1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教案.doc

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件复习备考要这样做1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用1 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4 充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件注意对定义的理解:例如：若pq，则p是q的 充分不必要条件，p的必要不充分条件是q。难点正本疑点清源 1 等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假2 集合与充要条件设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，则有(1)若AB，则p是q的充分条件，若，则p是q的充分不必要条件；(2)若BA，则p是q的必要条件，若，则p是q的必要不充分条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是 (D)A否命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”是真命题B逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题C逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题D逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题逆否命题进行真假判断解析命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例 命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是 (C)A若xy是偶数，则x与y不都是偶数 B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数 D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判断例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是(D)Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点 Bp：；q：yf(x)是偶函数Cp：coscos；q：tantan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断解析对于A，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当coscos0时，不存在tantan，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是 解析对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此正确；对于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不正确；对于，由题意得，若B60，则sin A，注意到ba，故A30，反之，当A30时，有sin B，由于ba，所以B60或B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.题型三利用充要条件求参数例3已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解解(1)由MPx|5x8，得3a5，因此MPx|5x8的充要条件是a|3a5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有a0，故“a0”是“MPx|5x8”的一个充分但不必要条件探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验 已知p：x24x50，q：|x3|0)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围解设Ax|x24x50x|1x5，Bx|a3x4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p：2，q：x22x1m20 (m0)，且的必要而不充分条件，求实数m的取值范围审题视角(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论规范解答解方法一 由q：x22x1m20，得1mx1m，2分：Ax|x1m或x0，3分由p：2，解得2x10，5分：Bx|x10或x9.m9.12分方法二p是q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件， 2分由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m， 4分由p：2，解得2x10，p：Px|2x10 6分p是q的充分而不必要条件，PQ，或即m9或m9.m9. 12分答题模板第一步：求命题p、q对应的参数的范围第二步：求命题、对应的参数的范围第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整老师在阅卷时，便于查找得分点.温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提2 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3 命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假(2)等价法：利用AB与，BA与，AB与綈B的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件失误与防范1 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式2 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012湖南)命题“若，则tan1”的逆否命题是(C)A若，则tan1 B若，则tan 1C若tan1，则 D若tan1，则解析由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan 1，则.2 (2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是 (D)Ax Bx1 Cx5 Dx0解析a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.3 已知集合Mx|0x1，集合Nx|2xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题解析对于A，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|，必有xy；对于B，否命题：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于C，其否命题：若x1，则x2x20，因为x2时，x2x20，所以是假命题；对于D，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5 下列命题：若ac2bc2，则ab；若sinsin，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是解析对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin 30sin 150则30150，所以错误；对于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以对；对于显然对6 已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为3,8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3；又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得m8.故实数m的取值范围是3m8.7 (2011陕西)设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n3或4解析x24xn0有整数根，x2，4n为某个整数的平方且4n0，n3或n4.当n3时，x24x30，得x1或x3；当n4时，x24x40，得x2.n3或n4.三、解答题(共22分)8 (10分)判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假解原命题：若a0，则x2xa0有实根逆否命题：若x2xa0无实根，则a0.判断如下：x2xa0无实根，14a0，a0，“若x2xa0无实根，则a0”为真命题9 (12分)已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解由题意得p：2x32，1x5.：x5.q：m1xm1，：xm1.又的充分而不必要条件，且等号不能同时取到，2m4.法二：B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012上海)对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析mn0，或当m0，n0且mn时，方程mx2ny21的曲线是椭圆，当m0，n0，所以“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的必要不充分条件2 已知p：1，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(C)A(，3 B2,3 C(2,3 D(2,3)解析由1，得2x3；由|xa|1，得a1xa1.若p是q的充分不必要条件，则，即2a3.所以实数a的取值范围是(2,3，故选C.3 集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析Ax|4x4，若AB，则a4.a4D/a5，但a5a4.故“AB”是“a5”的必要不充分条件二、填空题(每小题5分，共15分)4 设有两个命题p、q.其中p：对于任意的xR，不等式ax22x10恒成立；命题q：f(x)(4a3)x在R上为减函数如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是(1，) 解析若命题P为真，当a0时，不等式为2x10，显然不能恒成立，故a0不适合；当a0时，不等式ax22x10恒成立的条件是解得a1.若命题q为真，则04a31，解得a1a|a或a1a|a1；当p假q真时，a的取值范围是a|a1a|a1a|a1；所以a的取值范围是(1，)5 若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x的取值范围是_1,2)_解析x2,5且xx|x4是真命题由得1x2.点评“A或B”的否定是“6 “m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”充分不必要条件解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m，mm，反之不成立故“ma，Bx|ax2，即a时，Ax|2x3a1p是q的充分条件，AB.，即a.当3a12，即a时，A，不符合题意；当3a12，即a时，Ax|3a1x2，由AB得，a.综上所述，实数a的取值范围是.第 9 页 共 9 页