第一轮复习命题及其关系充分条件与必要条件.doc

命题及其关系、充分条件与必要条件
考点与要求
1．了解命题的概念．
2．了解“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
知识与方法梳理
一、基础知识
A．命题
1．命题
可以判断 真假 的陈述句，叫做命题．
注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．
（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．
例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③；④若，，则．
以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当时，为真；当时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．
2．假命题、真命题
真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．
假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．
注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）
（1）开句、命题函数
形如“”、“”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．
开句常记作、，其中变元是在一定范围里变化.当取某个个体时，开句就变成了命题（与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“”而言，当时，为真；当时，为假．
（2）开句的取真集
对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“”而言，“”时为真，“”时为假.使开句取真的的范围叫做的取真集，记作．对开句来说，取真集为．
解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．
（3）将命题函数变成命题
命题函数变成命题的方法有两个．
方法一：将命题函数中的用特殊个体代入，从而得到对特殊个体进行判断的命题，这种命题叫做单称命题．
例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．
再如，命题函数，对赋值，可得到命题和，即，和．
当然是真命题，是假命题．
方法二：利用量词来限制个体的范围
例如：命题函数，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数都有”或“有实数使” ．
前者是假命题，后者是真命题．
3．命题的形式
若，则．
其中叫做命题的条件（或题设），叫命题的结论．
注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．
B．四种命题及其关系
1．四种命题及其关系
（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
（2）设原命题为：“若，则”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：
逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若，则”．
否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若，则”．
逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若，则”．
延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）
当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．
当命题的条件和结论不只是一个简单命题时将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“：垂直于弦”、“：过圆心”；结论也有两个：“：平分这条弦”、“：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：，该命题的所有偏逆命题有：
：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；
：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；
：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；
：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．
2．四种命题的真假关系
（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．
（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．
具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．
具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．
（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．
注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．
（4）不等价关系：两命题的真假性 没有关系 ． 互逆命题 、 互否命题 不等价．
C．充分条件与必要条件
记命题“若，则”为“”，若命题“若，则”为真，则进一步记作“”，为假时，则记作．
1．基本概念
（1）若，则称是的充分条件，是的必要条件．
（2）若，且，则称是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．
（3）若，且，则称是的充要条件，这时，也是的充要条件．
（4）若，且，则称是的不充分不必要条件，这时，也是的不充分不必要条件．
注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．
（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．
2．对“充分条件”与“必要条件”的理解
（1）从定义本身去理解
充分条件：要使结论成立，只要具备条件就足够了．

事实上，式子已经表明，条件成立时，结论一定成立，就是说，要使结论成立，只要具备条件就足够了．
必要条件：当条件成立时，结论不一定成立，但条件不成立时，结论一定不成立.
依题意，条件为、结论为．
一方面，虽然命题“”为真，但其逆命题“”却未必为真，因此，当条件成立时，结论不一定成立．
另一方面，命题“”为真，从而其逆否命题“”也真，即，据此可知，条件不成立时，结论一定不成立．

①

②

③

④
（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”

视“开关的闭合”为条件，“灯泡亮”为结论，则
图①中，条件是结论的 条件． 充分不必要条件（）
图②中，条件是结论的 条件． 必要不充分条件（）
图③中，条件是结论的 条件． 充要条件（）
图④中，条件是结论的 条件． 不充分不必要条件（）
（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”
设条件对应集合，条件对应集合，即，．
①若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件．
事实上，若有，∵，可得，即，∴是的充分条件．
若有，∵，可得，且，∴是的充分不必要条件．
②若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件．
事实上，若有，∵，可得，即，∴是的必要条件．
若有，∵，可得，且，∴是的必要不充分条件．
③若，则与互为充要条件．
事实上，若有，∵，可得，即，若有，∵，可得，即，∴、互为充要条件．
④若且，则是的既不充分条件也不必要条件．
事实上，若有，∵，可得，即，同理，是的既不充分也不必要条件．
二、基本思想方法
等价转化的思想
示例 已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：由得，．由得，．
∵，∴．
结合数轴有 解得．
点评与警示：本题利用等价转化思想，把转化为，进一步转化为是的子集，然后利用数轴列出不等关系．
题型示例
A．命题的判断、命题的真假判断
例 判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的真子集； 命题；假命题．
（2）三角函数是单调函数吗？ 疑问句，不是命题．
（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 命题；假命题．
（4）； 开句，不是命题．
（5）若，则； 命题；真命题（∵二次三项式的判别式，在条件下，始终有）．
（6）若整数是素数，则是奇数；命题；假命题（∵时，由条件推不出结论）．
（7）． 命题；假命题．
点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．
B．命题的形式
例 把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
（1）周长相等的两个三角形面积相等；
（2）偶数能被2整除；
（3）奇函数的图象关于原点对称；
（4）同弧所对的圆周角不相等；
（5）菱形对角线互相平分；
（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（7）负数的立方是负数；
（8）对顶角相等．
解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等． 假命题．
（2）若一个数是偶数，则它能被2整除． 真命题．
（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称． 真命题．
（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等． 假命题．
（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分． 真命题．
（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．
（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数． 真命题.
（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等． 真命题．
选填②
C．四种命题的概念
例 把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
（1）当时，；
（2）对顶角相等；
（3）等底等高的两三角形全等；
（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．
解：（1）原命题：若，则． 逆命题：若，则．
否命题：若，则． 逆否命题：若，则．
（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.
否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．
（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等则这两个三角形全等．
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．
否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．
点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．
D．四种命题之间的关系
例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
（1）垂直于平面内无数条直线的直线垂直于平面；
（2）若，则方程有实根；
（3）若，则；
（4）菱形对角线垂直且相等．
解：（1）原命题：若直线垂直于平面内无数条直线，则直线垂直于平面． 假命题.
逆命题：若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内无数条直线． 真命题.
否命题：若直线不垂直于平面内无数条直线，则直线不垂直于平面． 真命题．
逆否命题：若直线不垂直于平面，则直线不垂直于平面内无数条直线． 假命题．
（2）逆命题： 若方程有实根，则． 假命题．
否命题：若，则方程无实根． 假命题．
逆否命题：若方程无实根，则． 假命题．
（3）逆命题：若，则． 真命题．
否命题：若，则中至少有一个不为0． 真命题．
逆否命题：若中至少有一个不为0，则． 真命题．
（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形． 假命题．
否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等． 假命题．
逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形． 假命题．
E．利用等价命题证明
例 证明：若，则.
分析：将“若，则”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若中至少有一个不为0，则”为真命题．
证明：若中至少有一个不为0，不妨设，则，∴，即.
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
F．充要条件的判定
例 指出下列各组命题中，是的什么条件？
（1），直线与圆相切．
（2），．
（3）设均为直线，为平面，其中，，，．
（4）设，，，．
（5）中，内角对边的长分别为，， ．
解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件．
G．由充分条件、必要条件求参数取值范围
已知条件，条件，且是的一个充分不必要条件，则的取值范围是
A． B． C． D．
解：不等式等价于即，解得，∴条件对应的取值集合．
由，得．
当，即时，解集为，这时条件对应的取值集合；
当，即时，解集为，这时；
当，即时，解集为．
∵是的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，从而条件对应的取值集合是条件对应的取值集合的真子集．
当时，，由，得解得；
当时，，显然有；
当时，，由，得解得．
综上，的取值范围是．
答案：C．
H．错解剖析
写出命题“若，，则”的否命题和逆否命题．
否命题是： ．
逆否命题是： ．
错解：否命题：已知是实数，若与，与都不相等，则．
逆否命题：已知是实数，若，则与，与都不相等．
错因分析：事件“，”的正确否定应为：①与、与不都相等；②或．
正解：否命题：已知是实数，若，中至少有一个不成立，则．
逆否命题：已知是实数，若，则，中至少有一个不成立．
M．方法规律探究
四种条件的判定方法.
（1）定义推断法：分别去判断和是否成立，然后形成结论．
（2）原、逆命题推断法：
原真逆假条件为：充分不必要； 原假逆真条件为：必要不充分；
原真逆真条件条件为：充要； 原假逆假条件为：不充分不必要.
（3）逆否命题判别法：判断命题的真假，改为判断其逆否命题的真假．
（4）集合推断法：具体内容见前面．
（5）传递法：即，得．
课堂练习
一、选择题
1．下列语句不是命题的有
①；
②与一条直线相交的两直线平行吗？
③；
④．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题．
答案：C．
2．若是两个集合，则下列命题中的真命题是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
答案：A．
3．有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“若，则”的逆否命题；
③“若，则”的否命题；
④“若是无理数，则是无理数”的逆命题；
其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解：①逆命题为：互为相反数，则． 真命题．
②逆否命题为：若，则． 假命题．
③否命题为：若，则． 假命题（∵，）．
④逆命题为：若是无理数，则是无理数． 假命题（∵，时，不是无理数）．
答案：B．
二、判断题
4．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
（1）等边三角形的三个内角相等；
（2）当时，函数的值随值的增加而增加．
解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．
（2）当时，若的值增加，则函数的值也增加，真命题．
5．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假
（1）矩形的对角线相等；
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
（4）实数的平方是非负数．
解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．
（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．
（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．
（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．
6.给出以下命题，判断是的什么条件？
（1），；（2）且，；（3）正方形，菱形；（4），．
解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．
二、解答题
7．把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．
（1）；
（2）当时，无实根．
解：（1）若，则． 否命题：若，则． 逆否命题：若，则．
（2）若，则方程无实根． 否命题：若，则方程有实根．
逆否命题：若方程有实根，则．
8．有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“若，则”的逆否命题；
③“若，则”的否命题；
④“若是无理数，则是无理数”的逆命题；
其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解：①逆命题为：互为相反数，则． 真命题．
②逆否命题为：若，则． 假命题．
③否命题为：若，则． 假命题（∵，）．
④逆命题为：若是无理数，则是无理数． 假命题（∵，时，不是无理数）．
答案：B．
9．写出下列命题“若且，则”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若，则且． 假命题．
否命题：若或，则． 假命题．
逆否命题：若，则或． 真命题．
10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．
分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．
证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
11．证明：若，则．
分析：将“若，则”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若，则”为真命题．
证明：若，则，∴，
即．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.
12．已知奇函数是定义在上的增函数，，若，求证：．
分析：将“若，则”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若，则”为真命题．
证明：“若，.∵为上的增函数，∴，又知为奇函数，∴，即．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．