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初中几何辅助线——由角平分线或中点想到辅助线

一、由角平线想到辅助线
（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
例1如图1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例2如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例3如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180 
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例4如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
求证：DH=（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

四 由中点想到的辅助线
口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例5如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。
∴ΔCDF的面积为。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例6如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，
∵ME是ΔBCD的中位线，
∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，
∵MF是ΔABD的中位线，
∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，
∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，
从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线
例7图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，
从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
∴BD===，故BC=2BD=2。
例9如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例10如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。
证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∴∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。