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函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析
一、函数的单调性
1．单调函数与严格单调函数
设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有
(ⅰ) ，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递增函数。
(ⅱ) ，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递减函数。
2．函数单调的充要条件
★若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：
或
★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：
或
3．函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法)
(2)作商法
4复合函数的单调性的判定
对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。
5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：
(1)当和具有相同的增减性时，函数、的增减性与 (或)相同，、的增减性不能确定；
(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：
①、的增减性不能确定；
② 、为增函数，为减函数。
二、函数的奇偶性
1. 奇偶性的定义
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。
2.奇偶性的几何意义
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。
3.函数奇偶性的判断(证明)
(1)比较与的关系；
(2)（）与的关系；
(3)与的关系
4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断
对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：
(1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：
①函数、也为奇函数；
②、为偶函数；
(2)当和具有相异的奇偶性时，那么：
①、的奇偶性不能确定；
②、、为奇函数。
若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
三、函数的对称性
1.函数自对称
（1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是
（2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是
（3）关于直线对称的函数的充要条件是
2.两个函数的图象对称性
（1）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（2）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（3）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（4）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（5）关于点对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点对称。
（6）与关于直线对称。
（7）与关于直线对称。
若,则函数的图象关于点对称;
3.几个常见的函数方程
（1）正比例函数,.
（2）指数函数,.
（3）对数函数,.
（4）幂函数,.
（5）余弦函数,正弦函数，，
.

四、函数的周期性主要结论
1．如果函数对于一切x∈R,都有 (),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数
2．如果函数 对于一切x∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称
3. 如果函数对于一切x∈R, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称
4.两个函数图像之间的对称性
（1）函数 与函数的图像关于直线 (即y轴)对称；函数 与函数的图像关于直线; 函数 与函数图像关于坐标原点对称。
（2）函数,的图像关于直线(由确定)对称
（3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定
（4）函数与函数的图像关于点中心对称
5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像
6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的
7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期
8.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么
9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界
10.关于函数的周期性的几个重要性质：
（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么
（2）函数图像关于轴对称
（3）函数图像关于中心对称
（4）函数图像关于轴对称，关于中心对称
（5）或或或, 则的周期T=2a
（6），则的周期T=3a
（7）则的周期T=4a；
（8）
,则的周期T=5a；
（9），则的周期T= 6a