中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程测量平差第七.pptx

1第七章第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验误差分布与平差参数的统计假设检验 前面几章所讲述的几种经典的平差数学模型，在前面几章所讲述的几种经典的平差数学模型，在最小二乘原则下进行平差计算时，得到的平差值和最小二乘原则下进行平差计算时，得到的平差值和参数估值均是最优无偏估计量，但必须有下列情况参数估值均是最优无偏估计量，但必须有下列情况成立：其一是假定观测值中只含有偶然误差（又称成立：其一是假定观测值中只含有偶然误差（又称为随机误差），或者说偶然误差是观测误差的主要为随机误差），或者说偶然误差是观测误差的主要成分，其它类型的误差很小，与偶然误差相比，可成分，其它类型的误差很小，与偶然误差相比，可以忽略不计，因此，可视观测值为服从正态分布的以忽略不计，因此，可视观测值为服从正态分布的随机变量，也就是说，其数学期望等于真值，随机变量，也就是说，其数学期望等于真值，即即 （或说观测误差是服从正态分布的随机变量，其数（或说观测误差是服从正态分布的随机变量，其数学期望为零，即学期望为零，即 ）；）；2其二是在平差前确定观测值的权时，假定母体的其二是在平差前确定观测值的权时，假定母体的方差方差 为已知，用式为已知，用式 或用基于上式的或用基于上式的导出式计算（例如，在水准测量中，用式导出式计算（例如，在水准测量中，用式 或或 ）。如果上述两个条件不能成立，则最小二乘平）。如果上述两个条件不能成立，则最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。因此，必须对上述假定或者说对误差分布与平差因此，必须对上述假定或者说对误差分布与平差参数的正确性进行检验。参数的正确性进行检验。由于采用的检验方法在数学上是数理统计学由于采用的检验方法在数学上是数理统计学的内容，故本章阐述误差分布与平差参数的统的内容，故本章阐述误差分布与平差参数的统计假设检验方法。计假设检验方法。37-1 概述概述一、统计假设检验的概念一、统计假设检验的概念统计假设统计假设 在母体的未知分布上所作的某种假设称为在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设（习惯上将原假设记为统计假设（习惯上将原假设记为 ；备选假设记为；备选假设记为 ）。）。统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设；非参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设；非参数假设就是对母体分布函数所作的假设。设就是对母体分布函数所作的假设。4参数假设参数假设 例如，某糖厂用自动包装机将糖装例如，某糖厂用自动包装机将糖装箱，每箱规定的重量为箱，每箱规定的重量为100斤。每天开工时，需斤。每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常。根据以往的要先检验一下包装机工作是否正常。根据以往的经验知，用自动包装机装箱，其各箱重量的标准经验知，用自动包装机装箱，其各箱重量的标准差差 斤，且包装的重量变化服从正态变化。斤，且包装的重量变化服从正态变化。某日开工后，抽测了某日开工后，抽测了9箱，其重量如下（单位：箱，其重量如下（单位：斤）：斤）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5试问此包装机工作是否正常。试问此包装机工作是否正常。5 在这个例子中，我们关心的问题是：包装机工在这个例子中，我们关心的问题是：包装机工作是否正常，即包装机装出的糖箱的平均重量是否作是否正常，即包装机装出的糖箱的平均重量是否符合标准符合标准100斤。因此，此例可作如下处理：先假斤。因此，此例可作如下处理：先假设母体的平均值设母体的平均值u=100斤（原假设记为斤（原假设记为 ：u=100斤），然后利用上述抽取的斤），然后利用上述抽取的9个数据，来推个数据，来推断我们所作的这一假设的正确性，从而判定接受还断我们所作的这一假设的正确性，从而判定接受还是拒绝这种假设。是拒绝这种假设。如果知道母体的均值如果知道母体的均值u=100斤，那么就知道母斤，那么就知道母体的真分布是体的真分布是 。正由于母体的真分布完。正由于母体的真分布完全被几个未知参数所决定，因此将这种仅涉及到全被几个未知参数所决定，因此将这种仅涉及到母体分布中所包含的几个未知参数的统计假设称母体分布中所包含的几个未知参数的统计假设称为参数假设。为参数假设。6 非参数假设非参数假设 某种建筑材料，其抗断强度的分布，某种建筑材料，其抗断强度的分布，以往的监测表明，符合正态分布，现在，生产厂以往的监测表明，符合正态分布，现在，生产厂家改变了原来的配料方案，生产出新的产品，希家改变了原来的配料方案，生产出新的产品，希望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分布？布？与前例类似，先建立假设：假设改变了配料方与前例类似，先建立假设：假设改变了配料方案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态分布（原假设记为分布（原假设记为 ：）。然后通）。然后通过抽取子样来推断上述的这种假设的正确性，从过抽取子样来推断上述的这种假设的正确性，从而判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布而判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布函数的统计假设称为非参数假设。函数的统计假设称为非参数假设。7 统计假设检验统计假设检验 假设提出之后，就要判断它是否假设提出之后，就要判断它是否成立，以决定接受假设还是拒绝接受假设，这个成立，以决定接受假设还是拒绝接受假设，这个过程就是假设检验的过程。在统计学上，称判断过程就是假设检验的过程。在统计学上，称判断给定统计假设给定统计假设 的方法为统计假设检验，或简称的方法为统计假设检验，或简称统计检验。相应于统计假设的划分，统计假设检统计检验。相应于统计假设的划分，统计假设检验也分为参数假设检验和非参数假设检验。验也分为参数假设检验和非参数假设检验。在检验时，要有一定量的抽样数据在检验时，要有一定量的抽样数据(或说成子样或说成子样)，以概率论知识为基础，运用数理统计的方法进，以概率论知识为基础，运用数理统计的方法进行。因此，统计假设检验所解决的问题，就是根行。因此，统计假设检验所解决的问题，就是根据子样的信息，通过检验来判断母体分布是否具据子样的信息，通过检验来判断母体分布是否具有指定的特征。有指定的特征。8二、进行统计假设检验的思想二、进行统计假设检验的思想在本节第一例中，我们可设包装机所包装的糖箱在本节第一例中，我们可设包装机所包装的糖箱的重量为的重量为x，则，则 ,且已知且已知 。我。我们可用假设们可用假设表示包装机工作正常。表示包装机工作正常。我们知道，即使包装机工作正常，波动性总是存我们知道，即使包装机工作正常，波动性总是存在的，所以，包装机所包装的每包糖的净重不会在的，所以，包装机所包装的每包糖的净重不会都等于都等于 ，总是有一些差异，从而观测值的平均，总是有一些差异，从而观测值的平均值值 也不见得恰好等于也不见得恰好等于 。9但若平均值但若平均值 与与 有显著的差异，即有显著的差异，即 相当相当大时，则我们就认为机器工作不正常；大时，则我们就认为机器工作不正常；若平均值若平均值 与与 没有显著的差异，即没有显著的差异，即 相当小时，则相当小时，则我们就认为包装机工作正常。我们就认为包装机工作正常。上述问题用数理统计的语言来说就是：如果上述问题用数理统计的语言来说就是：如果 （其（其k中为某一适当的常数），则我中为某一适当的常数），则我们接受假设们接受假设 ，即认为包装机工作正常；如，即认为包装机工作正常；如果果 ，则我们拒绝假设，则我们拒绝假设 ，即认为包，即认为包装机工作不正常，上述的叙述可用概率的形式装机工作不正常，上述的叙述可用概率的形式描述如下，即描述如下，即10 时，接受假设时，接受假设 。（其。（其中中 取一个较小的值，如取一个较小的值，如0.01，0.05等）。等）。时，拒绝假设时，拒绝假设 ；也就是说，假设检验的判断依据是小概率推断原也就是说，假设检验的判断依据是小概率推断原理。所谓小概率推断原理就是：概率很小的事件理。所谓小概率推断原理就是：概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概率事件在一次试验中出现了，我们就有理由拒绝率事件在一次试验中出现了，我们就有理由拒绝它。它。因此说，统计假设检验的思想是：给定一个临因此说，统计假设检验的思想是：给定一个临界概率界概率 ，如果在假设，如果在假设 成立的条件下，出现观成立的条件下，出现观测到的事件的概率小于等于测到的事件的概率小于等于 ，就作出拒绝假设，就作出拒绝假设 的的决定，否则，作出接受假设决定，否则，作出接受假设 的决定。的决定。11 习惯上，将临界概率习惯上，将临界概率 称为显著水平，或称为显著水平，或简称水平。简称水平。三、接受域和拒绝域三、接受域和拒绝域接受域接受域 接受假设接受假设 的区域称为检验的接受域。的区域称为检验的接受域。例如上面的例子，当根据子样算术平均值满足例如上面的例子，当根据子样算术平均值满足的时候的时候 （或（或 ）,我们我们接受假设接受假设 ，也就是说计算的结果，也就是说计算的结果 落在了落在了 （或（或 ）区间之内，通常把区间）区间之内，通常把区间 （或（或 ）称之为接受域。如图）称之为接受域。如图7-112拒绝域拒绝域 拒绝接受假设拒绝接受假设 的区域称为检验的拒绝的区域称为检验的拒绝域。例如上面的例子，如果计算的结果域。例如上面的例子，如果计算的结果 落在落在了了 区间之外，这就表示概率很小区间之外，这就表示概率很小(=a)的事件的事件居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上不可能出现的原理，就有足够的理由否定原来所作不可能出现的原理，就有足够的理由否定原来所作的假设的假设 ，通常把区间，通常把区间 （或（或 ）以外的）以外的区域称之为拒绝域。如图区域称之为拒绝域。如图7-113四、两类错误四、两类错误 由上述假设检验的思想可知，假设检验是以小概由上述假设检验的思想可知，假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。但是，小概率事件虽然其出现的概率提为依据的。但是，小概率事件虽然其出现的概率很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。事实上，如果我们重复抽取容量为事实上，如果我们重复抽取容量为n的许多组子样，的许多组子样，由于抽样的随机性，子样均值不可能完全相同，因由于抽样的随机性，子样均值不可能完全相同，因而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验的显著水平定为的显著水平定为 ，那么，即使原假设，那么，即使原假设 是是正确的正确的(真的真的)，其中仍约有，其中仍约有5%的数值将会落入拒绝的数值将会落入拒绝域中。域中。14由此可见，进行任何假设检验总是有作出不正确由此可见，进行任何假设检验总是有作出不正确判断的可能性，换言之，不可能绝对不犯错误。判断的可能性，换言之，不可能绝对不犯错误。只不过犯错误的可能性很小而已。只不过犯错误的可能性很小而已。第一类错误第一类错误 当当 为真为真(正确正确)而遭到拒绝的错误而遭到拒绝的错误称为犯称为犯第一类错误第一类错误，也称为弃真的错误，如图，也称为弃真的错误，如图7-2。犯第一类错误的概率就是。犯第一类错误的概率就是a。第二类错误第二类错误 同样地，当同样地，当 为不真为不真(不正确不正确)时，时，我们也有可能接受我们也有可能接受 ，这种错误称为，这种错误称为犯第二类犯第二类错误错误，或称为纳伪的错误，如图，或称为纳伪的错误，如图7-2。犯第二类。犯第二类错误的概率为错误的概率为 。15 显然，当子样容量显然，当子样容量n确定后，犯这两类错误的确定后，犯这两类错误的概率不可能同时减小。当概率不可能同时减小。当a增大，则增大，则 减小；当减小；当a减小，则减小，则 增大。增大。16五、统计量和抽样分布五、统计量和抽样分布 在统计假设检验中，被检验的对象往往不在统计假设检验中，被检验的对象往往不是单个的子样，而经常是对子样的某种函数是单个的子样，而经常是对子样的某种函数进行检验，例如在本节的第一个例子的检验进行检验，例如在本节的第一个例子的检验问题中，是要对子样平均值问题中，是要对子样平均值 进行检进行检验，我们知道验，我们知道 也是随机变量，也服从某种也是随机变量，也服从某种概率分布。概率分布。17 设设 是母体的一个样本是母体的一个样本.为一个连续函数为一个连续函数.如果如果 中不包含任何未知中不包含任何未知参数，则称参数，则称 为一个统计量。为一个统计量。统计量的概率分布又称为抽样分布。统计量的概率分布又称为抽样分布。例如，例如，就是一个统计量。当母体就是一个统计量。当母体则则即即 的抽样分布是的抽样分布是 。18六、进行统计假设检验的步骤六、进行统计假设检验的步骤 概括起来说，进行假设检验的步骤是：概括起来说，进行假设检验的步骤是：1根据实际需要提出原假设根据实际需要提出原假设 和备选假设和备选假设 ；2选取适当的显著水平选取适当的显著水平a；3确定检验用的统计量，其分布应是已知的；确定检验用的统计量，其分布应是已知的；4根据选取的显著水平根据选取的显著水平a，求出拒绝域的界限，求出拒绝域的界限值，如被检验的数值落入拒绝域，则拒绝值，如被检验的数值落入拒绝域，则拒绝 (接受接受 )。否则，接受。否则，接受 (拒绝拒绝 )。197-2 常用的参数假设检验方法常用的参数假设检验方法一、一、u检验法检验法 由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。1u检验法的概念检验法的概念20 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ，母体方差，母体方差 为为已知。从母体中随机抽取容量为已知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求的子样，可求得子样均值得子样均值 ，利用子样均值，利用子样均值 对母体均值对母体均值u进进行假设检验，则可用统计量行假设检验，则可用统计量 ，其分布为，其分布为标准正态分布。即标准正态分布。即（7-2-1）将这种服从标准正态分布的统计量称为将这种服从标准正态分布的统计量称为u变量，变量，利用统计量所进行的检验方法称为利用统计量所进行的检验方法称为u检验法。检验法。21 2u检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用u检验法对母体均检验法对母体均值值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。法（左尾检验法或右尾检验法）。（1）双尾检验法。）双尾检验法。假设：假设：即即 22或或 或写成或写成 式中式中 ，为标准正态分布的为标准正态分布的双侧双侧100a百分位点百分位点。当当 或或 时，接受时，接受 ，拒绝，拒绝 ；反之，拒绝反之，拒绝 ，接受，接受 ；23（2）左尾检验法）左尾检验法假设：假设：即即 或写成或写成 式中式中 ，为标准正态分布的为标准正态分布的上上100u百分位点百分位点。当当 或或 时，时，拒绝拒绝 ，接，接受受 ；反之，接受；反之，接受 ，拒绝拒绝 ；24（3）右尾检验法）右尾检验法 假设：假设：即即 或写成或写成 式中式中 当当 或或 时，时，拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ，拒绝拒绝 ；25例例7-1 已知基线长已知基线长 ，认为无误差。，认为无误差。为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了34个测回，得平均值个测回，得平均值 ，已知，已知 ,问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差（取问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差（取 ）。）。解：（解：（1）（2）当）当 成立时，计算统计量值成立时，计算统计量值 26（3）查得）查得 因为因为 ，故拒绝，故拒绝 ，即认，即认为在为在 的显著水平下，该仪器测量的长度的显著水平下，该仪器测量的长度存在系统误差。存在系统误差。u检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以在两个正态母体方差可以在两个正态母体方差 已知的条件下，已知的条件下，对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。设两个正态随机变量设两个正态随机变量 和和 ，从两母体中独立抽取的两组子样为从两母体中独立抽取的两组子样为 和和 。子样均值分别为。子样均值分别为 和和 ，则两个均值之差构成，则两个均值之差构成的统计量也是正态随即变量，即的统计量也是正态随即变量，即27（7-2-2）标准化得标准化得（7-2-3）如果两母体方差相等，设为如果两母体方差相等，设为 则上式为则上式为（7-2-4）28 。问二人观测结果的差异是否显。问二人观测结果的差异是否显著（取著（取 ）？）？,乙观测了乙观测了10个测回，得平均值个测回，得平均值 例例7-2 根据两个测量技术员用某种经纬仪观测根据两个测量技术员用某种经纬仪观测水平角的长期观测资料统计，观测服从正态分布，水平角的长期观测资料统计，观测服从正态分布，一个测回中误差均为一个测回中误差均为 。现两人对同一角。现两人对同一角度进行观测，甲观测了度进行观测，甲观测了14个测回，得平均值个测回，得平均值解：解：（1）；（2）当成立时，统计量值计算）当成立时，统计量值计算29（3）查得）查得 因为因为 ，故接受，故接受 ，即认为，即认为在在 的显著水平下，二人观测的结果无的显著水平下，二人观测的结果无显著差异。显著差异。30 在实际测量工作中，真正的在实际测量工作中，真正的 经常是未知的，经常是未知的，一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中已说明，这种代替，当子样容量已说明，这种代替，当子样容量n200，则可认为，则可认为是严密的，当一般是严密的，当一般n30，用，用 代代 进行进行u检验则检验则认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又是小子样时，是小子样时，u检验法便不能应用。须用以下的检验法便不能应用。须用以下的t检检验法对母体均值进行验法对母体均值进行u检验。检验。二、二、t检验法检验法1t检验法的概念检验法的概念 31 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ，母体方差，母体方差 未知。从母体中随机抽取容量为未知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得的子样，可求得子样均值子样均值 和子样中误差和子样中误差 ，利用子样均值，利用子样均值 和子样中误差和子样中误差 对母体均值对母体均值u进行假设检验，进行假设检验，则可利用统计量则可利用统计量 ，但统计量已不服，但统计量已不服从正态分布，而是服从自由度为从正态分布，而是服从自由度为n-1的的t分布。即分布。即（7-2-5）用统计量用统计量t检验正态母体数学期望的方法，称为检验正态母体数学期望的方法，称为t检验法。检验法。32 2t检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用t检验法对母体均检验法对母体均值值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。法（左尾检验法或右尾检验法）。（1）双尾检验法）双尾检验法假设：假设：即即 33或或 或写成或写成 式中式中 侧侧100百分位点百分位点。为分布的为分布的双双当当 或或 时，接受时，接受 ，拒绝，拒绝 ；反之，拒绝反之，拒绝 ，接受，接受 ；34（2）左尾检验法）左尾检验法假设：假设：即即 或写成或写成 式中式中 ，为为t分布的上分布的上100a百分位点。百分位点。当当 或或 时，时，拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ，拒绝拒绝 ；35（3）右尾检验法）右尾检验法假设：假设：即即 或写成或写成 式中式中 当当 或或 时，时，拒绝拒绝 ，接受，接受 ；反之，接受；反之，接受 ，拒绝拒绝 ；36例例7-3 为了测定经纬仪视距常数是否正确，设为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为置了一条基线，其长为100m，与视距精度相比，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为：度为：100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.099.8，99.4，99.9，99.7，100.3，100.2试检验该仪器视距常数是否正确。试检验该仪器视距常数是否正确。解：解：37 ,现现 ，接受，接受 ，可认为在，可认为在100m左右范围内，视距常数正确。左右范围内，视距常数正确。假设假设 选定选定 以自由度以自由度 ，查，查t分布表得分布表得38 同样，同样，t检验法不仅可以检验单个正态母体参数，检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进行还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。检验。,设为设为 。,未知，但已知未知，但已知设两个正态随机变量设两个正态随机变量 和和 从两母体中独立抽取的两组子样为从两母体中独立抽取的两组子样为 和和 。子样均值分别为。子样均值分别为 和和 ，子样方差分别为，子样方差分别为 ，则两个均值之差构成如下服从，则两个均值之差构成如下服从t分布的统计量，分布的统计量，即即 39（7-2-6）例例7-4 为了了解白天和夜晚对观测角度的影响，为了了解白天和夜晚对观测角度的影响，用同一架光学经纬仪在白天观测了用同一架光学经纬仪在白天观测了9个测回，夜晚个测回，夜晚观测了观测了8个测回，其结果如下个测回，其结果如下白天观测成果：白天观测成果：夜晚观测成果：夜晚观测成果：40问日夜观测结果有无显著的差异（取问日夜观测结果有无显著的差异（取 ）？）？解：（解：（1）；（2）当成立时，统计量值计算）当成立时，统计量值计算（3）查表得）查表得 41三、三、检验法检验法 因为因为 ，故拒绝，故拒绝 ，即，即认为在认为在 的显著水平下，日夜观测结果有的显著水平下，日夜观测结果有显著的差异。显著的差异。顺便指出，当顺便指出，当t的自由度的自由度 时，时，t检验法检验法与与u检验法的检验结果实际相同。检验法的检验结果实际相同。t检验法也可用检验法也可用来检验两个正态母体的数学期望是否相等。来检验两个正态母体的数学期望是否相等。1 检验法的概念检验法的概念42 设母体服从正态分布设母体服从正态分布 ，母体方差，母体方差 未未知。从母体中随机抽取容量为知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得的子样，可求得子样方差子样方差 ，利用子样方差，利用子样方差 对母体方对母体方差差 进行假设检验，可利用统计量进行假设检验，可利用统计量 ，此统计量服从自由度为此统计量服从自由度为n-1的的 分布，即分布，即(7-2-7)这种用统计量这种用统计量 对母体方差进行假设检验的方对母体方差进行假设检验的方法，称法，称 检验法。检验法。43 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用 检验法对母体方检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。（左尾检验法或右尾检验法）。（1）双尾检验法）双尾检验法2 检验法的类型检验法的类型假设：假设：即即 或或 44或写成或写成 式中式中 当时当时 ，接受，接受 ，拒绝，拒绝 ；反之，；反之，拒绝拒绝 ，接受，接受 ；（2）左尾检验法）左尾检验法 假设：假设：这里这里 虽记为虽记为 ，实际上相对，实际上相对 来说来说是是 ,当当 成立时，有成立时，有45即即 或或 如果统计量如果统计量 的计算值的计算值 大于以显著水平大于以显著水平和自由度和自由度n-1查得的查得的 值，则拒绝原假设值，则拒绝原假设 ，接受接受 。否则接受。否则接受 。46相同（取相同（取 ）？）？例例7-5 用某种类型的光学经纬仪观测水平角，用某种类型的光学经纬仪观测水平角，由长期观测资料统计该类仪器一个测回的测角中误由长期观测资料统计该类仪器一个测回的测角中误差为差为 。今用试制的同类仪器对某一角观。今用试制的同类仪器对某一角观测了测了10个测回，求得一个测回的测角中误差为个测回，求得一个测回的测角中误差为 。问新旧两种仪器的测角精度是否问新旧两种仪器的测角精度是否解：解：（1）；（2）当）当 成立时，计算统计量值成立时，计算统计量值47 （3）查得）查得因为因为 落在了（落在了（2.700，19.023）区间，故接受）区间，故接受 ，即认为在，即认为在 的显著水平下，新旧两种仪的显著水平下，新旧两种仪器的测角精度相同。器的测角精度相同。四、四、F检验法检验法 1F检验法的概念检验法的概念 设有两个正态母体设有两个正态母体 和和 ，母体，母体方差方差 和和 未知。从两个母体中随机抽取容量为未知。从两个母体中随机抽取容量为 和和 的两组子样，求得两组子样的子样方差的两组子样，求得两组子样的子样方差 和和 ，则，则48 利用子样方差利用子样方差 和和 的上述信息对母体方差的上述信息对母体方差 和和 是否相等进行假设检验，则可利用统计量是否相等进行假设检验，则可利用统计量 49此统计量服从此统计量服从F分布，即分布，即(7-2-8)2F检验法的类型检验法的类型 根据检验问题的不同，利用根据检验问题的不同，利用F检验法对母体方检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（右尾检验法）。法（右尾检验法）。（1）双尾检验法）双尾检验法 假设：假设：即即 50故当故当 或或 时拒绝时拒绝 ,接受接受 ;否则，接受否则，接受 。在实际检验时，我们总是可以将其中较大的在实际检验时，我们总是可以将其中较大的一个子样方差作为一个子样方差作为 ，另一个作为，另一个作为 ，这样就，这样就可以使可以使 永远大于永远大于1。因为。因为51故故 这样，就只须考察这样，就只须考察 是否落入右尾的拒绝域是否落入右尾的拒绝域就可以了，不必再去考虑左尾的拒绝域。在这就可以了，不必再去考虑左尾的拒绝域。在这种情况下，可写成种情况下，可写成 而在而在F分布表中的所有表列值都大于分布表中的所有表列值都大于1，即上式，即上式右端中的分母右端中的分母 大于大于1，必小于必小于1，而我们又使而我们又使 ，所以不可能有，所以不可能有的情况发生，的情况发生，52（2）用右尾检验法）用右尾检验法假设：假设：因因故当时故当时 ，则拒绝，则拒绝 ，接，接受受 ；否则，接受；否则，接受 。由于前面讲过的理由，我们总是可以使由于前面讲过的理由，我们总是可以使 ，所以进行单尾检验时，就没有必要再考虑备选假所以进行单尾检验时，就没有必要再考虑备选假设为设为 的情况了。的情况了。53 例例7-6 用两台经纬仪对同一角度进行观测，用第用两台经纬仪对同一角度进行观测，用第一台观测了一台观测了9个测回，得一测回测角中误差估值个测回，得一测回测角中误差估值 ，用第二台也观测了，用第二台也观测了9个测回，得一测回测角中误差个测回，得一测回测角中误差估值估值 ，问两台仪器的测角精度差异是否，问两台仪器的测角精度差异是否显著（取显著（取 ）？）？解：（解：（1）；（2）当）当 成立时，统计量值计算成立时，统计量值计算（3）查得）查得 54 的显著水平下，两台仪器的测角精度的显著水平下，两台仪器的测角精度无显著差异。无显著差异。因为因为 ，故接受，故接受 ，即认为在，即认为在例例7-7 给出两台测距仪测定某一距离的测回数和给出两台测距仪测定某一距离的测回数和计算的测距方差为计算的测距方差为 测距仪甲：测距仪甲：，测距仪乙；测距仪乙；，试在显著水平试在显著水平 下，检验两台仪器测距精度下，检验两台仪器测距精度有否显著差别。有否显著差别。解：解：55以分子自由度以分子自由度7，分母自由度，分母自由度11，查得，查得 ；计算统计量计算统计量现现 ，故接受，故接受 。如果上例问测距仪乙测距精度是否比甲低，此时如果上例问测距仪乙测距精度是否比甲低，此时的的 ,，原假设和备选假设，原假设和备选假设为为统计量为统计量为56在在F分布表查得分布表查得 ，,成立，成立，测距仪乙的测距精度不比甲差。因在测距仪乙的测距精度不比甲差。因在F分布表中分布表中的值均大于的值均大于1，发现，发现F值小于值小于1，必成立。必成立。7-3 误差分布的假设检验误差分布的假设检验分布假设检验分布假设检验 上一节介绍的几种检验方法，都是上一节介绍的几种检验方法，都是认为母体分布形式已知，在这种前提下进行讨论，认为母体分布形式已知，在这种前提下进行讨论，对母体的参数进行假设检验的。但是，在许多的实对母体的参数进行假设检验的。但是，在许多的实际问题中，母体服从何种分布并不知道，这就需要际问题中，母体服从何种分布并不知道，这就需要对母体的分布先做某种假设，然后用样本（观测值）对母体的分布先做某种假设，然后用样本（观测值）来检验此项假设是否成立，这种检验就是来检验此项假设是否成立，这种检验就是分布假设分布假设检验检验。57 在前面的学习中，我们知道，如果观测误差服从在前面的学习中，我们知道，如果观测误差服从正态分布，平差计算所得的结果是最优无偏估计量。正态分布，平差计算所得的结果是最优无偏估计量。但是，如果观测误差包含了系统误差或粗差，所得但是，如果观测误差包含了系统误差或粗差，所得的平差结果不会再是最优无偏估计，甚至是无效的的平差结果不会再是最优无偏估计，甚至是无效的结果。因此，要想使平差得到最优无偏估计的结果，结果。因此，要想使平差得到最优无偏估计的结果，必须对误差分布的正态性进行检验。必须对误差分布的正态性进行检验。一、偶然误差特性的检验一、偶然误差特性的检验 在第二章的学习中知道，测量的偶然误差服从在第二章的学习中知道，测量的偶然误差服从正态分布，并给出了偶然误差的四个特性，即正态分布，并给出了偶然误差的四个特性，即581.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；会超过一定的限值；2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；的概率大；3.绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；等；4.偶然误差的算术平均值偶然误差的算术平均值,随着观测次数的无限随着观测次数的无限增加而趋向于零增加而趋向于零(或偶然误差的数学期望等于或偶然误差的数学期望等于零零),即即或或 59 当我们进行了一系列的观测时，若出现的误差当我们进行了一系列的观测时，若出现的误差是偶然误差或者是以偶然误差为主导的，那么，是偶然误差或者是以偶然误差为主导的，那么，它们应该符合或基本上符合上述几个特性。它们应该符合或基本上符合上述几个特性。通过下面几项检验基本上可以判断观测误差是通过下面几项检验基本上可以判断观测误差是否服从正态分布。否服从正态分布。1误差正负号个数的检验误差正负号个数的检验基本思想基本思想 依据偶然误差特性的第三个特性，如果依据偶然误差特性的第三个特性，如果观测误差是偶然误差观测误差是偶然误差,则正误差和负误差的个数应则正误差和负误差的个数应相等。相等。（1）用正误差个数进行检验）用正误差个数进行检验60 其中不为零的有其中不为零的有n个。用个。用 记录误差记录误差 的正负号的信息值，当的正负号的信息值，当 为正时，取为正时，取 为负时，取为负时，取 ；用；用S表示出现正误差的个表示出现正误差的个数，则数，则 设某次观测共有设某次观测共有N个观测值，对应的真误差为个观测值，对应的真误差为(7-3-1)在概率论中知道，在概率论中知道，S是服从二项分布的变量，是服从二项分布的变量，即即 （误差为正的概率为（误差为正的概率为p,为负的概为负的概率为率为q），且），且S标准化后的极限分布服从标准化后的极限分布服从N(0,1)分布，即分布，即61(7-3-2)由偶然误差的第三特性可知，正负误差出现的由偶然误差的第三特性可知，正负误差出现的概率应相等，即概率应相等，即 或写成或写成 为了检验为了检验p是否等于是否等于1/2，可作出如下假设：，可作出如下假设：62如果如果 成立，则成立，则(7-3-2)表示的统计量为表示的统计量为（7-3-3）故有故有（7-3-4）根据标准正态分布知，随机变量根据标准正态分布知，随机变量X落在落在 的概率等于的概率等于0.9545。63对统计量对统计量 而言，而言，则，则 。若以二倍中误差作为极限误差，若以二倍中误差作为极限误差，；对；对于（于（7-3-4）式，若在取）式，若在取 ，则，则 ，于是有于是有或或（7-3-5）64此式表明，根据正负误差的个数得到下式此式表明，根据正负误差的个数得到下式（7-3-6）如果上式成立，则表示如果上式成立，则表示(7-3-3)式中的统计量以式中的统计量以 的概率落入接受域内，因此，应接受的概率落入接受域内，因此，应接受 ；否则，拒；否则，拒绝绝 ，因此就有理由认为误差中可能存在着某种，因此就有理由认为误差中可能存在着某种系统误差的影响。系统误差的影响。（2）用负误差个数进行检验）用负误差个数进行检验同理，若以同理，若以 表示负误差的个数，则有表示负误差的个数，则有65由于正负误差出现的概率相等，即由于正负误差出现的概率相等，即 ，将上式代入将上式代入(7-3-5)式就可直接写出式就可直接写出(7-3-7)因此，也可以由下式来检验因此，也可以由下式来检验 是否成立是否成立(7-3-8)（3）用正负误差个数之差进行检验）用正负误差个数之差进行检验由由(7-3-6)和和(7-3-8)两式，还可得到两式，还可得到(7-3-9)66这就是用正负误差个数之差进行检验这就是用正负误差个数之差进行检验 是否成是否成立的公式。立的公式。2正负误差分配顺序的检验正负误差分配顺序的检验 基本思想基本思想 如果观测误差是偶然误差，根据偶如果观测误差是偶然误差，根据偶然误差的特性，误差为正或为负应该具有随机性，然误差的特性，误差为正或为负应该具有随机性，也就是说，基本上应该是正负交替出现，当前一也就是说，基本上应该是正负交替出现，当前一个误差为正时，后一个误差为负的可能性应该比个误差为正时，后一个误差为负的可能性应该比较大。同样，当前一个误差为负时，后一个误差较大。同样，当前一个误差为负时，后一个误差可能为正的可能性应该比较大。可能为正的可能性应该比较大。67 如果在观测过程中受到某种因素的影响，就会破如果在观测过程中受到某种因素的影响，就会破坏上述的规律，在某一因素段内误差大多为正，而坏上述的规律，在某一因素段内误差大多为正，而在另一因素段内则大多为负，但是，正负误差的个在另一因素段内则大多为负，但是，正负误差的个数有可能基本相等。如果只用数有可能基本相等。如果只用“误差正负号个数的误差正负号个数的检验检验”方法进行检验，就难以发现是否存在着上述方法进行检验，就难以发现是否存在着上述系统性的变化。所以，就应将误差按某种因素排列系统性的变化。所以，就应将误差按某种因素排列（如时间、地点的先后顺序等），从而检验其是否（如时间、地点的先后顺序等），从而检验其是否随某种因素而发生着系统性的变化。随某种因素而发生着系统性的变化。（1）用相邻两误差正负号相同的）用相邻两误差正负号相同的N个数进行检验个数进行检验 设某次观测共有个观测值，对应的真误差为设某次观测共有个观测值，对应的真误差为,其中不为零的有其中不为零的有n个。个。68将误差按某一因素（如时间因素）的顺序排列，将误差按某一因素（如时间因素）的顺序排列，以以 表示两个相邻误