空间向量及其运算.doc

(完整word)空间向量及其运算
§8.5　空间向量及其运算

1． 空间向量的概念
（1）定义:空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．
（2)向量的夹角:过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和,则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，0≤〈a，b>≤π。
2． 共线向量定理和空间向量基本定理
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a＝λb.
（2）空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2,e3叫作空间的一个基底．
3． 空间向量的数量积及运算律
（1)定义
空间两个向量a和b的数量积是一个数,等于｜a｜｜b｜cos<a，b〉,记作a·b。
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律:（λa）·b＝λ（a·b);
②交换律:a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。
4． 空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝（b1，b2，b3),
则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3。
(2）共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1,a2,a3)，b＝（b1，b2，b3)，
则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 （λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a,b均为非零向量)．
（3）模、夹角公式
设a＝（a1，a2，a3），b＝(b1，b2,b3）,
则|a｜＝＝，
cos〈a，b>＝＝（a≠0，b≠0) .

1． 判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
(1)空间中任意两非零向量a，b共面． （　√　）
（2）在向量的数量积运算中（a·b）·c＝a·(b·c）． (　×　）
（3)对于非零向量b,由a·b＝b·c,则a＝c. （　×　）
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． (　×　）
（5）若A、B、C、D是空间任意四点,则有＋＋＋＝0。 （　√　）
（6)｜a|－｜b|＝｜a＋b｜是a、b共线的充要条件． (　×　)
2． 如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1
的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向
量是 （　　)
A．－a＋b＋c B。a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋(－）
＝c＋（b－a)＝－a＋b＋c。
3． 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为 （　　）
A．x＝1,y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝,y＝ D．x＝，y＝1
答案　C
解析　如图，＝＋＝＋＝＋（＋）．
4． 同时垂直于a＝（2,2,1)和b＝（4，5，3)的单位向量是_______________．
答案　或
解析　设与a＝(2，2,1）和b＝（4，5,3）同时垂直的单位向量是c＝(p，q，r)，
则
解得或
即同时垂直于a，b的单位向量为
或.
5． 在四面体O－ABC中,＝a，＝b，＝c，D为BC的中点,E为
AD的中点，则＝________（用a，b，c表示)．
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋＋
＝a＋b＋c。

题型一　空间向量的线性运算
例1　三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC
的重心,用基向量,，表示，。
思维启迪　利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．
解　＝＋＝＋
＝＋（－)
＝＋［（＋）－]
＝－＋＋。
＝＋＝－＋＋
＝＋＋.
思维升华　用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
　如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中
点．
（1)化简－－＝________；
(2）用，，表示，则＝________。
答案　（1)　（2)＋＋
解析　（1)－－＝－
＝－＝。
(2)＝＋＝＋＋.
题型二　共线定理、空间向量基本定理的应用
例2　已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA的中点，
(1）求证：E、F、G、H四点共面；
(2）求证:BD∥平面EFGH；
（3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O,有＝（＋＋＋)．
思维启迪　对于（1）只要证出向量＝＋即可；对于(2）只要证出与共线即可；对于（3），易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示,再将与分别用向量，和向量，表示．
证明　(1）连接BG,
则＝＋
＝＋（＋）
＝＋＋＝＋，
由共面向量定理的推论知：
E、F、G、H四点共面．
(2）因为＝－
＝－＝（－)＝，
所以EH∥BD.
又EH平面EFGH，BD平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3)找一点O，并连接OM，OA，OB,OC，OD，OE，OG。
由(2）知＝，同理＝，
所以＝，即EH綊FG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
所以EG，FH交于一点M且被M平分．
故＝（＋)＝＋
＝＋
＝（＋＋＋)．
思维升华　（1）证明点共线的方法
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A，B,C三点共线，即证明，共线,亦即证明＝λ(λ≠0）．
(2)证明点共面的方法
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P，A,B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋zOC(x＋y＋z＝1）即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点,
F是AC上的点,且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD
的位置关系为________．
答案　平行
解析　取＝a,＝b，＝c为基底，
易得＝－(a－b＋c)，
而＝a－b＋c，即∥，故EF∥DB1，
且EF平面A1B1CD,DB1平面A1B1CD，
所以EF∥平面A1B1CD。
题型三　空间向量数量积的应用
例3　如图所示，已知空间四边形AB­CD的各边和对角线的长都等于a，
点M、N分别是AB、CD的中点．
(1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2）求MN的长;
（3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
思维启迪　两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用｜a|2＝a·a可以求线段长;利用cos θ＝可求两条直线所成的角．
（1）证明　设＝p,＝q，＝r。
由题意可知,｜p|＝｜q｜＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
＝－＝（＋）－＝(q＋r－p），
∴·＝（q＋r－p)·p＝（q·p＋r·p－p2）
＝（a2cos 60°＋a2cos 60°－a2）＝0.
∴⊥.
即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD。
(2）解　由（1)可知＝(q＋r－p)，
∴|｜2＝（q＋r－p)2
＝［q2＋r2＋p2＋2（q·r－p·q－r·p)]
＝[a2＋a2＋a2＋2（－－）］
＝×2a2＝。
∴｜|＝a.
∴MN的长为a。
(3)解　设向量与的夹角为θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r）·（q－p)
＝(q2－q·p＋r·q－r·p）
＝(a2－a2cos 60°＋a2cos 60°－a2cos 60°）
＝(a2－＋－）＝。
又∵||＝|｜＝a，
∴·＝|｜｜｜cos θ＝a×a×cos θ＝。
∴cos θ＝.
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
思维升华　（1）当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用;
（2)当异面直线所成的角为α时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈（0，]，θ∈［0，π］，所以cos α＝｜cos θ|＝；
（3）立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据｜a|＝转化为向量求解．
　已知空间中三点A(－2,0,2），B（－1，1，2)，C(－3,0,4），设a＝,b＝。
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
解　（1）∵a＝(1，1,0)，b＝（－1，0,2），
∴a·b＝（1,1，0）·（－1,0,2)＝－1,
又｜a|＝＝,
|b|＝＝，
∴cos〈a，b>＝＝＝－,
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－。
（2)方法一　∵ka＋b＝（k－1，k,2）．
ka－2b＝（k＋2,k,－4）,
且ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(k－1,k,2）·(k＋2，k，－4）＝（k－1)(k＋2）＋k2－8＝0,
∴k＝2或k＝－，
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.
方法二　由（1）知｜a｜＝,｜b｜＝，a·b＝－1，
∴(ka＋b）·(ka－2b）＝k2a2－ka·b－2b2
＝2k2＋k－10＝0，
得k＝2或k＝－.

“两向量同向”意义不清致误

典例:（5分)已知向量a＝(1,2，3）,b＝(x,x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________．
易错分析　将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义：a·b方向相同或相反．
解析　由题意知a∥b，所以＝＝，
即
把①代入②得x2＋x－2＝0，（x＋2）（x－1）＝0，
解得x＝－2，或x＝1
当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时,y＝3.
当时，b＝（－2，－4,－6）＝－2a,
两向量a，b反向，不符合题意,所以舍去．
当时,b＝(1，2，3)＝a,a与b同向，所以
答案　1,3
温馨提醒　（1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件;
(2）若两向量a,b满足a＝λb（b≠0)且λ〉0则a,b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a,b的坐标对应成比例。

方法与技巧
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．
失误与防范
1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a,a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b）·c＝a·（b·c）不一定成立．
2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化．

A组　专项基础训练
（时间:40分钟)
一、选择题
1． 空间直角坐标系中，A(1,2，3),B(－2，－1，6）,C(3，2，1)，D（4,3,0），则直线AB与CD的位置关系是 （　　）
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案　B
解析　由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1,1，－1），
∴＝－3，
∴与共线，又与没有公共点．
∴AB∥CD。
2． 已知O，A,B，C为空间四个点，又，,为空间的一个基底，则 (　　)
A．O，A，B,C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O,A,B,C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
答案　D
解析　，，为空间的一个基底,所以，，不共面,但A,B，C三种情况都有可能使，,共面．
3． 已知a＝（λ＋1,0,2)，b＝(6，2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是 (　　)
A．2， B．－,
C．－3，2 D．2,2
答案　A
解析　由题意知:
解得或
4． 空间四点A（2，3，6)、B(4，3,2)、C(0,0,1)、D（2,0，2）的位置关系是 (　　）
A．共线 B．共面
C．不共面 D．无法确定
答案　C
解析　∵＝（2，0，－4)，＝（－2，－3，－5），＝（0,－3，－4)．
假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y,
使＝x＋y，即
由①②得x＝y＝1，代入③式不成立，矛盾．
∴假设不成立,故四点不共面．
5． 如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC,且∠AOB＝∠AOC＝，
则cos〈,>的值为 （　　)
A．0 B.
C. D。
答案　A
解析　设＝a，＝b，＝c,则｜b｜＝｜c｜,
<a，b〉＝〈a,c〉＝，＝c－b,
∴·＝a·（c－b)＝a·c－a·b
＝｜a｜｜c|cos －|a|｜b｜cos ＝0，
∴⊥,∴cos〈，〉＝0.
二、填空题
6． 已知2a＋b＝（0，－5,10），c＝(1，－2，－2），a·c＝4,|b|＝12,则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
答案　60°
解析　由题意得，（2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10。
即2a·c＋b·c＝－10，
又∵a·c＝4,∴b·c＝－18,
∴cos〈b,c>＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°。
7． 已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则｜b－a｜的最小值为________．
答案　
解析　b－a＝（1＋t，2t－1,0），
∴|b－a|＝
＝ ，
∴当t＝时，｜b－a｜取得最小值.
8． 如图所示，已知PA⊥平面ABC,∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6,则
PC等于________．
答案　12
解析　因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·
＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.
所以｜|＝12。
三、解答题
9． 已知向量a＝（1，－3,2），b＝(－2，1,1),点A(－3,－1,4),B（－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|;
（2）在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b（O为原点）？
解　(1)∵a＝（1，－3，2），b＝（－2，1,1)，
∴2a＋b＝(0，－5,5),
∴|2a＋b｜＝＝5。
(2）假设存在点E，其坐标为E(x,y，z）,
则＝λ，
即(x＋3，y＋1,z－4）＝λ（1，－1,－2）,
∴，∴E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4），
∴＝(λ－3,－λ－1，－2λ＋4）．
又∵b＝（－2,1，1),⊥b，
∴·b＝－2（λ－3)＋（－λ－1)＋（－2λ＋4）＝－5λ＋9＝0，
∴λ＝,∴E（－，－,)，
∴在直线AB上存在点E（－，－，），使⊥b。
10．如图所示,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形,
以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
（1）求AC1的长;
（2)求BD1与AC夹角的余弦值．
解　记＝a,＝b，＝c,
则|a｜＝｜b|＝|c｜＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°,
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
（1）｜｜2＝（a＋b＋c）2
＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6，
∴｜|＝，即AC1的长为。
（2)＝b＋c－a，＝a＋b,
∴｜|＝，||＝，
·＝(b＋c－a）·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1。
∴cos〈，〉＝＝。
∴BD1与AC夹角的余弦值为。
B组　专项能力提升
（时间：30分钟)
1． 若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb（λ、μ∈R，且λμ≠0）,则 (　　）
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种情况均有可能
答案　B
解析　由题意得，c垂直于由a，b确定的平面．
∵d＝λa＋μb，∴d与a，b共面．∴c⊥d.
2． 以下命题中，正确的命题个数为 (　　)
①若a,b共线，则a与b所在直线平行;
②若｛a，b,c｝为空间一个基底,则{a＋b,b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底;
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x,y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由共线向量知a与b所在直线可能重合知①错；
若a＋b,b＋c,c＋a共面，则存在实数x，y，使a＋b＝x（b＋c）＋y(c＋a）＝ya＋xb＋(x＋y）c,
∵a,b,c不共面，∴y＝1，x＝1，x＋y＝0，∴x，y无解，
∴{a＋b,b＋c，c＋a｝能构成空间的一个基底，∴②正确；
由向量相等的定义知③正确；
由共面向量定理的推论知，当x＋y＋z＝1时,P，A，B，C四点共面，∴④不正确．故选B。
3． 如图,在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1
和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为________．
答案　
解析　以D为原点，DA、DC、DD1为x、y、z轴正半轴建立空间直
角坐标系，
则A（1，0，0），A1(1，0,1)，B1(1，1，1),B（1,1,0)，C（0，1，0），
∴M(1，，1）,N（1，1，)，
∴＝(0，，1)，＝（1,0，)，
∴cos<，>＝
＝＝。
4． 已知空间三点A(0,2，3)，B（－2,1，6）,C（1，－1，5）．
（1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a｜＝，且a分别与,垂直，求向量a的坐标．
解　(1)由题意可得:
＝（－2，－1,3）,＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝。
∴sin〈，〉＝，
∴以，为边的平行四边形的面积为
S＝2×｜｜·|｜·sin〈,>＝14×＝7.
（2）设a＝(x，y，z),
由题意得，
解得或，
∴向量a的坐标为（1，1,1)或（－1，－1,－1)．
5． 直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、
E分别为AB、BB′的中点．
（1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
根据题意，｜a｜＝｜b|＝｜c｜，且a·b＝b·c＝c·a＝0,
∴＝b＋c,＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
（2）解　∵＝－a＋c，|｜＝|a|,｜|＝｜a｜.
·＝（－a＋c）·＝c2＝|a｜2，
∴cos<，>＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为。