初中几何反证法专题(编辑).doc

初中几何反证法专题学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。1 反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2 反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。3 反证法的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设归谬结论”三步曲。例题：例1已知：AB、CD是O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。OAOB，M是AB中点 （1）OMAB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN（ADBC）。求证：ADBC （2）证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。 在ABD中BMMA，BPPDMPAD，同理可证PNBC从而MPPN（ADBC）这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD，MNBC，得ADBC与假设ADBC矛盾，于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN由、得（ADBC）MN，这与已知条件MN（ADBC）相矛盾，故假设ADBC不成立，所以ADBC。课堂练习 1 求证：三角形中至少有一个角不大于60。2 求证：一直线的垂线与斜线必相交。已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B。求证：m和n必相交。3 在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。4 求证：直线与圆最多只有两个交点。5 求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知：ABC中，ABAC，求证：B、C必为锐角。参考答案： 1证明：假设ABC中的A、B、C都大于60 则ABC360180 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。 故三角形中至少有一个角不大于60。2证明：假设m和n不相交则 mn ml nl 这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。 故m和n必相交。3证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。 AEBD，即ACBC 这与AC、BC相交于C点矛盾， 故假设AD、BE被交点H平分不能成立。 所以AD与BE不能被点H互相平分。4证明：假设一直线l与O有三个不同的交点A、B、C， M、N分别是弦AB、BC的中点。 OAOBOC 在等腰OAB和OBC中 OMAB，ONBC 从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。 因此直线与圆最多只有两个交点。5证明：假设B、C不是锐角， 则可能有两种情况： (1)BC90 (2)BC90 若BC90，则ABC180， 这与三角形内角和定理矛盾。 若BC90，则 ABC180， 这与三角形内角和定理矛盾。 所以假设不能成立。 故B、C必为锐角。本讲小结 对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。 所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得出结论的反面不成立，于是原结论成立。 反证法证题的一般步骤是：(1)反设：将结论的反面作为假设；(2)归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知矛盾的结果；(3)结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正确。 运用“反证法”的关键：反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。课后作业1求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使ABC、BCD、CDA、DAB都是锐角三角形。2在ABC中，ABAC，P是内部一点且APBAPC，求证：PBPC。3求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60。4求证：在ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E，连结AD、BE，则AD和BE必定不能互相平分。5已知ABC为不等边三角形，ADBC于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等。参考答案： 1证明：假设存在凸四边形ABCD，使ABC、BCD、CDA、DAB都是锐角三角形。则ABCD360。这与四边形ABCD中ABCD360矛盾。故假设不能成立，所以原命题成立。2证明：假设PBPC，即PBPC或PBPC(1)当PBPC时（如图）在PBC中，可得PCBPBCABAC ABCACB，从而ABPACP在BAP与CAP中ABAC，APAP，PBPCBAPCAP由和三角形内角和定理，可得APBAPC，这与已知APBAPC相矛盾。(2)当PBPC时，在APB与APC中APAP，BPCP，ABACABPACP，APBAPC这与已知APBAPC相矛盾，由(1)(2)可知假设PBPC不成立。故PBPC。 3证明：不妨设三角形的三个内角为A、B、C假设A、B、C中设有一个大于或等于60，则它们都小于60。即A60、B60、C60ABC180这与三角形内角和定理矛盾，这说明假设不成立。故A、B、C中至少有一个大于或等于60。4证明：假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。 所以AEEB，即ACBC这与AC与BC相交于C点矛盾，故假设AD与BE互相平分不能成立。所以AD和BE必定不能互相平分。5证明：作BEAB于E，DFAC于F假设DEDF，则12ADBC B90 1C90 2 BC ABAC这与ABC为不等边三角形矛盾。故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。- 6 -