多元正态分布均值向量和协差阵的检验.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验,2026/10/5,1,第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验,第一节 均值向量的检验,第二节 协差阵的检验,2026/10/5,2,补充：,到底什么是假设检验？,让我们先看一个例子,2026/10/5,3,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。,怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准？,罐装可乐的容量按标准应在,350,毫升和,360,毫升之间。,2026/10/5,4,每隔一定时间，抽查若干罐。如每隔,1,小时，抽查,35,罐，得,35,个容量的值,X,1,，,，,X,35,，根据这些值来判断生产是否正常。,这就产生两种可能（假设）：,通常的办法是进行,抽样检查,生产正常,？,生产不正常,？,2026/10/5,5,这就需要根据,X,1,X,35,的样本信息，检验上述的两个,假设哪个正确：,H,0,：,称,H,0,为原假设（或零假设）,它的对立假设是：,H,1,：,称,H,1,为备选假设（或对立假设）。,生产正常,生产不正常,2026/10/5,6,那么，如何判断原假设,H,0,是否成立呢？,由于,是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值 ，因此可以根据 与,的差距,来判断,H,0,是否成立。,当,时，可以认为,H,0,是成立的；,当,时，应认为,H,0,不成立，即生产已不正常。,2026/10/5,7,怎么来确定？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？,小概率原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生。,2026/10/5,8,下面我们用一例说明这个原则。,这里有两个盒子，各装有,100,个球。,小概率事件在一次试验中基本上不会发生。,99,个,1,个,一盒中有,99,个红球和,1,个白球,另一盒中装有,99,个白球和,1,个红球。,99,个,2026/10/5,9,？,现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球,99,个还是红球,99,个？,我们不妨先假设：,这个盒子里有,99,个白球,。,现在我们从中随机摸出一个球，发现是,此时应该如何判断这个假设是否成立呢？,？,2026/10/5,10,假设其中真有,99,个白球，摸出红球的概率只有 ，,这是小概率事件。,小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作假设的正确性，因此可以认为这个盒子应该不是装有,99,个白球的那个盒子。,这个例子中所使用的推理方法，称为“,带概率性质的反证法,”，或“,概率反证法,”。,1/100,2026/10/5,11,在假设检验中，称这个小概率为,显著性水平,，用,表示。,的选择要根据实际情况而定。常取,假设检验所以可行，其理论背景即为,“,小概率原理,”。,假设检验的理论依据：,2026/10/5,12,现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设,H,0,后，如何作出接受和拒绝,H,0,的结论呢？,罐装可乐的容量按标准应在,350,毫升和,360,毫升之间。,一批可乐出厂前进行抽样检查，现抽查了,n,罐，测得容量为,X,1,X,2,X,n,，问这一批可乐的容量是否合格？,可乐的假设检验,2026/10/5,13,提出假设,:,假定,已知，构造,检验统计量,z,：,对给定的显著性水平,，可以在,N,(0,1),表中查到分位点的值 ，使,由原来观察,大小，转变为观察,的大小。,2026/10/5,14,也就是说，“”是一个,小概率事件,。,故我们可以取拒绝域为：,如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域,，则拒绝,H,0,；否则，不能拒绝,H,0,。,拒绝域,如果,H,0,是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入红色区域,(,拒绝域,),是个小概率事件。,也就是说，,H,0,成立下的小概率事件发生了，那么就认为,H,0,不可信而否定它。,否则，我们就不能否定,H,0,（只好接受它）。,接受域,拒绝域,从小概率的角度看：,2026/10/5,15,2022/10/25 22:18:5322:18:5325 October 2022,另一盒中装有99个白球和1个红球。,也就是说，H0 成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它。,第二节 协差阵的检验,怎么来确定？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？,。,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。,25 十月 202210:18:53 下午22:18:5310月-22,记为 。,16、行动出成果，工作出财富。,因此，检验 等价于检验,当 时，应认为H0不成立，即生产已不正常。,作为 的估计量，构造检验统计量：,我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球。,此时应该如何判断这个假设是否成立呢？,其基本思想和步骤均可归纳为：,第一，提出待检验的假设,H,0,和,H,1,；,第二，给出检验的统计量及其服从的分布；,第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；,第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。,2026/10/5,16,第一节 均值向量的检验,单一变量检验的回顾及,Hotelling,T,2,分布,一个正态总体均值向量的检验,两个正态总体均值向量的检验,多个正态总体均值向量的检验,2026/10/5,17,单一变量假设检验的内容：,提出假设,构造检验统计量,（总体方差已知时）,判断：根据显著水平 确定临界值 ，当 落在拒绝域，接受备择假设，否则接受原假设。,一、单变量假设检验及,Hotelling,T,2,分布,2026/10/5,18,当,未知时，用,（,3.2,）,作为,的估计量，,构造检验,统计量：,（,3.3,）,判断，根据显著水平,，,确定临界值 ，当,，,落入拒绝域，接受备择假设；否则接受原假设。,2026/10/5,19,（,3.3,）式可以表示为,（,3.4,）,定义,3.1,设,，,且,与,相互独立，,，则称统计量,的分布为非中心,Hotelling,T,2,分布，记为,。当,时，称,服从（中心）,Hotelling,T,2,分布。记为,。,威沙特分布,(Wishart),2026/10/5,20,注意：,F,分布和,t,分布有如下关系：,设,X,和,Y,是相互独立的服从卡方分布的随机变量，自由度分别为,f,1,，,f,2,，则称随机变量,设,X,是标准正态变量，,Y,是自由度为,v,的卡方变量，且,X,和,Y,相互独立，则称随机变量,2026/10/5,21,若,，,且,与,相互独立，令,，则,这表明，将,Hotelling,T,2,统计量乘上一个适当的常数后，便成为,F,统计量，从而可利用,F,分布来进行推断。实践中，常用上式给出的,F,统计量来代替,Hotelling,T,2,统计量进行推断。,（,3.5,）,因此：,Hotelling,T,2,与,F,分布的关系：,2026/10/5,22,在一元正态总体的情况下，若,一元统计中样本方差,是 的估计，有,注意：,Wishart,分布,（一元 分布的推广）,2026/10/5,23,定义,2.10,设,且相互独立，则由,组成的随机矩阵：,其中，,若 且相互独立，则样本离差阵,2026/10/5,24,二、一个正态总体均值向量的检验,设,是来自,p,维正态总体,的样本，且,，,。,2026/10/5,25,（一）,协差阵,已知时均值向量的检验,假设,成立，检验统计量为,（,3.6,）,给定检验水平,，查,分布表,找,出临界值,，,判断：,若,，则,接受备择假设；,否则接受,原假设,。,(,),n,c,;,2,p,2,c,4,=,n,10,=,n,20,=,n,0,2026/10/5,26,注意：,其中，,利用的是,p,维随机向量二次型的结论之一：,设 ，则,，其中 。,2026/10/5,27,（二）协差阵,未知时均值向量的检验,假设,成立，检验统计量为,其中，,给定检验水平,，查,F,分布表，可确定出临界值,.,判断：若 ，则接受备择假设，否则接受原假设,。,(3.7),(,),2,1,f,f,x,p,(,),50,10,2,1,=,=,f,f,(,),10,10,2,1,=,=,f,f,(,),4,10,2,1,=,=,f,f,x,0,2026/10/5,28,例题：,2026/10/5,29,样本离差阵,2026/10/5,30,三、两个正态总体均值向量的检验,（一）当,协差阵相等,时，两个正态总体均值向量的检验,设,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,n,的样本；,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,的样本。,两组样本相互独立,，且,。,2026/10/5,31,1.,针对有共同已知协差阵的情形,假设,成立，检验统计量为,（,3.8,）,给定,显著,水平,，查,分布表确定临界值,。,判断：若 ，则接受备择假设；否则接受原假设,。,两组样本独立,2026/10/5,32,2,针对有共同的未知协差阵的情形,提出,假设,：,构造检验统计量,（,3.9,）,给定,显著性,水平,，查,F,分布表,确定临界值,。,判断：,若,，,则,接受备择假设；,否则接受,原假设,。,2026/10/5,33,例题：,2026/10/5,34,2026/10/5,35,2026/10/5,36,（二）协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验,（,两总体协差阵未知,）。,设,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,n,的样本；,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,的样本。,两组样本相互独立,且,，,2026/10/5,37,1,针对,n=m,的情形,令,构造检验统计量为,（,3.10,）,2026/10/5,38,令,构造检验统计量为,2,针对,n,m,的情形,(,假设,n,m,且,两总体协差阵相差不大时,),2026/10/5,39,第三节 协差阵的检验,一个正态总体协差阵的检验,多个协差阵相等检验,2026/10/5,40,一、一个正态总体协差阵的检验,设,来自,p,维正态总体,的样本，,未知，且,。,提出,假设,用似然比方法可,构造,出,检验统计量为,：,（,3.16,）,其中,2026/10/5,41,给定检验水平,，因为直接由,分布计算临界值,很困难，所以通常采用,的近似分布。,在,原假设,成立时，,当,n,较大时，其对数,极限分布是,分布。因此当,，由样本值计算出,值，若,即,，则拒绝,原假设,，否则接受,原假设。,2026/10/5,42,350毫升和360毫升之间。,的大小。,10月-2210月-2208:00:5708:00:57October 26,2022,那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？,记为 。,26 十月 20228:00:57 上午08:00:5710月-22,作为 的估计量，构造检验统计量：,15、比不了得就不比，得不到的就不要。,给定检验水平，因为直接由 分布计算临界值 很困难，所以通常采用的近似分布。,16、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。,2022/10/26 8:00:5708:00:5726 October 2022,的大小。,当 时，应认为H0不成立，即生产已不正常。,15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。,通常的办法是进行抽样检查,注意,，考虑检验假设,因为,，所以存在,，使得,令,则,因此，检验,等价于检验,此时构造检验统计量为,其中,2026/10/5,43,2026/10/5,44,9,、静夜四无邻，荒居旧业贫。,10月-26,10月-26,Monday,October 5,2026,10,、雨中黄叶树，灯下白头人。,00:55:24,00:55:24,00:55,10/5/2026 12:55:24 AM,11,、以我独沈久，愧君相见频。,10月-26,00:55:24,00:55,Oct-26,05-Oct-26,12,、故人江海别，几度隔山川。,00:55:24,00:55:24,00:55,Monday,October 5,2026,13,、乍见翻疑梦，相悲各问年。,10月-26,10月-26,00:55:24,00:55:24,October 5,2026,14,、他乡生白发，旧国见青山。,05 十月 2026,12:55:24 上午,00:55:24,10月-26,15,、比不了得就不比，得不到的就不要。,。,十月 26,12:55 上午,10月-26,00:55,October 5,2026,16,、行动出成果，工作出财富。,2026/10/5 0:55:24,00:55:24,05 October 2026,17,、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。,12:55:24 上午,12:55 上午,00:55:24,10月-26,9,、没有失败，只有暂时停止成功！。,10月-26,10月-26,Monday,October 5,2026,10,、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。,00:55:24,00:55:24,00:55,10/5/2026 12:55:24 AM,11,、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。,10月-26,00:55:24,00:55,Oct-26,05-Oct-26,12,、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。,00:55:24,00:55:24,00:55,Monday,October 5,2026,13,、不知香积寺，数里入云峰。,10月-26,10月-26,00:55:24,00:55:24,October 5,2026,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,05 十月 2026,12:55:24 上午,00:55:24,10月-26,15,、楚塞三湘接，荆门九派通。,。,十月 26,12:55 上午,10月-26,00:55,October 5,2026,16,、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。,2026/10/5 0:55:24,00:55:24,05 October 2026,17,、空山新雨后，天气晚来秋。,12:55:24 上午,12:55 上午,00:55:24,10月-26,9,、杨柳散和风，青山澹吾虑。,10月-26,10月-26,Monday,October 5,2026,10,、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。,00:55:24,00:55:24,00:55,10/5/2026 12:55:24 AM,11,、越是没有本领的就越加自命不凡。,10月-26,00:55:24,00:55,Oct-26,05-Oct-26,12,、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。,00:55:24,00:55:24,00:55,Monday,October 5,2026,13,、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。,10月-26,10月-26,00:55:24,00:55:24,October 5,2026,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,05 十月 2026,12:55:24 上午,00:55:24,10月-26,15,、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。,十月 26,12:55 上午,10月-26,00:55,October 5,2026,16,、业余生活要有意义，不要越轨。,2026/10/5 0:55:24,00:55:24,05 October 2026,17,、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。,12:55:24 上午,12:55 上午,00:55:24,10月-26,MOMODA POWERPOINT,Lorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.,感谢您的下载观看,专家告诉,