—1)，且=2—3，则点D的坐标为 ．
6、已知=（5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是 ．

三、解答题
1、已知向量=(1，)，=（，1)，=+2，=2-且=2，求、的值．

2、已知平行四边形的顶点、、，求顶点的坐标．

3、已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0），(3，－1)，(1，2）， =，=
(1）求点、及向量的坐标;
(2)求证:∥．
参考答案
一、选择题
DAB DDC
二、填空题
1、，。 2、。
3、. 4、；。
5、 6、
三、解答题
1、;。
2、∵，∴ .
3、；；；
∵ ，∴ ∥．