函数对称性周期性全解析重点.doc

函数对称性、周期性全解析
函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数关于对称
也可以写成 或
简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。
若写成：，函数关于直线 对称
（2）函数关于点对称
或
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。
若写成：，函数关于点 对称

（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。

4、 周期性：
（1）函数满足如下关系系，则
A、 B、
C、或（等式右边加负号亦成立）
D、其他情形
（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）
（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。
二、 两个函数的图象对称性
1、 与关于X轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2、 与关于Y轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
3、 与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
4、 与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
5、 关于点(a,b)对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。
6、 与关于直线对称。