循环群,子群.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,In our classes,all the mobile phones should be switched off!,上课啦！,The class is begin!,二、群中元素的阶,前面已介绍了群的阶：,|,G,|=,G,中所含元素的个数。下面利用单位元,e,，引入另一个新概念。,1,阶的定义与计算,（,1,）定义,设,G,为群，而,a,G,.,如果有整数,k,，使,a,k,=e,，那么使这个等式成立的最小正整数,m,叫做,G,的阶,，记为,|a|=m,.,如果这样的,m,不存在，则称,a,的阶是无限的，记为,|a|=+,。,（,2,）阶的计算方法,按照定义寻找使成立的最小正整数。,例,1,乘法群,Z,5,*=,1,2,3,4,中，,1,是单位元，显然,|1|=1,，而,2,12,=2,8,=2,4,=1,，,|2|=4,同理知,|3|=4,|4|=2,。,例,2,加法群,=,0,1,2,3,4,中，,0,是单位元，,例,3,加法群,中，,0,是单位元。,|0|=1,，而其它元素,a,|a,|=+,。,例,4,乘法群,中，,1,是单位元，,|1|=1,|-1|=2,，而其它元素的阶都是无限。,说明,加法群,中，元素的阶的定义自然需做相应的变化：,设,a,G,，能够使,ma=,0,的最小正整数,m,叫做,a,的阶，若这样的,m,不存在，则称,a,的阶是无限的，,a,的阶仍记为,|a|,。,例,5,设,G=,0,1,2,是由,x,3,=,1,的三个复根组成的集合，而,G,中的代数运算“,”是通常的乘法，那么,必为一个乘法群。习惯上记为,G,3,，叫做,3,次单位根群。这里,证,事实上,（,1,）,（,2,）结合律显然成立（因为复数集,C,中满足结合律）,.,（,3,）,0,=1,是,G,中的单位元,.,（,4,）,0,的逆元是,0,，,1,与,2,互为逆元,.,所以,为一个乘法群。不仅如此，我们还知：,例,6,在非零有理数乘群,Q*,中，,1,的阶是,1,，,-l,的阶是,2,，其余元素的阶均无限,例,7,在,4,次单位根群,G,=1,-1,i,-,i,中,1,的阶是,l,，,-l,的阶是,2,，,i,与,-i,的阶都是,4,2,群中元素的阶的性质,性质,1,设,G,是群，那么,a,G,，若存在,m,Z,+,，使,a,m,=e,|a|,m,（可知,a,的阶是有限的）。,证明,由于,a,m,=e,，这本身说明,|a|,m,，则与元素的阶的定义矛盾，故知,k,m,。,性质,2,设,a,G,且若存在,m,Z,+,使,a,m,=e,|a|=n,+,且,n|m,(,但不能保证,n=m,),。,证明,由整数的带余除法知,g,r,Z,使,m=,ng+r,r=,0,或者,0,r,n,.,如果,r,0,那么,e=a,m,=,a,ng+r,=,a,ng,a,r,=,(,a,n,),g,a,r,=(,e,),g,a,r,=,a,r,矛盾（,r,n,）,；,r=,0,m=,ng,n|m,.,性质,3,设,a,G,且,|a|=n,那么,n|m,a,m,=e,.,证明,“,”,正是性质,2.,“,”,性质,4,设群,G,中元素,a,的阶是,m,则,|,a,k,|=,m,/(,m,k,),其中,k,为任意整数,证明,首先，设,(,k,m,),=d,，且,m=dm,1,k=dk,1,(,m,1,k,1,)=1,则由于,|a|=m,就有,即,其次,设,(,a,k,),n,=e,则,a,kn,=e,.,于是由性质,1,m|kn,，从而,m,1,|k,1,n,但,(,m,1,k,1,),=,1,故,m,1,|n,因此,a,k,的阶是,m,1,所以,|,a,k,|=,m,1,=,m,/(,k,m,),.,说明,若有,m,n,的约数,h,使,m,n,=,hk,，则可得,|c,k,|=h,，于是结论（,3,）又可以改为：,对,m,n,的任一正因数,h,G,中有阶是,h,的元素。,性质,9,群的元素和它的逆元有相同的阶,.,证明,设群,G,的元素,a,与,a,-1,的阶分别为,m,n,，,由于,a,m,=e,，于是,(,a,-1,),m,=,(,a,m,),-1,=e,-1,=,e,，,由性质,l,，,n|m,，而,a,n,=(,a,-1,),-1,n,=,(,a,-1,),n,-1,=e,-1,=,e,，,于是,m|n,，因此，,m=n,。,性质,10,设群,G,中元素,a,的阶是,m,，,b,的阶是,n,则当,ab,=,ba,且,(,m,n,)=1,时,|,ab,|=m,。,证明,首先，由于,|a|=,m,|b,|=,n,ab,=,ba,则,(,ab,),mn,=,(,a,m,),n,(,b,n,),m,=e,;,其次,若有正整数,s,使得,(,ab,),s,=,e,则,(,ab,),sm,=,(,a,m,),s,b,sm,=,b,sm,=e,但,|b|=n,则,n|sm,.,又因为,(,m,n,)=1,所以,n|s,.,同理可得,m|s,再根据,(,m,n,)=1,故,mn|s,从而,|,ab,|=,mn,.,说明,值得注意的是,:,当元素,a,与,b,不满足定理中的假设条件时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据,a,b,的阶来作出判断。,第十一讲 循环群、子群,课时安排,约,2,课时,教学内容,1,循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（,i,）数量总数，,(ii),构造问题，（,iii,）循环群的生成元；,2,子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的子群的方法；,3,循环群的阶与生成元的阶的关系；,4,两类循环群的本质区别及各自的同构象；,5,循环群中元素之间的联系和性质；,6,子群的构成判断和彼此等价的判断条件；,7,有限群的判断定理；,8,子群（集）的乘积和生成子群的概念；,9,循环群的子群所具有的特性。,教学重点,1,G=,的定义，利用,G=,(,a,),的定义，证明有关的定理和命题；,2,子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件；,3,循环群的结构定理、循环群的子群的性质；子群之积的性质。,教学难点,1,G=,(,a,),的构选问题，利用,G=,(,a,),的定义证明,若,a,为无限阶的，则,（,a,）,Z,+,；,若,a,的阶为,n,，则,（,a,）,Z,n,，,+,；,2,作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法；,3,循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循环群的子群的性质和子群的生成元问题。,4,循环群的子群的性质；子群之积的性质。,教学要求,1,理解循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（,i,）数量总数，,(ii),构造问题，（,iii,）循环群的生成元；,2,理解子群包括三层意思，理解子群的判定方法和构造群的子群的方法；,3,掌握循环群的阶与生成元的阶的关系；,4,掌握两类循环群的本质区别及各自的同构象；,5,掌握循环群中元素之间的联系和性质。,6,掌握有限群的判断定理；,7,理解子群（集）的乘积和生成子群的概念；,8,掌握循环群的子群所具有的特性。,教学手段与方法,1,手段,：黑板板书与多媒体演示相结合；,2,方法,：讲授为主，互动为辅，两者相结合。,一、循环群,研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。当我们对一个群,“,孤立地,”,去研究时，掌握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可以完全刻划清楚的。,本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会,“,循环群已经完全弄清楚了,”,的含义。先看下面的例子,.,例,1,整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事实上，是的零倍：,；正数是的的倍：，负数是的倍,:,。,上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素，使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法群，所以用倍数,.,如果是乘法群，则应是方幂）。于是，下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。,1,循环群的概念,设是一个,(,乘法,),群,而中有一个元素，使中每个元素都的乘方,.,即,.,那么称为,循环群,.,叫做的,生成元,，习惯上,记为,.,也就是说，,是由生成元生成的。,我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：,定理,2,设是由生成元生成的循环群。如果，那么,.,如果，那么。,证明,(1),当时，作,.,由上述的对应关系易知,是双射,.,而,（,2,）当时，作,，由上述对应关系也易知,是双射,.,而且,.,即,.,注意,用代数同构观点，循环群只有两个：一个是整数加群；一个是模的剩余类加群。,3,循环群的生成元,（,1,）无限循环群的生成元,当时，自然是的生成元，但除了外,其实也是的生成元。即无限循环群中只有两个不同的生成元和。,证明,因为,思考,1,除和之外，,还有其它生成元吗？,解,没有。否则，如果也是一个生成元，于是必有,.,思考,2,求整数加群,Z,的所有生成元 和元素的阶。,解,有且仅有两个元,1,和,-1,可以作为整数加群,Z,的生成元,且在,Z,中除零元外,每个元的阶都是无限的。,（,2,）有限循环群的生成元,当时，有是的生成元。,证明,若是的生成元，则，而，所以；反之，若，而，即有，但由知，不同的恰有,n,个，所以。,思考,3,当,.,除了自然是的生成元之外，还有其余生成元吗？,解,为了讨论的方便，现假设,.,这时，,，,可以验证也是的生成元,:,.,这说明也能生成，即,:.,最后可断言：上例中的生成元只有和。,那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为，同时例中也验证了,.,这就是说，中也含有个元素,.,与的一样多,.,也是生成元，而其他元素的阶都不是，所以它们都不能成为生成元。,（,3,）寻找循环群的其他生成元的方法,上思考题告诫我们，,寻找循环群的其他生成元的关键问题是要确定其阶数,。,于是元素的阶数问题自然很重要了,.,（,4,）循环群的一个性质,循环群一定是交换群。,4,循环群中元素的阶的性质,对于无限循环群，我们自然清楚其中每个元素的阶都必是无限的（否则，便成为有限循环群了）。下面主要讨论阶循环群 中的元素的阶的问题。,性质,1,设是阶循环群中任一个元，若,.,那么。,证明,因为是与的最大公因数。并且有这里并且知,(,互质,),。,首先,.,若设 其次，这说明，但,.,由和知,.,即,.,由性质,1,知，若时，这时就是的生成元，所以有,由性质,1,知，若时，这时就是的生成元，所以有,性质,2,在阶循环群中，是生成元。,证明,设,.“”,，若是生成元,.,但由性质,1.,“”,也是生成元。,2,循环群的结构定理,定理,1,设是一个群，而是的生成元，那么的阶与的阶一致，即。,证明,事实上，,（,1,）,当的阶是无限时，这说明任一个整数,(,除了,),都不会有,.,于是我们有，当时，,，,设，而恰有。不妨设,.,那么，这说明,与矛盾。所以只要。,所以只要。,(2),当的阶是有限时，乘方“”就不可能无限“泛滥”，由钟表记算法知，“”就只能限制在一定范围内，我们有，当时，,，,其中：,.,首先,若时,。,若而,这与矛盾,.,由此知道,:,是两两不等的,.,其次,都是中某个元素,:,事实上,如果,自然在之中；如果由帯余除法知,.,于是,.,在之中。,如果，由帯余除法同理在之中。,例,3,设阶循环群，求中的每个元素的阶和的全部生成元。,解,因为,，,的全部生成元有二个：和,.,说明,定义在自然数集上的函数叫做欧拉函数。其中表示不超过且与互素的自然数个数。例如：,性质,3,（生成元个数定理）,任一个阶循环群都有个生成元。,证明,由性质,2,知，在阶循环群中，是生成元，于是有这样一个存在，就有一个生成元，再由的定义知，阶循环群共有个生成元。,5,循环群的元素的性质,性质,1,设是循环群，那么,（,1,）,若，则；,（,2,）,若，则；,证明,（,1,）“”显然成立；“”如果，不妨设，由，,因与矛盾,.,。,（,2,）由元素的阶的性质知。,性质,2,设是阶循环群，那么,（,1,）若为素数，则中每个非单位元都是的生成元。,（,2,）若为合数，只要，则中必有阶元。,证明,由元素的阶的性质和性质,1,直接可得。,性质,3,在模的剩余类中,有,(1);,(2),是的生成元,()=1,。,证明,(1),由,k=k1,和元素的阶的性质可得；,(2),若且,()=1,，则。再由,(1),与,()=1,知,所以,.,反之,设,是的生成元,有所以,，由,(1),知,()=1,。,此定理说明,时,。,