chap3-4函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,1,、函数单调性判别法,2,、曲线的凹凸性与拐点,一、函数单调性的判别法,定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,注意,:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题,:,如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义,:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解,单调增区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单调减区间,例3,解,单调区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,证,注意,:,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用,.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5,证明：当,时，,证 令,，则,在,上连续，在,内,因此在,上,单调增加，从而当,时，,由于,故,，即,亦即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,二、曲线的凹凸性与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6,解,注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是，曲线的凹区间为,(,0,，凸区间为,0,+,),。,定义,注意,：,拐点是曲线上的点,当,x,0,所以曲线在,(,0,上是凹弧；,当,x,0,时，,y,0,所以曲线在,0,+,),上是凸弧。,解,例,7,求曲线,的凹凸区间。,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。,符号相同，则点,(,x,0,f,(,x,0,),不是拐点。,例,6,中，点（,0,，,0,）是曲线,y,=,x,3,上凹弧与凸弧的分界点，,因此是曲线的拐点，在该点处，,y,=0,；,例,7,中，（,0,，,0,）点是曲线的拐点，在该点处,y,不存在。,因此，曲线,y,=,f,(,x,),的拐点的横坐标只能是使,f,(,x,)=0,的,点或,f,(,x,),不存在的点。,求连续曲线的拐点的方法如下：,（,i,）,求出所有使函数,f,(,x,),的二阶导数,f,(,x,)=0,的点,和,f,(,x,),不存 在的点,；,（,ii,）,对于（,i,）,中所求出,x,0,，若,f,(,x,),在,x,0,两侧符号相反，,则点,(,x,0,f,(,x,0,),是曲线的拐点；若,f,(,x,),在,x,0,的两侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线的弯曲方向,凹凸性,;,改变弯曲方向的点,拐点,;,凹凸性的判定,.,拐点的求法,.,小结：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,:,习题,3-4,1,3(1)(4),5(3),8(3),9(1),