专训2-图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用.doc

专训2　图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用
名师点金：在进行与图形变换有关的计算或证明时，往往需要在图形中添加一些辅助线，添加辅助线后能使题目中的分散条件集中，较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有平移法、旋转法、翻折法等．
翻折法
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；
(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值．

(第1题)

平移法
2．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝CF，请判断FE与BC的大小关系，并说明理由．
(第2题)

旋转法
3．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作60°角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．

(第3题)

4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF<BF＋CE.

(第4题)

答案
1．解：(1)等腰三角形有3个，分别为
△ABC，△ABD，△ADC.
证明：∵AC＝BC，　
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAC.
∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝36°.
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠B＝∠ADB＝72°.
∴△ABD和△ADC都是等腰三角形．
(2)如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE(相当于将AB边沿AD向右翻折，与AC边重合，B点落在E点处)，

(第1题)
又∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED.
∴∠AED＝∠B，BD＝ED.
∵AB＋BD＝AC，
∴BD＝EC.
∴ED＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C，即∠B∶∠C＝2.
2．解：FE<BC.理由如下：
如图，将EF平移到BM，则此时BE平移到MF，由于CF＝BE＝MF，考虑到MF与CF的对称关系，作∠MFC的平分线交BC于点D，连接MD，易得DM＝DC.因为BD＋DM>BM，所以BC>FE，即FE<BC.

(第2题)
点拨：本题从平移的角度来思考问题，从而降低了求解的难度．
3．解：MN＝BM＋NC.证明如下：
如图，延长NC到点E，使CE＝BM，连接DE(相当于将△DBM绕点D旋转至△DCE)．
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝＝30°.
∴∠DBM＝∠DCE＝90°.
又∵DB＝DC，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE.
∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE.
∴∠EDN＝∠CDN＋∠CDE＝∠CDN＋∠BDM＝120°－60°＝60°.
∴∠MDN＝∠EDN＝60°.
∵DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，
∴△DMN≌△DEN.∴MN＝EN.
∴MN＝NC＋CE＝BM＋NC.
　(第3题)

4．证明：由题意可知BM＝MC，
∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示．
∴BF＝CN，FM＝NM.
连接EN，又∵ME⊥MF，
∴EN＝EF.
在△ENC中，EN<CN＋CE，
∴EF<BF＋CE.
(第4题)
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