平面向量的线性运算以及坐标运算.doc

(完整word)平面向量的线性运算以及坐标运算一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量(注意零向量，单位向量）数量：只有大小,没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加(减）法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点:共起点三角形不等式： 运算性质：交换律：；结合律：；3、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反；当时，运算律：;二、同步例题分析例1、判断下列命题的真假。（1）零向量是没有方向的；(2）零向量与任一向量共线；(3）零向量的方向是任意的；（4)单位向量都是相等的向量；（5)向量与向量的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段;（9）非零向量的单位向量是；（10）若,则;（11）若，则;（12）若,则；（13）若，则。例2、给出下列几个命题：（1） 若，则；（2） 若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；（3） 在平行四边形ABCD中,一定有；（4） 若，则.其中不正确命题的个数为（ ）A。 2 B。 3 C。 4 D。 5例3、如图，在中,，M为BC的中点,则=_。(用表示）变式：1、化简下列各式:（1）； （2);（3)。 2、已知P，A，B，C是平面内四点,且，那么一定有( ) A B C D3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有 ( ）(1）时，与的方向一定相反；（2）时，与的方向一定相同;（3）时,与是共线向量;(4）时，与的方向一定相同；（5）时,与的方向一定相反。A。 2个 B。 3个 C. 4个 D。 5个4、已知任意平面四边形ABCD中，EF分别为AD、BC的中点。求证：5、如图，在五边形ABCDE中,若ACDE是平行四边形，且,，试用表示向量及。例8、设两个非零向量不共线，（1）若，求证：A、B、D三点共线.(2)试确定实数k使得与共线.变式：如图,平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点。三、课后作业1、若有以下命题: 两个相等向量的模相等； 若和都是单位向量,则; 相等的两个向量一定是共线向量； ，则； 零向量是唯一没有方向的向量； 两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是 。2、已知下列各式：； 其中结果为零向量的个数为 ( ）A1 B2 C3 D43、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（ ）AB CD4、若a与b的方向相反，且,则a+b的方向与a的方向 ；此时 5、若则的取值范围是 图16、（广东卷）如图1所示,是的边上的中点,则向量（ ）A。 B。 C. D。 7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状_ 8、设为两个不共线的向量，若与共线,则=_9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线10、如图,在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：思考题：设点O在ABC内部，且有，求三角形ABC与三角形OBC的面积之比。平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、，使a=e1e2.称不共线的向量e1、e2叫做一组基底.2、已知两个非零向量a和b，做，则叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90，则称a与b ，记作 。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算（1）平面向量的坐标:设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a,有且只有一对实数，使得，记作。（2）平面向量的坐标运算 ，则有 ， ， ， 设，则有 ； 向量共线的坐标表示： 设，则有a与b共线， ; 中点公式 设,P为的中点，则对任一点O，有 ,所以点P的坐标是 。二、专题经典讲练例1、设是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（ ）A. B。 C. D。 例2、已知，向量，若，求向量.变式：1、已知,求。2、若,则=_。3、设向量a=（1，3),b=（2，4)，若表示向量4a、3b2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（ )（A)（1，1） （B）（1， 1） （C) （4,6) （D) （4,6)4、已知过点A(2,m）和B(m,4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（ ）A0 B8 C2 D10例2、已知点,设的平分线AE与BC相交于E，且，则 等于（ )A。2 B。 C。-3 D. 变式:1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足,其中有且，则点的轨迹方程为（ ）例3、已知点A（1， 2）,若向量与=2,3同向， =2，则点B的坐标为 .变式：1、已知向量a=（2，2），b=（5,k).若|a+b不超过5，则k的取值范围是（ ）A4，6B6，4C6,2D2,62、已知向量，向量则的最大值，最小值分别是（ ）ABC16，0D4，03、若平面向量与向量的夹角是,且，则 A。 B. C. D. 4、若向量，满足,则与所成角的大小为_例4、若向量,且，求的值。变式：1、已知向量且，则= (A） （B） (C） (D）2、向量，当为何值时,A、B、C三点共线.3、的三内角所对边的长分别为设向量，,若，则角的大小为（ ）（A） (B) （C) （D) 例5、已知三点，点P满足（1）为何值时,点P在正比例函数的图像上？（2）设点P在第三象限，求的取值范围。课后作业1、下列各组向量中，可以作为基底的是( ）A ，B ，C ，D ，2、已知点（）ABCD3、已知，,，若，则等于（ )A B C D 4、若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为 6、在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B(-3,4)，若点C在AOB的平分线上且| |=2，则=7、已知ABCD为平行四边形,A（1,2)，B （0,0),(1，7)，则点坐标为8、若平面向量满足，平行于轴，则 9、已知点，,。若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为_。