概率论与数理统计(浙江大学).ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计 （,54,学时）,开课系：信管系,教师：张艳娥,Email:zhyane,概率论与数理统计,是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，,是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到,一,些,现象,：,确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有,统计规律性,的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出,不确定性,；,概率论与数理统计,在,经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,课程简介,概率论与数理统计,已成为高等理、工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。,通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。,退 出,目 录,前一页,后一页,课程简介,课程主要内容,：,概率论的基本概念,随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,随机变量的数字特征,大数定律及中心极限定理,样本及抽样分布,参数估计,假设检验,1,随机试验,2,样本空间，随机事件,3,频率与概率,4,等可能概型（古典概率）,5,条件概率,6,独立性,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。,第一章 概率论的基本概念,1,、随 机 试 验,（,E,xperiment,）,1,随机,试验,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,E,1,：,抛一枚硬币两次，观察正面,H,（,Heads,）、,反面,T,（,Tails,）,出现的情况。,E,2,：,抛一颗骰子，观察出现的点数。,E,3,：,观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E,4,：,观察某一电子元件（如灯泡,的寿命。,其典型的例子有,E,5,：,观察某城市居民（以户为单位,烟酒年支出,。,这些试验具有以下特点：,第一章 概率论的基本概念,3.,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,2.,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确,试验的所有可能结果；,1.,可以在相同的条件下重复进行；,我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为,E,退 出,前一页,后一页,目 录,一 样本空间,二 随机事件,三 事件间的关系与运算,2,样本空间，随机事件,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,2,样本空间随机事件,一,样本空间,(,S,pace),定义,将随机试验,E,的所有可能结果组成的集合,称为,E,的,样本空间,，记为,S,。,样本空间的,元素，即,E,的每个结果，称为,样本点,。,（也叫基本事件,E,1：,S,1,H H,HT，TH，TT,E,2,：S,2,1,2,3,4,5,6,E,3：,S,3,0,1,2,3,E,4：,S,4,t|t,0,E,5：,S,5,(x,y)|M,0,x,y M,1,第一章 概率论的基本概念,要求：会写出随机试验的 样本空间,。,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E,4,：,如果试验是,测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S,4：,=,t,：,t,0,故样本空间,2,样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E,5,：,调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（,x,，,y,）,表示，,x,，,y,分别是烟、酒年支出的元数,.,也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档,.,这时，,样本点有（高,高）,（高,中），,，,(,低,低）等,9,种，样本空间就由这,9,个样本点构成,.,这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成,.,随机事件,:,称试验,E,的样本空间,S,的子集为,E,的 随机事件，记作,A,B,C,等等；,基本事件,:,有一个样本点组成的单点集；,必然事件,:,样本空间,S,本身；,不可能事件,:,空集,。,二,随 机 事 件,我们称一个,随机事件发生,当且仅当,它所包,含的一个样本点,在试验中,出现。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中，,“,掷出点数小于,7,”,是必然事件,;,即在试验中必定发生的事件，即样本空间,常用,S,或,表示,;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，,常用,表示,.,而“,掷出点数,8,”,则是不可能事件,.,退 出,前一页,后一页,目 录,事件,基本事件,复合事件,（,相对于观察目的,不 可再分解的事件,）,（两个或一些基本事件并在一起，就 构成一个复合事件）,事件,B,=,掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,.,事件,A,i,=,掷出,i,点,i,=1,2,3,4,5,6,例如：,S,2,中,第一章 概率论的基本概念,事件,A=,2,4,6,表示“出现偶数点,”,;,事件,B=,1,2,3,4,表示“出现的点数不超过,4,”,.,显然它们都是样本空间的子集,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,1),包含关系,三、事件间的关系与运算,S,A,B,第一章 概率论的基本概念,如果,A,发生必导致,B,发生，则,2,）相等关系,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,S,A,B,3),和（并）事件,第一章 概率论的基本概念,事件 发生当且仅当,A,B,至少发生一个,.,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,4),积（交）事件,S,A,B,事件 发生当且仅当,A,B,同时发生,.,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,考察下列事件间的包含关系：,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,5),差事件,S,A,B,第一章 概率论的基本概念,A,S,A,B,发生当且仅当,A,发生,B,不发生,.,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,6),互不相容（互斥）,7),对立事件（逆事件）,S,A,第一章 概率论的基本概念,S,B,A,请,注意互不相容与对立事件的区别！,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,互斥与互逆的区别：,两事件,A,、,B,互斥：,两事件,A,、,B,互逆或互为对立事件,即,A,与,B,不可能同时发生,.,除要求,A,、,B,互斥,(),外,，,还要求,A+B=S,退 出,前一页,后一页,目 录,n,个事件互斥与 两两互斥：,若,n,个事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,中任意两个事件都互斥,则称这,n,个事件互斥,.,所以，若,n,个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥,.,退 出,前一页,后一页,目 录,对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么,.,也就是说，要正确无误地,“,互译,”,出来,.,退 出,前一页,后一页,目 录,例,1,：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况,.,记,A,=,两件产品都是合格品,，,若记,B,i,=,取出的第,i,件是合格品,，,i,=1,2,=,两件产品中至少有一个是不合格品,A=B,1,B,2,问如何用,B,i,表示,A,和？,A,3,A,4,A,3,A,4,如图,(1),、,(2),两个系统中令,A,i,表示第,i,个元件,工作正常”,Bi,表示“第,i,个系统工作正常”,.,试用,A,1,A,2,A,3,A,4,表示,B,1,B,2,.,解,:,(1),B,1,=,A,1,A,2,A,3,A,4,(2),B,2,=(,A,1,A,3,)(,A,2,A,4,),EX,2,(1),A,1,A,2,(2),A,1,A,2,第一章 概率论的基本概念,例,2,，,在,S,4,中,事件,A,=t|t,1000,表示,“,产品是次品,”,事件,B,=t|t,1000,表示,“,产品是合格品,”,事件,C,=t|t,1500,表示,“,产品是一级品,”,则,表示,“,产品是合格品但不是一级品,”,;,表示,“,产品是是一级品,”,;,表示,“,产品是合格品”,.,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,8),随机事件的运算规律,幂等律,:,交换律,:,第一章 概率论的基本概念,结合律,:,分配律,:,De Morgan,（德,摩根）定律,:,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,补充常用的关系及习题,1.,甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设,A,甲中,，,B,乙中,，问 各表示什么事件,?,是否是相等事件？,2.,一射手向目标射击,3,发子弹，,A,i,表示第次射击打中目标（,i,1,，,2,，,3,。,试用,A,1,，,A,2,，,A,3,及其运算表示下列事件,（,1,三发子弹都打中目标,B,（,2,第一发子弹打中目标而第二，第三发,子弹都未打中,C,（,3,三发子弹恰有一发打中目标,D,（,4,三发子弹至少一发打中目标,E,（,5,三发子弹至多一发打中目标,F,解,:,BA,1,A,2,A,3,C=,A,1,A,2,A,3,A,1(,A,2,A,3),A,1,2,3,DA,1,A,2,A,3,=,S,-,1,2,3,=,=,A,1,1,A,2,1,2,A,3,E,=,A,1,2,3,1,A,2,3,1,2,A,3,G=,A,1,A,2,A,3,1,A,2,A,3,A,1,2,A,3,A,1,A,2,3,=,A,1,A,2,A,2,A,3,A,1,A,3,F,=,1,2,1,3,2,3,=,A,1,2,3,1,A,2,3,1,2,A,3,1,2,3,第一章 概率论的基本概念,练习,P29,：,设,A,B,C,为三个随机事件，用,A,B,C,的运 算关系表示下列各事件,.,（,1,）,A,发生,.,(2),A,发生，,B,与,C,都不发生,.,(3),A,B,C,都发生,.,(4),A,，,B,C,至少有一个发生,.,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,(5),A,，,B,C,都不发生,.,(6),A,，,B,C,不多于一个发生,.,(7),A,，,B,C,不多于两个发生,.,(8),A,，,B,C,至少有两个发生,.,退 出,前一页,后一页,目 录,2,样本空间随机事件,3,频 率 与 概 率,一 频率的定义和性质,定义,:,在相同的条件下，进行了,n,次试验，在这,n,次试验中，事件,A,发生的次数,n,A,称为,事件,A,发生的频数。比值,n,A,/n,称为事件,A,发生的频率，并记成,f,n,(A),。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质,:,3,频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，,一般来说,摆动越小,.,这个性质叫做频率的稳定性,.,请看下面的试验,（二）频率的稳定性,3,频 率 与 概 率,实 验 者,德,摩根,蒲 丰,K,皮尔逊,K,皮尔逊,n,n,H,f,n,(,H,),2048,4040,12000,24000,1061,2048,6019,12012,0.5181,0.5096,0.5016,0.5005,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3,频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,3,频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小,.,尽管每进行一连串（,n,次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要,n,相当大，频率与概率是会非常接近的,.,因此，,概率是可以通过频率来,“,测量,”,的,频率是概率的一个近似,.,频率,概率,3,频 率 与 概 率,频 率 稳 定 值 概率,事件发生,的频繁程度,事件发生,的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3,频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,即,通过规定概率应具备的基本性质来定义概率,.,下面介绍用公理给出的概率定义,.,1933,年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的,公理化定义,.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦,.,3,频 率 与 概 率,（三）概率的定义,定义,设,E,是随机试验，,S,是它的样本空间，对于,E,的每一个事件,A,赋予一个实数，记为,P,(,A,),称为事件,A,的概率，要求集合函数,P,(.),满足,下列条件,：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质,.,下面我们就来给出,概率的一些简单性质,.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于,文氏图,.,3,频 率 与 概 率,4,）概率的性质与推广,S,A,B,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3,频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,目 录,移项得,(6),便得,(7).,再由,由可加性,性质,3,设,、,B,是两个事件，若,则,有,(6),(7),S,A,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,因为,1=,P(S)=P(A)+P(),3,频 率 与 概 率,性质,5,在概率的计算上很有用，如果正面计算事件,A,的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算,P,(,A,),.,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,3,频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,又因,再由性质,3,便得,(8).,性质,6,对任意两个事件,A,、,B,，,有,(8),3,频 率 与 概 率,S,B,A,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3,频 率 与 概 率,性质,9,第一章 概率论的基本概念,要求：熟练掌握概率的性质。,退 出,前一页,后一页,目 录,3,频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例,1,：设,P(A)=1/3,P(B)=1/21),若事件,A,与,B,互不相容，求,P()2),若,求,P()3,若,P(AB)=1/8,求,P(),例,2,：,A,，,B,是,E,中两个事件，已知,P(A)=0.3,P(A+B)=0.6,求,P(),3,频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,1,）加法原理：,完成某件事有两类方法，第一类有,n,种，第二类有,m,种，则完成这件事共有,n,+,m,种方法。,3,）排列：,(1),有重复排列,:,在有放回选取中，从,n,个不同元素中取,r,个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,四、排列组合公式,2,）乘法原理：,完成某件事有两个步骤，第一步有,n,种方法，第二步有,m,种方法，则完成这件事共有,nm,种方法。,退 出,前一页,后一页,目 录,3,频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,4,）组合：,（,1,）从,n,个不同元素中取,r,个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（,2,）选排列：在无放回选取中，从,n,个不同元素中取,r,个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明：,如果把,n,个不同元素分成两组，一组,r,个，另一组,n,-,r,个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,（,2,）多组组合：把,n,个不同元素分成,k,组,使第 组有 个元素，若组内元素不考,虑顺序，那么不同分法有 种。,（,3,）常用组合公式：,说明：,熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的,退 出,前一页,后一页,目 录,4,等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章 概率论的基本概念,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：,样本空间的元素只有有限个；,每个基本事件发生的可能性相同。,即“有限等可能”。,一、等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为,等可能概型,，考虑到它在概,率论早期发展中的重要地位，又把它叫做,古典概型,。,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,设,S,=,e,1,e,2,e,n,由古典概型的等可能性，得,.,2,1,n,e,=,P,e,P,e,P,L,=,=,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,若事件,A,包含,k,个基本事件，即,A,=,e,1,e,2,e,k,则有：,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例,1,把一套,4,卷本的书随机地摆放在书架上，问：,恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一,个基本事件，共有放法,4,！种。,把书恰好排成序有两种放法。,所以，所求概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,例,2,（分球入盒）将,n,只球随机的放入,N,(,N,n,),个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率,(,设盒子的容量不限）。,解：,将,n,只球放入,N,个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率论的基本概念,思考：,某指定的,n,个,盒子中各有一球的概率。,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,4,等可能概型,目 录,例,3,（生日问题）,有,r,个人，设每个人的生日是,365,天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率,.,r,r,P,A,P,),365,(,),(,365,=,r,r,P,A,P,A,P,),365,(,1,),(,1,),(,365,-,=,-,=,为求,P,(,A,),先求,P,(),解：令,A,=,至少有两人同生日,=,r,个人的生日都不同,则,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,目 录,用上面的公式可以计算此事出现的概率为,=1,-,0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了,22,个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日,.,即,22,个球迷中至少有两人同生日的概率为,0.476.,退 出,前一页,后一页,4,等可能概型,目 录,表,3.1,人数 至少有两人同,生日的概率,20 0.411,21 0.444,22 0.476,23 0.507,24 0.538,30 0.706,40 0.891,50 0.970,60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在,365,天的任何一天是等可能的前提下计算出来的,.,实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大,.,当人数超过,23,时，打赌说至少有两人同生日是有利的,.,（分组问题）,例,4,：,30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：,（1）每组有一名运动员的概率；,（2）3名运动员集中在一个组的概率。,解,:,设,A,为“,每组有一名运动员,”,这一事件,;B,为“,3名运动员集中在一组,”,这一事件,。,例,*,同时掷,5,颗骰子，试求下列事件的概率：,A,=5,颗骰子不同点,；,B,=5,颗骰子恰有,2,颗同点,；,C,=5,颗骰子中有,2,颗同点，另外,3,颗,同是另一个点数,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,古典概率的常用的几种类型,：,1,抽球问题,2,分球入盒问题,3,分组问题,4,随机取数问题等,退 出,前一页,后一页,目 录,例,5,（抽球问题）,设有,10,件产品，其中有,4,件次品，从中任取,3,件，每次取一件不放回，连取三次；求下列事件的概率：,A,:,所取,3,件均为正品；,B,:3,件均为次品；,C,:3,件中恰有一件为次品；,D,:,直到第,3,次才取到正品。,解,:,.,不考虑所取,3,件的次序，可能结果为组合问题得样本空间样本点数,:,n=C,10,3,所取,3,均为正品的样本点数：,m,A,=C,6,3,所取,3,件均为次品的样本点数,:,m,B,=C,4,3,m,C,=C,3,1,C,6,2,C,4,1,m,D,=,4,3,6,=,72,则,P,(,A,)=,1,/,6,P,(,B,)=,1,/,30,，,P,(,C,)=,3,/,5,，,P,(,D,)=,1,/,10,例,6,设有,N,件产品，其中有,M,件次品，今从中任,取,n,件，问其中恰有,k,(,k,D,),件次品,的概率是多少,?,又,在,M,件次品中取,k,件，所有可能的取法有,在,N-M,件正品中取,n-k,件,所有可能的取法有,解：,在,N,件产品中抽取,n,件，取法共有,不放回抽样,1,）,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,于是所求的概率为：,此式即为,超几何分布,的概率公式。,由乘法原理知：在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,2,）有放回抽样,而在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,于是所求的概率为：,从,N,件产品中有放回地抽取,n,件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,此式即为,二项分布,的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例,7,某厂家称一批数量为,1000,件的产品的次品率,为,5%,。现从该批产品中有放回地抽取了,30,件，经,检验发现有次品,5,件，问该厂家是否谎报了次品率？,解：,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,假设这批产品的次品率为,5%,，那么,1000,件产品,中有次品为,50,件。这时有放回地抽取,30,件，次品有,5,件的概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,人们在长期的实践中总结得到,“,概率很小的事件,在一次实验中几乎是不发生的,”,（,称之为,实际推,断原理,）。现在概率很小的事件在一次实验中竟,然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例,将,n,个男生和,m,个女生,(,mn,),随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,任意两个女生都不相邻时，,首先,n,个男生的排法有,n,!,种，,每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样,m,个女生共有,n,+1,个位置可以站，,所以，,任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n,+,m,个学生随机地排成一列共有排法,(,n,+,m,)!,种,总共排法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,思考题：,如果这,n,+,m,个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，,任意两个女生都不相邻的概率是多少？,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例,8,袋中有,a,只白球，,b,只黑球从中将球取出,依次排成一列，问第,k,次取出的球是黑球的 概率,解：,设,A,=,“,第,k,次取出的球是黑球,”,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,4,等可能概型,目 录,例,9,将一颗骰子抛掷,4,次，问至少出一次“,6”,点的概率是多少？,令,事件,A,=,至少出一次“,6”,点,A,发生,出,1,次,6,点,出,2,次“,6”,点,出,3,次“,6”,点,出,4,次“,6”,点,直接计算,A,的概率较麻烦,我们先来计算,A,的对立事件,=4,次抛掷中都未出“,6”,点,的概率,.,退 出,前一页,后一页,目 录,于是,=0.518,因此,=0.482,由于将一颗骰子抛掷,4,次,共有,=1296,种等可能结果,而导致事件,=4,次抛掷中都未出“,6”,点,的结果数有,=625,种,例,10,从,1,9,这,9,个数中有放回地取出,n,个,.,试求取出的,n,个数的乘积能被,10,整除的概率,解：,A,=,取出的,n,个数的乘积能被,10,整除,；,B,=,取出的,n,个数至少有一个偶数,；,C,=,取出的,n,个数至少有一个,5,则,A,=,B,C.,第一章 概率论的基本概念,4,等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,