苏教版数学必修一知识梳理及题型.doc

函数重要知识点及题型
一．函数的定义域问题：
1.三个基本问题
①分式的分母不等于0；
②偶次开方问题，被开方数大于等于0；
③对数函数中，.
2.解题程序
根据题意列不等式（组）——解不等式（组）——结论（写成集合或区间形式）.
题组1.函数定义域的求解
1.的定义域是____________________.
2.的定义域是________________.
3.复合函数定义域问题解题策略：
①函数的定义域是指自变量的取值集合；
②所有括号中的取值范围相同.
题组2.复合函数定义域的求解
1. 已知函数的定义域是，其中则函数的定义域是___________________.
2. 已知的定义域是，则的定义域是________.
4.定义域的逆向问题
已知函数定义域，求解析式中字母参数的取值（范围）.
题组3.定义域的逆向问题
1.已知函数的定义域是，则
2.已知函数的定义域是，则实数的取值集合是________.
二． 函数解析式问题
常用解法：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.
题组4.求解函数解析式的常见题型
1.已知，则；
2.已知，则；
3.已知一次函数满足，则；
4.已知是二次函数，且，则；
5.已知，则.
三．函数的值域/求值问题
1.值域问题的常用解法：直接法，配方法（二次函数问题），单调性法，换元法，数形结合法
题组5.求下列函数值域：
（1）；
（2）；
（3）
2.探究性函数求值问题，一般从函数本身或结论特征入手，注意分析待求结论式中的数据特征，寻找函数内在联系来求解.
题组6.探究性函数求值
1.设，则 2. 设，则
四．函数图像的作法及应用
1.描点法是函数作图的基本方法（列表—描点—连线）；
2.变换作图法
①平移变换
②对称变换
③绝对值变换
注：局部绝对值函数为偶函数.
题组5.函数图像的变换及其简单应用
1.设，则函数恒过定点_____________；
2.将函数的图像向右平移_______个单位,再将每一点的横坐标变为原来的_________倍，可得函数的图像.
3.直线与曲线有四个交点，则的取值范围是_________.
五．函数的单调性
1. 定义：

2. 单调性的判定/证明方法：
（1） 数形结合（图像法）——只能用于判断；
解题程序：函数解析式——函数图像——单调区间
题组7.图像法求解函数的单调区间及其简单应用
1.的单调增区间是_________________.
2.若的单调递增区间是，则
3.函数有4个单调区间，则实数的取值范围是_____.
4.设，则（比较大小）.
（2）定义法——目前证明函数单调性的唯一方法.
利用定义证明函数单调性的程序：取值——作差——变形——定号——结论（变形的结果必须能明确的正负符号）
题组8.利用单调性定义证明函数单调性
1. 求证函数在区间上单调递增.

2.求证函数上单调递增.

3. 掌握常见函数的单调性：
（1）；
（2）；
（3）
4.复合函数单调性判定定理：同增异减.
5.三个需要注意的问题：
（1）函数的单调区间是其定义域的子集；
（2）函数的单调区间之间不能用“”连接；
（3）注意区分“在区间上单调”与“的单调区间是”.
题组9.“在区间上单调”与“的单调区间是”的理解
1.设的单调减区间是，则
2.设在上是减函数，则的取值范围是_______.
题组10.复合函数单调区间的求解
1.的单调递增区间是_____________.
2.的单调增区间是_______________.
6. 函数型不等式的求解策略：
（1）根据函数的单调性“脱”；
（2）注意函数定义域的限制.
题组11.函数型不等式的求解
1.已知是定义在上的减函数，则满足的实数的取值范围是________________.
2.定义在上的函数为减函数，则满足不等式的的值的集合是______________.
3.已知函数，若，则实数的取值范围是 .
4.已知函数，若，则实数的取值范围是 .
5.已知则不等式的解集是_______.
6.已知偶函数在区间上单调递增，则的的取值范围是 .
8.分段函数单调性问题：
函数在上单调递增，则满足两个条件：
（1） 在上单调递增，在上单调递增；
（2）
题组12.分段函数单调性的应用
1.函数满足对于任意的实数都有成立，则的取值范围是________________.
2.已知是上的减函数，则的取值范围是________.
3.设若存在，使得成立，则的取值范围是________________.
10. 抽象函数单调性问题
（1）证明抽象函数单调性，只能依据单调性的定义，同时应注意已知条件的应用；
（2）解函数型不等式或比较函数值的大小，应依据函数单调性.
题组13.抽象函数单调性的证明及其简单应用
1.已知函数，对任意的，都有，且当时，
（1）求证：是上的增函数；
（2）若，解不等式

2.已知函数的定义域是，当时，，且
（1）求的值；
（2）求证：是其定义域上的增函数；
（3）解不等式

3.已知定义在上的函数当时，，且对任意的，有
（1）求证：；
（2）求证：对任意的；
（3）求证：是上的增函数；
（4）解不等式

六． 函数的奇偶性
1. 函数奇偶性定义

2. 图像特征
奇函数图像关于_________对称，偶函数图像关于____________对称.
3.函数奇偶性的判定方法：
求函数定义域，看其是否关于原点对称（函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）；
验证与的关系.
注：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.
4. 函数奇偶性的性质：
（1）对多项式函数而言，奇函数不含偶次项，偶函数不含奇次项；
（2）奇函数若在处有定义，则______________；
（3）偶函数在原点两侧单调性_______，奇函数在原点两侧单调性_______；
（4）两个偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数；
两个奇函数的和、差为奇函数，积、商（分母不为0）为偶函数；
一个奇函数与一个偶函数的积、商（分母不为0）为奇函数.
题组14.根据函数奇偶性求值或求解析式问题：
1.已知函数是偶函数，则
2.已知是奇函数，且时，，则
3.设是定义在上的奇函数，且时，，则
4.若是偶函数，则
5.设，若，则
6.设.
（1）若是奇函数，则；
（2）若是偶函数，则.
7.设是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且，则
8.设函数是奇函数，则
9.设函数是偶函数，则
题组15.函数奇偶性的综合应用
1.定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是___________________.
2.若奇函数上单调递减，且，则实数的取值范围是__________________.
3.若奇函数上单调递减，且，则实数的取值范围是__________________.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是_______________.
基本初等函数
一．根式与分数指数幂
1.根式的化简问题：
题1.（1）
（2）
（3）若，则实数的取值范围是______________.

2.根式与分数指数幂的互化：
3.分数指数幂的运算性质：设，则

题2.（1）
（2）.
（3）设，则.

4.分数指数幂与方程
题3.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.

二．指数函数
1.指数函数的单调性：
题4.（1）如果指数函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是_______________.
(2)已知，函数，若实数满足，则的大小关系为______________.
（3）函数的递减区间是_______________.
（4）已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是_______________.

2.指数方程问题
（1）指数方程的可解类型：
①；
②形如的方程，利用换元法求解.
题5.解下列方程：
（1）； （2）.

（2） 含参数的指数方程解的存在性问题求解策略：
①分离参数法转化为函数的值域问题；
②数形结合思想.
题6.（1）若方程有解，则实数的取值范围是_________.
（2）若函数有两个实根，则实数的取值范围是__________.
3. 指数不等式：
题7.解下列不等式：
（1）； （2）； （3）.

三． 对数
1. 指数式与对数式的互相转化：____________________________________.
2. 常用结论：
（1）
（2）对数恒等式：
题8.（1）已知，则.
（2）设，则
（3）
（4）.
（5）若，则
3. 对数的运算性质：设则

4. 两个常用结论：
5.对于同底的对数式的化简的常用方法：
（1） “收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；
（2） “拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）.
题9.（1）
（2）
（3）
（4）设，则（结果用表示）
6. 换底公式
(1) 公式内容：
(2) 两个结论：
题10.（1）已知，那么用表示
（2）设，则用表示
（3）
（4）
（5）
（6）已知，且，则

四．对数函数
1.对数函数的定义域问题：底数大于0且不等于1，真数大于0.
题11.（1）的定义域是________________.
（2）的定义域是________________.
（3）若函数的定义域是，则
2.对数函数的单调性：
题12.（1）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则
(2)已知，函数，若实数满足，则这4个数的的大小关系为______________.
（3）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是_______________.
（4）函数的递减区间是_______________.
（5）如果对数函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是_______________.

2. 对数函数过定点问题：恒过定点______________.
题13.（1）恒过定点______________.
（2）恒过定点______________.

3. 对数函数的值域/最值问题
解题时注意换元法（新元的取值范围是什么）的应用
题14.（1）已知，则函数的值域是__________.
（2）函数的值域是____________.
（3）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，且函数在区间上单调递增，则

4. 对数函数奇偶性问题
题15.（1）判断下列函数的奇偶性：
①； ②.
（2）已知

5.对数不等式：
题15.（1）函数的定义域为_________________.
（2）已知指数函数时，有，则关于的不等式的解集是__________________.
（3）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是_____________________.
(4)已知定义在上的偶函数在上单调递增，若实数满足，则的取值范围是_____________________.

五． 幂函数
1. 幂函数的定义：形如__________________的函数叫幂函数.
题16.（1）已知幂函数的图像过点，则
（2）设是幂函数，则
2. 幂函数的图像（第一象限）
3. 定点问题：恒过定点______________,时还过定点_____________.
4. 奇偶性问题：设，则
5. 单调性问题（依据2，4先画出函数图像，由图像确定）
题17.（1）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为____________.
(2)已知函数是偶函数，且在上是减函数，则整数
（3）已知，则实数的取值范围是______________.
（4）已知，则实数的取值范围是____________.
（5）已知幂函数的图像关于轴对称，且它在上单调递减，则满足的实数的取值范围是____________.

六．二次函数
1.系数与图像（抛物线）的关系：
决定抛物线的开口方向，对称轴为，叫抛物线在轴上的截距，抛物线的顶点坐标为.
2. 解析式：
题18.(1)已知二次函数满足且的最大值是，试确定的解析式.

(2) 已知二次函数满足条件：①图像过原点；②；③方程有等根.试求的解析式.

3. 一元二次函数的零点问题：
4. 一元二次方程的求根公式：
5. 一元二次方程根与系数关系：

6.一元二次方程根的分步问题
解题策略：根据题意画出一元二次方程对应的一元二次函数的图像，然后将“图形语言”翻译成“代数语言”——用不等式（组）表示，最后计算.
有些方程问题从表面上看是根的分步问题，但通过变形可以转化为二次函数或其他函数，再求其值域.一般地，把方程中的参数提出来，解出，再求此函数的值域.
题19. （1）已知关于的方程.
①若该方程有两实根，一根比1大，一根比1小，求实数的范围；
②若该方程有两实数根，其中一根在内，另一根在内，求实数的范围；
③若该方程两根都在内，求实数范围.

（2）方程在内有实根，求实数的取值范围.

7.闭区间上二次函数的最值问题
“二次函数在区间上的最值问题”的解题策略（分类讨论与数形结合思想——分类讨论的要点是“对称轴的横坐标在闭区间的内还是外，闭区间的两个端点到对称轴距离的大小关系”）：
Step1:画出函数的“草图”；
Step2:讨论函数图像的对称轴与所给区间的关系；
Step3:借助函数单调性求解.
题20.（1）求函数在下列区间上的最值：
①； ②； ③

（2）求函数的最值.

（3）求函数的最值.

（4）已知函数的最小（最大）值为函数,求的取值范围.

七． 函数与方程问题
1. 函数零点的概念：函数的零点即为函数对应方程的根，也是函数图像与轴交点的横坐标.
2. 函数零点的个数问题：
（1） 一元二次函数的零点个数由根的判别式决定；
题21.（1）二次函数中，，则函数零的个数是_________.
（2）如果函数至多有一个零点，则的取值范围是________.
（3）无论取何值时，方程总有2个相异实根，则的取值范围是____________.

（2）一般函数的零点个数问题可以转化为两个函数图像交点的个数问题加以解决（数形结合思想）.
题22.（1）函数有______个零点.
（2）讨论函数的零点个数.
（3）设函数f(x)＝则函数的零点个数为________．

（4）若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，，函数则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是________．

（5）已知函数若函数恰有3个零点，求实数的取值范围.
（6）已知函数仅有一个零点，求的取值范围

3.函数零点所属区间问题（区间根存在原理）
若函数在内的图像是一条连续的曲线，且，则函数在内有零点，即存在，使得.
题23.（1）函数的零点所在的区间是，则
（2）设方程的根为，若，则整数
（3）设函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是________________.
（4）设函数是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称函数在上是“交织函数”，区间称为“交织区间”.若在上是“交织函数”，则实数的取值范围是______________.
（5）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称是一个“伙伴点组”（看成同一个“伙伴点组”）.已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是______________.