复变函数4.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,知识点回顾,单通、复通区域柯西定理：,柯西公式：,有用公式：,目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法,重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开法、罗朗级数展开法。难点在于罗朗级数展开，孤立奇点类型判断。,第一节 复数项级数,1,复常数项级数,2,复常数项级数收敛的判断（柯西收敛判据）。,3,复变函数项级数及收敛的判断,第二节 幂级数,1,幂级数定义,2,幂级数敛散性判别法,3,收敛圆与收敛半径定义及求解,第三节 泰勒级数,1,泰勒级数展开定理,2,泰勒级数展开举例,第四节 解析延拓*,第五节 罗朗级数展开,1,罗朗级数展开定理,2,罗朗级数展开举例,第六节 孤立奇点的分类,1,可去奇点,2,极点,3,本性奇点,4,无限远点,第三章 幂级数展开,3.1,复数项级数,设有复数列，其中 则,(3.1.1),称为复数项无穷级数,.,前,n,项和,称为级数的部分和,.,若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数,收敛，而这极限值称为该级数的和,即,记作,柯西收敛 判据,级数发散,若部分和数列,无有限的极限，则称,级数发散,根据上式判断级数是否收敛，实际上比较 困难,.,事实上，由于,根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法,.,绝对收敛级数,若级数,收敛，称原级数,为,绝对收敛级数,.,若 级数,收敛，则级数,必收敛；,但反之不一定成立,.,性 质,绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改变其绝对收敛性与和,.,若已知两绝对收敛级数,则两级数的乘积,也绝对收敛，且收敛于：,是定义在区域,D,上的复变函数,序列，则称表达式,复变函数项级数,设,为复变函数项级数（简称复函数项级数）,.,该级数前,n,项和,称为级数的,部分和,.,一致收敛,3.2,幂级数,教学重点：幂级数敛散性判别法，收敛圆的概念及求解方法,教学过程：,一,.,幂级数：组成级数的每一项是幂级数的形式。,二,.,幂级数敛散性判别法：,（,1,）应用正项级数的比值判别法（达朗伯判别法）,三,.,幂级数的和是解析函数,说明：幂级数的和可以表为连续函数的回路积分，而连续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次，亦即为解析函数。所以，幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不可能出现奇点。,