平面向量的线性运算以及坐标运算.doc

完整word)平面向量的线性运算以及坐标运算

一、同步知识梳理
1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量）
数量：只有大小,没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加(减）法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点:共起点．
⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．

3、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①;②;③．

二、同步例题分析
例1、判断下列命题的真假。
（1）零向量是没有方向的；(2）零向量与任一向量共线；(3）零向量的方向是任意的；（4)单位向量都是相等的向量；（5)向量与向量的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段;（9）非零向量的单位向量是；（10）若,则;（11）若，则;（12）若,则；（13）若，则。

例2、给出下列几个命题：
（1） 若，则；
（2） 若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
（3） 在平行四边形ABCD中,一定有；
（4） 若，则.
其中不正确命题的个数为（ ）
A。 2 B。 3 C。 4 D。 5

例3、如图，在中,，M为BC的中点,则=________。(用表示）

变式：1、化简下列各式:
（1）； （2);
（3)。

2、已知P，A，B，C是平面内四点,且，那么一定有( )
A． B． C． D．

3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有 ( ）

(1）时，与的方向一定相反；
（2）时，与的方向一定相同;
（3）时,与是共线向量;
(4）时，与的方向一定相同；
（5）时,与的方向一定相反。
A。 2个 B。 3个 C. 4个 D。 5个

4、已知任意平面四边形ABCD中，EF分别为AD、BC的中点。求证：

5、如图，在五边形ABCDE中,若ACDE是平行四边形，且,，，试用表示向量及。

例8、设两个非零向量不共线，
（1）若，求证：A、B、D三点共线.
(2)试确定实数k使得与共线.

变式：如图,平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点。

三、课后作业
1、若有以下命题:
① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量,则;
③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ ，，则；
⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。

2、已知下列各式：
①； ② ③ ④
其中结果为零向量的个数为 ( ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．

4、若a与b的方向相反，且,则a+b的方向与a的方向 ；
此时 ．

5、若则的取值范围是

图1
6、（广东卷）如图1所示,是的边上的中点,则向量（ ）
A。 B。 C. D。

7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状____

8、设为两个不共线的向量，若与共线,则=__________________

9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．

10、如图,在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：

思考题：设点O在△ABC内部，且有，求三角形ABC与三角形OBC的面积之比。

平面向量的基本定理及坐标表示
一、知识点梳理
1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、，使a=e1＋e2.
称不共线的向量e1、e2叫做一组基底.
2、已知两个非零向量a和b，做，则叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90°，则称a与b ，记作 。
3、向量的正交分解：
4、平面向量的坐标运算
（1）平面向量的坐标:
设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a,有且只有一对实数，使得，记作。
（2）平面向量的坐标运算
① ，则有
， ， ，
② 设，则有 ；
③ 向量共线的坐标表示：
设，则有a与b共线， ;
④ 中点公式
设,P为的中点，则对任一点O，有
,所以点P的坐标是 。
二、专题经典讲练
例1、设是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A. B。
C. D。

例2、已知，向量，若，求向量.

变式：1、已知,求。

2、若,则=___________。

3、设向量a=（1，－3),b=（－2，4)，若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（ )
（A)（1，－1） （B）（－1， 1） （C) （－4,6) （D) （4,－6)

4、已知过点A(－2,m）和B(m,4）的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．－8 C．2 D．10

例2、已知点,设的平分线AE与BC相交于E，且，则 等于（ )
A。2 B。 C。-3 D.

变式:1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足,其中有且，则点的轨迹方程为（ ）

例3、已知点A（1， －2）,若向量与=｛2,3}同向， =2，则点B的坐标为 .

变式：1、已知向量a=（－2，2），b=（5,k).若|a+b｜不超过5，则k的取值范围是 （ ）
A．[－4，6］ B．[－6，4] C．[－6,2］ D．［－2,6]

2、已知向量，向量则的最大值，最小值分别是（ ）
A． B． C．16，0 D．4，0

3、若平面向量与向量的夹角是,且，则
A。 B. C. D.

4、若向量，满足,则与所成角的大小为________．

例4、若向量,且，求的值。

变式：1、已知向量且∥，则=
(A） （B） (C） (D）

2、向量，当为何值时,A、B、C三点共线.

3、的三内角所对边的长分别为设向量，,若，则角的大小为（ ）
（A） (B) （C) （D)

例5、已知三点，点P满足
（1）为何值时,点P在正比例函数的图像上？
（2）设点P在第三象限，求的取值范围。

课后作业
1、下列各组向量中，可以作为基底的是( ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
2、已知点（　　）
A． B． C． D．

3、已知，,，若，则等于（ )
A．
B．
C．
D．

4、若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为

6、在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且| |=2，则=

7、已知ABCD为平行四边形,A（—1,2)，B （0,0),Ｃ(1，7)，则Ｄ点坐标为　　　　　　　

8、若平面向量满足，平行于轴，，则 ．

9、已知点，,。若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为__________。