第3章 函数逼近与计算1-1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章 函数逼近与计算,1,引言与预备知识,1.,问题的提出,用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这,n,1,个插值节点,;,在,n,比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。,1,所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如 是一个低次多项式,不要求,通过已知的这,n,1,个点,而是要求在整体上“尽量,好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有,误差,函数逼近就是从整,体上使误差 尽量的小,一些。,2.,数学描述,“对函数类,A,中给定的函数 ，要求在另,一类较简单的便于计算的函数类,B,中，求函数,，使 与 之差在某种度量,意义下最小。”,2,函数类,A,通常是区间上的实连续函数，记作,；函数类,B,通常是代数多项式，分式有,理函数或三角多项式。,中函数 的,-,范数定义为,:,-,范数，它满足范数的三个性质：,I,），,当且仅当 时才有 ；,II,）,对任意 成立，,a,为任意实数；,III,）,对任意 ，有,3,度量标准最常用的有两种，一种是,在这种度量意义下的函数逼近称为,一致逼近,或,均匀逼近；,另一种度量标准是,用这种度量的函数逼近称为均方逼近或,平,方逼近,。这里符号,及 是范数。本章主要,研究在这两种度量标准下用代数多项式,逼近 。,4,3.,维尔斯特拉斯定理,用 一致逼近,首先要解决存在性,问题，即对 上的连续函数,是否存在,多项式 一致收敛于？维尔斯特拉斯,（,Weierstrass,）,给出了下面定理：,定理,1,设 ，则对任何,总,存在一个代数多项式 ，使,在 上一致成立。,证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）,5,假定函数的定义区间是,0,1,可通过线性代换,:,把 映射到 。,对给定的 ，构造伯恩斯坦多项式,此为,n,次多项式,:,其中 ，且,这不但证明了定理,1,，而且给出了 的一个逼近,多项式 。多项式 有良好的逼近,性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得,多，实际中很少被使用。,6,2,最佳一致逼近多项式,2-1,最佳一致逼近多项式的存在性,切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他,不让多项式次数,n,趋于无穷，而是固定,n,，,记次数,小于等于,n,的多项式集合为,显然 。,记 是 上一,组线性无关的函数组，是 中的一组基。中,的元素 可表示为,其中 为任意实数。要在 中求,逼近 ，使其误差,7,这就是通常所谓,最佳一致逼近,或切比雪夫逼近问题。,8,为了说明这一概念，先给出以下定义。,定义,1,，称,为 在 上的偏差。,显然 的全体组成一个集合，,记为,它有下界,0,。若记集合的下确界为,则称之 为在 上最小偏差。,9,定义,2,假定 ，若存在,则称 是 在 上的最佳一致逼近多,项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项,式。,注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存,在，但可证明下面的存在定理。,定理,2,若,则总存在 ，,使,.,证明略。,10,2-2,切比雪夫定理,为研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差,点定义。,定义,3,设 ，若在 上,有 则称 是,的偏差点。,若 ，称 为“正”偏差点。,若 ，称 为“负”偏差点。,由于函数 在 上连续，因此,至,少存在一个点 ，使,11,也就是说 的偏差点总是存在的。下面讨论,最佳逼近多项式的偏差点性质。,12,定理,3,若 是 的最佳逼,近多项式，则 同时存在正负偏差点。,下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪,夫定理。,定理,4.,是 的最佳逼近,多项式的充分必要条件是 在 上至少,有,n+2,个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有,n+2,个点，使,，使,这样的点组称为切比雪夫交错点组。,13,定理,4,说明用 逼近 的误差曲线,是均匀分布的。由这定理可得,以下重要推论。,推论,1,若,则在 中存在唯一,的最佳逼近多项式。,推论,2,若 ，则其最佳逼近多项,式 就是 的一个拉格朗日插值多,项式。,14,15,16,