第一轮复习命题及其关系充分条件与必要条件.doc

命题及其关系、充分条件与必要条件
考点与要求
1．了解命题的概念．
2．了解“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
知识与方法梳理
一、基础知识
A．命题
1．命题
可以判断 真假 的陈述句，叫做命题．
注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．
（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．
例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③；④若，，则．
以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当时，为真；当时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．
2．假命题、真命题
真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．
假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．
注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）
（1）开句、命题函数
形如“”、“”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．
开句常记作、，其中变元是在一定范围里变化.当取某个个体时，开句就变成了命题（与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“”而言，当时，为真；当时，为假．
（2）开句的取真集
对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“”而言，“”时为真，“”时为假.使开句取真的的范围叫做的取真集，记作．对开句来说，取真集为．
解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．
（3）将命题函数变成命题
命题函数变成命题的方法有两个．
方法一：将命题函数中的用特殊个体代入，从而得到对特殊个体进行判断的命题，这种命题叫做单称命题．
例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．
再如，命题函数，对赋值，可得到命题和，即，和．
当然是真命题，是假命题．
方法二：利用量词来限制个体的范围
例如：命题函数，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数都有”或“有实数使” ．
前者是假命题，后者是真命题．
3．命题的形式
若，则．
其中叫做命题的条件（或题设），叫命题的结论．
注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．
B．四种命题及其关系
1．四种命题及其关系
（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
（2）设原命题为：“若，则”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：
逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若，则”．
否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若，则”．
逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若，则”．
延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）
当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．
当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“：垂直于弦”、“：过圆心”；结论也有两个：“：平分这条弦”、“：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：，该命题的所有偏逆命题有：
：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；
：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；
：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；
：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．
2．四种命题的真假关系
（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．
（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．
具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．
具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．
（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．
注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．
（4）不等价关系：两命题的真假性 没有关系 ． 互逆命题 、 互否命题 不等价．
C．充分条件与必要条件
记命题“若，则”为“”，若命题“若，则”为真，则进一步记作“”，为假时，则记作．
1．基本概念
（1）若，则称是的充分条件，是的必要条件．
（2）若，且，则称是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．
（3）若，且，则称是的充要条件，这时，也是的充要条件．
（4）若，且，则称是的不充分不必要条件，这时，也是的不充分不必要条件．
注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．
（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．
2．对“充分条件”与“必要条件”的理解
（1）从定义本身去理解
充分条件：要使结论成立，只要具备条件就足够了．
事实上，式子已经表明，条件成立时，结论一定成立，就是说，要使结论成立，只要具备条件就足够了．
必要条件：当条件成立时，结论不一定成立，但条件不成立时，结论一定不成立.
依题意，条件为、结论为．
一方面，虽然命题“”为真，但其逆命题“”却未必为真，因此，当条件成立时，结论不一定成立．
另一方面，命题“”为真，从而其逆否命题“”也真，即，据此可知，条件不成立时，结论一定不成立．

①

②

③

④
（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”

视“开关的闭合”为条件，“灯泡亮”为结论，则
图①中，条件是结论的 条件． 充分不必要条件（）
图②中，条件是结论的 条件． 必要不充分条件（）
图③中，条件是结论的 条件． 充要条件（）
图④中，条件是结论的 条件． 不充分不必要条件（）
（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”
设条件对应集合，条件对应集合，即，．
①若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件．
事实上，若有，∵，可得，即，∴是的充分条件．
若有，∵，可得，且，∴是的充分不必要条件．
②若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件．
事实上，若有，∵，可得，即，∴是的必要条件．
若有，∵，可得，且，∴是的必要不充分条件．
③若，则与互为充要条件．
事实上，若有，∵，可得，即，若有，∵，可得，即，∴、互为充要条件．
④若且，则是的既不充分条件也不必要条件．
事实上，若有，∵，可得，即，同理，是的既不充分也不必要条件．
二、基本思想方法
等价转化的思想
示例 已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：由得，．由得，．
∵，∴．
结合数轴有 解得．
点评与警示：本题利用等价转化思想，把转化为，进一步转化为是的子集，然后利用数轴列出不等关系．
题型示例
A．命题的判断、命题的真假判断
例 判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的真子集； 命题；假命题．
（2）三角函数是单调函数吗？ 疑问句，不是命题．
（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 命题；假命题．
（4）； 开句，不是命题．
（5）若，则； 命题；真命题（∵二次三项式的判别式，在条件下，始终有）．
（6）若整数是素数，则是奇数；命题；假命题（∵时，由条件推不出结论）．
（7）． 命题；假命题．
点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．
B．命题的形式
例 把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
（1）周长相等的两个三角形面积相等；
（2）偶数能被2整除；
（3）奇函数的图象关于原点对称；
（4）同弧所对的圆周角不相等；
（5）菱形对角线互相平分；
（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（7）负数的立方是负数；
（8）对顶角相等．
解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等． 假命题．
（2）若一个数是偶数，则它能被2整除． 真命题．
（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称． 真命题．
（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等． 假命题．
（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分． 真命题．
（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．
（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数． 真命题.
（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等． 真命题．
选填②
C．四种命题的概念
例 把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
（1）当时，；
（2）对顶角相等；
（3）等底等高的两三角形全等；
（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．
解：（1）原命题：若，则． 逆命题：若，则．
否命题：若，则． 逆否命题：若，则．
（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.
否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．
（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等．
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．
否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．
点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．
D．四种命题之间的关系
例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
（1）垂直于平面内无数条直线的直线垂直于平面；
（2）若，则方程有实根；
（3）若，则；
（4）菱形对角线垂直且相等．
解：（1）原命题：若直线垂直于平面内无数条直线，则直线垂直于平面． 假命题.
逆命题：若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内无数条直线． 真命题.
否命题：若直线不垂直于平面内无数条直线，则直线不垂直于平面． 真命题．
逆否命题：若直线不垂直于平面，则直线不垂直于平面内无数条直线． 假命题．
（2）逆命题： 若方程有实根，则． 假命题．
否命题：若，则方程无实根． 假命题．
逆否命题：若方程无实根，则． 假命题．
（3）逆命题：若，则． 真命题．
否命题：若，则中至少有一个不为0． 真命题．
逆否命题：若中至少有一个不为0，则． 真命题．
（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形． 假命题．
否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等． 假命题．
逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形． 假命题．
E．利用等价命题证明
例 证明：若，则.
分析：将“若，则”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若中至少有一个不为0，则”为真命题．
证明：若中至少有一个不为0，不妨设，则，∴，即.
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
F．充要条件的判定
例 指出下列各组命题中，是的什么条件？
（1），直线与圆相切．
（2），．
（3）设均为直线，为平面，其中，，，．
（4）设，，，．
（5）中，内角对边的长分别为，， ．
解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件．
G．由充分条件、必要条件求参数取值范围
已知条件，条件，且是的一个充分不必要条件，则的取值范围是
A． B． C． D．
解：不等式等价于即，解得，∴条件对应的取值集合．
由，得．
当，即时，解集为，这时条件对应的取值集合；
当，即时，解集为，这时；
当，即时，解集为．
∵是的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，从而条件对应的取值集合是条件对应的取值集合的真子集．
当时，，由，得解得；
当时，，显然有；
当时，，由，得解得．
综上，的取值范围是．
答案：C．
H．错解剖析
写出命题“若，，则”的否命题和逆否命题．
否命题是： ．
逆否命题是： ．
错解：否命题：已知是实数，若与，与都不相等，则．
逆否命题：已知是实数，若，则与，与都不相等．
错因分析：事件“，”的正确否定应为：①与、与不都相等；②或．
正解：否命题：已知是实数，若，中至少有一个不成立，则．
逆否命题：已知是实数，若，则，中至少有一个不成立．
M．方法规律探究
四种条件的判定方法.
（1）定义推断法：分别去判断和是否成立，然后形成结论．
（2）原、逆命题推断法：
原真逆假条件为：充分不必要； 原假逆真条件为：必要不充分；
原真逆真条件条件为：充要； 原假逆假条件为：不充分不必要.
（3）逆否命题判别法：判断命题的真假，改为判断其逆否命题的真假．
（4）集合推断法：具体内容见前面．
（5）传递法：即，得．
课堂练习
一、选择题
1．下列语句不是命题的有
①；
②与一条直线相交的两直线平行吗？
③；
④．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题．
答案：C．
2．若是两个集合，则下列命题中的真命题是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
答案：A．
3．有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“若，则”的逆否命题；
③“若，则”的否命题；
④“若是无理数，则是无理数”的逆命题；
其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解：①逆命题为：互为相反数，则． 真命题．
②逆否命题为：若，则． 假命题．
③否命题为：若，则． 假命题（∵，）．
④逆命题为：若是无理数，则是无理数． 假命题（∵，时，不是无理数）．
答案：B．
二、判断题
4．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
（1）等边三角形的三个内角相等；
（2）当时，函数的值随值的增加而增加．
解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．
（2）当时，若的值增加，则函数的值也增加，真命题．
5．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假.
（1）矩形的对角线相等；
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
（4）实数的平方是非负数．
解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．
（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．
（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．
（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．
6.给出以下命题，判断是的什么条件？
（1），；（2）且，；（3）正方形，菱形；（4），．
解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．
二、解答题
7．把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．
（1）；
（2）当时，无实根．
解：（1）若，则． 否命题：若，则． 逆否命题：若，则．
（2）若，则方程无实根． 否命题：若，则方程有实根．
逆否命题：若方程有实根，则．
8．有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“若，则”的逆否命题；
③“若，则”的否命题；
④“若是无理数，则是无理数”的逆命题；
其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解：①逆命题为：互为相反数，则． 真命题．
②逆否命题为：若，则． 假命题．
③否命题为：若，则． 假命题（∵，）．
④逆命题为：若是无理数，则是无理数． 假命题（∵，时，不是无理数）．
答案：B．
9．写出下列命题“若且，则”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若，则且． 假命题．
否命题：若或，则． 假命题．
逆否命题：若，则或． 真命题．
10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．
分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．
证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
11．证明：若，则．
分析：将“若，则”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若，则”为真命题．
证明：若，则，∴，
即．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.
12．已知奇函数是定义在上的增函数，，若，求证：．
分析：将“若，则”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若，则”为真命题．
证明：“若，.∵为上的增函数，∴，又知为奇函数，∴，即．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．