高数函数的极值与最大最小值.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,二、,最大值与最小值问题,一、,函数极值及其求法,第五节,函数极值与,最大值最小值,第,三,章,第1页,定义:,在其中当,时,(1),则称 为,极大值点,称 为函数,极大值,;,(2),则称 为,极小值点,称 为函数,极小值,.,极大值点与极小值点统称为,极值点,.,一、,函数极值及其求法,第2页,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在,导数为,0,或,不存在点,.,1)函数极值是函数,局部性质,.,比如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,第3页,定理 1,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(1),“左,正,右,负,”,(2),“左,负,右,正,”,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,第4页,例1.,求函数,极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,第5页,定理2,(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:,(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,第6页,例2.,求函数,极值.,解:,1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,第7页,定理3,(判别法推广),则:,数,且,1)当,为偶数,时,是极小点;,是极大点.,2)当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分靠近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,利用 在 点泰勒公式,可得,第8页,比如,例2中,所以,不是极值点.,极值判别法(定理1,定理3),都是充分.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,比如:,为极大值,但不满足定理1,定理3 条件.,第9页,二、,最大值与最小值问题,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处到达.,求函数最值方法:,(1),求 在 内极值可疑点,(2),最大值,最小值,第10页,尤其:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处到达.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可依据,实际意义,判别求出可疑点,是否为最大 值点或最小值点.,(小),第11页,例3.,求函数,在闭区间,上最大值和最小值.,解:,显然,且,故函数在,取最小值 0;,在,及,取最大值 5.,第12页,所以也可经过,例3.,求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,因为,令,(自己练习),在闭区间,上最大值和最小值.,第13页,(,k,为某常数),例4.,铁路上,AB,段距离为100 km,工厂,C,距,A,处20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从,B,运到工,20,解:,设,则,令,得,又,所以 为唯一,极小值点,故,AD,=15 km 时运费最省.,总运费,厂,C,运费最省,从而为最小值点,问,D,点应怎样取?,km,公路,价之比为3,:,5,第14页,例5.,把一根直径为,d,圆木锯成矩形梁,问矩形截面,高,h,和,b,应怎样选择才能使梁抗弯截面模量最大?,解,:,由力学分析知矩形梁抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好选择.,第15页,用开始移动,例6.,设有质量为 5 kg,物体置于水平面上,受力,F,作,解:,克服摩擦水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,最大值问题.,设摩擦系数,问力,F,与水平面夹角,为多少时才可使力,F,大小最小?,第16页,令,解得,而,因而,F,取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,最大值问题.,第17页,清楚(视角,最大)?,观察者眼睛1.8,m,例7.,一张 1.4 m 高图片挂在墙上,它底边高于,解:,设观察者与墙距离为,x,m,则,令,得驻点,依据问题实际意义,观察者最正确站位存在,唯一,驻点又,所以观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,第18页,存在一个取得最大利润生产水平?假如存在,找出它来.,售出该产品,x,千件收入是,例8.,设某工厂生产某产品,x,千件成本是,解:,售出,x,千件,产品利润为,问是否,故在,x,2,=3.414,千件,处到达最大利润,而在,x,1,=0.586,千件,处发生局部最大亏损.,第19页,说明,：,在经济学中,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见,在给出最大,利润生产水平上,即边际收入边际成本,（见右图）,成本函数,收入函数,即,收益最大,亏损最大,第20页,内容小结,1.连续函数极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在点,(2)第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3)第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,(4)判别法推广,定理3,定理3,第21页,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可依据问题实际意义判别.,思索与练习,2.连续函数最值,1.,设,则在点,a,处().,导数存在,取得极大值;,取得极小值;,导数不存在.,B,提醒:,利用极限保号性,第22页,2.,设,在,某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,)不可导;,(,B,)可导,且,(C)取得极大值;,(,D,)取得极小值.,D,提醒:,利用极限保号性.,第23页,3.,设,是方程,一个解,若,且,则,在,(,A,)取得极大值;,(,B,)取得极小值;,(,C,)在某邻域内单调增加;,(,D,)在某邻域内单调降低.,提醒:,A,第24页,作业,P162 1,(5),(9);,2;3;5 ;,10;14;15,第六节,第25页,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小.,解:,由题意应有,又,备用题,1.,求出该极值,并指出它是极大,即,第26页,试求,解:,2.,故所求最大值为,第六节,第27页,