二-命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

第二节　命题及其
关系、充分条件与必要条件
【最新考纲】　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．

1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(3)如果p⇒/ q，且q ⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
4．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．(　　)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．(　　)
(3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．(　　)
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同．(　　)
解析：(1)变量x没有赋值，无法判断语句的真假，故不是命题．(2)若“p，则q”的否命题是“若p，则q”．(3)一个命题与其逆否命题同真假．(4)p是q的充分不必要条件是指p⇒q且q⇒/ p；p的充分不必要条件是q，是指q⇒p且p⇒/ q，因此它们表达的意义不同．
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
解析：命题的条件是p：α＝，结论是q：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
3．(2015·重庆卷)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)
A．充要条件　　　　　　B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵x＞1⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的充分而不必要条件．
答案：B
4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)
A．1　　　B．2 C．3　　　D．4
解析：原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．所以假命题的个数为2个．
答案：B
5．(2017·广州一模)已知p：∃x＞0，ex－ax＜1成立，q：函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查充分条件与必要条件．若∃x＞0，ex－ax＜1成立，即∃x＞0，使得ex＜ax＋1成立．由于直线y＝ax＋1恒过点(0，1)，且y＝ex在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，因此，命题p等价于a＞1.若函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，即a－1＞1，亦即命题q等价于a＞2.综上所述，由命题q可推出命题p；但是命题p不一定可推出命题q.故p是q的必要不充分条件．
答案：B

一个区别
在“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．
两条规律
1．逆命题与否命题互为逆否命题；
2．互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法有以下三种：
1．定义法. 直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法. 利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系．对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法. 设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．

一、选择题
1．(2015·安徽卷)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件　　 　B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由2x＞1，得x＞0，所以p⇒q，但q⇒/ p，
所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
2．(2015·山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：分别否定命题的条件和结论，并互换位置可得逆否命题。根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案：D
3．已知条件p：x≤1，条件q：x2－x＞0，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x2－x＞0得x＜0或x＞1，所以q：0≤x≤1，由{x|0≤x≤1}{x|x≤1}知，p是q的必要不充分条件．
答案：B
4．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±，
故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案：A
5．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，
又p是q的充分不必要条件，
所以k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)．
答案：B
6．(2015·陕西卷)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：先将cos 2α＝0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断．
cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．
答案：A
二、填空题
7．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．
解析：由a＞b⇒/ ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b，故原命题是假命题，逆命题是真命题，从而逆否命题是假命题，否命题是真命题．
答案：2
8．“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
解析： x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤，因为m＜⇒m≤，反之不成立．
故“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：A＝{x|x＜4}，由题意知AB，所以a＞4.
答案：(4，＋∞)
三、解答题
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
该命题是真命题，证明如下：
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
∴否命题为真命题．
11．若x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由已知易得
{x|x2－2x－3＞0}{x|x＜m－1或x＞m＋1}，
又{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴或，∴0≤m≤2.
故实数m的取值范围是[0，2]．