高中数学 第三章(直线方程)复习课件 新人教A版必修2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九编 解析几何,9.1,直线的方程,基础知识 自主学习,要点梳理,1.,直线的倾斜角与斜率,（,1,）直线的倾斜角,定义：当直线,l,与,x,轴相交时，我们取,x,轴作为基,准，,x,轴,与直线,l,方向之间所成的角 叫,做直线,l,的倾斜角,.,当直线,l,与,x,轴平行或重合时，,规定它的倾斜角为,.,倾斜角的范围为,.,正向,向上,0,180,0,(2),直线的斜率,定义：一条直线的倾斜角 的,叫做这条,直线的斜率，斜率常用小写字母,k,表示，即,k,=,，,倾斜角是,90,的直线斜率不存在,.,过两点的直线的斜率公式,经过两点,P,1,（,x,1,y,1,）,P,2,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,),的直线,的斜率公式为,k,=,正切值,tan,2.,直线方程的五种形式,名称,方程,适用范围,点斜式,不含垂直于,x,轴的直线,斜截式,不含垂直于,x,轴的直线,两点式,不含直线,x,=,x,1,（,x,1,x,2,）,和直线,y,=,y,1,（,y,1,y,2,）,截距式,不含垂直于坐标轴和过原,点的直线,一般式,平面直角坐标系内的直线,都适用,3.,过,P,1,（,x,1,，,y,1,），,P,2,（,x,2,，,y,2,）的直线方程,（,1,）若,x,1,=,x,2,且,y,1,y,2,时，直线垂直于,x,轴，方程,为,;,(2),若,x,1,x,2,且,y,1,=,y,2,时，直线垂直于,y,轴，方程为,;,(3),若,x,1,=,x,2,=0,，且,y,1,y,2,时，直线即为,y,轴，方程,为,;,(4),若,x,1,x,2,且,y,1,=,y,2,=0,时，直线即为,x,轴，方程,为,.,x,=,x,1,y,=,y,1,x,=0,y,=0,4.,线段的中点坐标公式,若点,P,1,、,P,2,的坐标分别为（,x,1,，,y,1,），,（,x,2,，,y,2,），且线段,P,1,P,2,的中点,M,的坐标为（,x,y,），,则 ，此公式为线段,P,1,P,2,的中点,坐标公式,.,基础自测,1.,过点,M,（,-2,，,m,），,N,（,m,，,4,）的直线的斜率等,于,1,，则,m,的值为 （）,A.1 B.4 C.1,或,3 D.1,或,4,解析,k,MN,=1,，,m,=1.,A,2.,经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（）,A.,（,18,，,8,），（,4,，,-4,）,B.,（,0,，,0,），（，,1,）,C.,（,0,，,-1,），（,3,，,2,）,D.,（,-4,，,1,），（,0,，,-1,）,解析,对,A,过两点的直线斜率,对,B,过两点的直线斜率,对,C,过两点的直线斜率,对,D,过两点的直线斜率,过,D,中两点的直线的倾斜角是钝角,.,答案,D,3.,下列四个命题中，假命题是 （）,A.,经过定点,P,（,x,0,，,y,0,）的直线不一定都可以用,方程,y,-,y,0,=,k,(,x,-,x,0,),表示,B.,经过两个不同的点,P,1,（,x,1,，,y,1,）、,P,2,（,x,2,，,y,2,）,的直线都可以用方程,(,y,-,y,1,)(,x,2,-,x,1,)=,(,x,-,x,1,)(,y,2,-,y,1,),来表示,C.,与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方,程 表示,D.,经过点,Q,（,0,，,b,）的直线都可以表示为,y,=,kx,+,b,解析,A,不能表示垂直于,x,轴的直线，故正确；,B,正确；,C,不能表示过原点的直线即截距为,0,的直,线，故也正确；,D,不能表示斜率不存在的直线，,不正确,.,D,4.,如果,A,C,0,且,B,C,0,那么直线,Ax,+,By,+,C,=0,不通过 （）,A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,解析,由题意知,A,B,C,0.,直线方程变为,y,=-,x,-,，,A,C,0,，,B,C,0,，,A,B,0,，,其斜率,k,=-,0,在,y,轴上的截距,b,=-,0,直线过第一、二、四象限,.,C,5.,一条直线经过点,A,（,-2,，,2,），并且与两坐标轴,围成的三角形的面积为,1,，则此直线的方程为,.,解析,设所求直线的方程为,A,（,-2,，,2,）在直线上，,又因直线与坐标轴围成的三角形面积为,1,，,|,a,|,|,b,|=1 ,由可得,由（,1,）解得 方程组（,2,）无解,.,故所求的直线方程为,即,x,+2,y,-2=0,或,2,x,+,y,+2=0,为所求直线的方程,.,答案,x,+2,y,-2=0,或,2,x,+,y,+2=0,题型一 直线的倾斜角,【,例,1,】,若 ，则直线,2,x,cos +3,y,+1=0,的倾斜角的取值范围是 （）,A.B.,C.D.,题型分类 深度剖析,思维启迪,从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的,范围，再确定倾斜角范围,.,解析,设直线的倾斜角为,则,tan =-,cos,又 ，,0,cos,cos,0,即,-tan,0,注意到,0,.,答案,B,探究提高,（,1,）求一个角的范围，是先求这个角,某一个函数值的范围，再确定角的范围,.,（,2,）在已知两个变量之间的关系式要求其中一,个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得,到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余,弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的,是消去变量 得到。,知能迁移,1,直线,x,sin,-,y,+1=0,的倾斜角的变化范,围是 （）,A.B.(0,),C.D.,解析,直线,x,sin,-,y,+1=0,的斜率是,k,=sin ,又,-1sin 1,，,-1,k,1,，,当,0,k,1,时，倾斜角的范围是 ；,当,-1,k,0,时，倾斜角的范围是,.,D,题型二 直线的斜率,【,例,2,】,已知直线,l,过点,P,（,-1,，,2,），且与以,A,（,-2,，,-3,），,B,（,3,，,0,）为端点的线段相交，,求直线,l,的斜率的取值范围,.,分别求出,PA,、,PB,的斜率，直线,l,处,于直线,PA,、,PB,之间，根据斜率的几何意义利,用数形结合即可求,.,解,方法一,如图所示，直线,PA,的,斜率,直线,PB,的斜率,思维启迪,当直线,l,绕着点,P,由,PA,旋转到与,y,轴平行的位置,PC,时，它的斜率变化范围是,5,，,+,）；,当直线,l,绕着点,P,由,PC,旋转到,PB,的位置时，它的斜,率的变化范围是,直线,l,的斜率的取值范围是,方法二,设直线,l,的斜率为,k,，则直线,l,的方程为,y,-2=,k,（,x,+1,），,即,kx,-,y,+,k,+2=0.,A,、,B,两点在直线的两侧或其中一点在直线,l,上，,（,-2,k,+3+,k,+2,）（,3,k,-0+,k,+2,）,0,，,即,（,k,-5,）（,4,k,+2,）,0,，,k,5,或,k,-.,即直线,l,的斜率,k,的取值范围是,5,，,+,）,.,方法一,运用了数形结合思想,.,当直线,的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，,需根据正切函数,y,=tan,的单调性求,k,的范围，数,形结合是解析几何中的重要方法,.,解题时，借助图,形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快,捷解题的目的,.,方法二则巧妙利用了不等式所表示,的平面区域的性质使问题得以解决,.,探究提高,知能迁移,2,已知点,A,（,1,，,3,），,B,（,-2,，,-1,）,.,若直,线,l,：,y,=,k,（,x,-2,）,+1,与线段,AB,相交，则,k,的取值范围是 （）,A.,k,B.,k,-2,C.,k,或,k,-2 D.-2,k,解析,由已知直线,l,恒过定点,P,（,2,，,1,），如图,.,若,l,与线段,AB,相交，,则,k,PA,k,k,PB,，,k,PA,=-2,，,k,PB,=,，,-2,k,.,D,题型三 求直线的方程,【,例,3,】,求适合下列条件的直线方程：,（,1,）经过点,P,（,3,，,2,），且在两坐标轴上的截距,相等；,（,2,）经过点,A,（,-1,，,-3,），且倾斜角等于直线,y,=,3,x,的倾斜角的,2,倍,.,选择适当的直线方程形式，把所需要,的条件求出即可,.,解,（,1,）,方法一,设直线,l,在,x,y,轴上的截距均为,a,若,a,=0,，即,l,过点（,0,，,0,）和（,3,，,2,），,l,的方程为,y,=,x,，即,2,x,-3,y,=0.,思维启迪,若,a,0,，则设,l,的方程为,l,过点（,3,，,2,），,a,=5,，,l,的方程为,x,+,y,-5=0,综上可知，直线,l,的方程为,2,x,-3,y,=0,或,x,+,y,-5=0.,方法二,由题意知，所求直线的斜率,k,存在且,k,0,设直线方程为,y,-2=,k,(,x,-3),令,y,=0,，得,x,=3-,令,x,=0,得,y,=2-3,k,由已知,3-=2-3,k,，解得,k,=-1,或,k,=,直线,l,的方程为,y,-2=-,（,x,-3,）或,y,-2=(,x,-3),即,x,+,y,-5=0,或,2,x,-3,y,=0.,（,2,）由已知：设直线,y,=3,x,的倾斜角为 ，,则所求直线的倾斜角为,2 .,tan =3,tan 2 =,又直线经过点,A,（,-1,，,-3,），,因此所求直线方程为,y,+3=-(,x,+1),即,3,x,+4,y,+15=0.,探究提高,在求直线方程时，应先选择适当的直,线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用,斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两,点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能,表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题,时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距,是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在,的情况,.,知能迁移,3,求下列直线,l,的方程：,（,1,）过点,A,（,0,，,2,），它的倾斜角的正弦值是 ；,（,2,）过点,A,（,2,，,1,），它的倾斜角是直线,l,1,：,3,x,+4,y,+5=0,的倾斜角的一半；,（,3,）过点,A,（,2,，,1,）和直线,x,-2,y,-3=0,与,2,x,-3,y,-2=0,的交点,.,解,（,1,）设直线,l,的倾斜角为 ，,则,sin =,tan =,由斜截式得,y,=,x,+2,即,3,x,-4,y,+8=0,或,3,x,+4,y,-8=0.,（,2,）设直线,l,和,l,1,的倾斜角分别为 、，,则,解得,tan =3,或,tan =-,（舍去）,.,由点斜式得,y,-1=3(,x,-2),即,3,x,-,y,-5=0.,（,3,）解方程组,即两条直线的交点为（,-5,，,-4,）,.,由两点式得,即,5,x,-7,y,-3=0.,题型四 直线方程的应用,【,例,4,】,（,12,分）过点,P,（,2,，,1,）的直线,l,交,x,轴、,y,轴正半轴于,A,、,B,两点，求使：,（,1,）,AOB,面积最小时,l,的方程；,（,2,）,|,PA,|,|,PB,|,最小时,l,的方程,.,先求出,AB,所在的直线方程，再求出,A,，,B,两点的坐标，表示出,ABO,的面积，然后利用,相关的数学知识求最值,.,思维启迪,解,方法一,设直线的方程为,当且仅当,即,a,=4,b,=2,时，,S,AOB,取最,小值,4,，,4,分,此时直线,l,的方程为,6,分,1,分,3,分,当且仅当,a,-2=1,b,-1=2,即,a,=3,b,=3,时，,|,PA,|,|,PB,|,取最小值,4.,此时直线,l,的方程为,x,+,y,-3=0.12,分,8,分,10,分,方法二,设直线,l,的方程为,y,-1=,k,(,x,-2)(,k,0),则,l,与,x,轴、,y,轴正半轴分别交于,当且仅当,-4,k,=-,即,k,=-,时取最小值，此时直,线,l,的方程为,y,-1=-(,x,-2),即,x,+2,y,-4=0.6,分,1,分,3,分,（,2,）,|,PA,|,|,PB,|=,10,分,当且仅当,=4,k,2,即,k,=-1,时取得最小值,此时直,线,l,的方程为,y,-1=-(,x,-2),即,x,+,y,-3=0.12,分,求直线方程最常用的方法是待定系数,法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点,斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而,方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独,特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决,问题的能力,.,探究提高,知能迁移,4,已知直线,l,:,kx,-,y,+1+2,k,=0(,k,R,).,（,1,）证明：直线,l,过定点；,（,2,）若直线不经过第四象限，求,k,的取值范围；,（,3,）若直线,l,交,x,轴负半轴于,A,，交,y,轴正半轴于,B,，,AOB,的面积为,S,，求,S,的最小值并求此时直线,l,的,方程,.,（,1,）,证明,直线,l,的方程是：,k,（,x,+2)+(1-,y,)=0,无论,k,取何值，直线总经过定点（,-2,，,1,）,.,（,2,）,解,由方程知,当,k,0,时直线在,x,轴上的截距为,在,y,轴上的截距为,1+2,k,，要使直线不经过,第四象限，,则必须有 解之得,k,0;,当,k,=0,时，直线为,y,=1,符合题意，故,k,0.,（,3,）,解,由,l,的方程，得,依题意得,方法与技巧,1.,要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值,范围，熟记斜率公式：,k,=,，该公式,与两点顺序无关，已知两点坐标（,x,1,x,2,）时，,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率,.,当,x,1,=,x,2,，,y,1,y,2,时，直线的斜率不存在，此时直,线的倾斜角为,90,.,思想方法 感悟提高,2.,求斜率可用,k,=tan,（,90,），其中 为倾,斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分,割，牢记：,“,斜率变化分两段，,90,是分界，遇,到斜率要谨记，存在与否需讨论,”,.,3.,求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方,程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系,数法,.,4.,重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线,上设一任意点,P,（,x,，,y,），再找出,x,，,y,的一次关,系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直,线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求,.,失误与防范,1.,求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；,每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存,在斜率,.,2.,根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；,二是要考虑正切函数的单调性,.,3.,利用一般式方程,Ax,+,By,+,C,=0,求它的方向向量为,（,-,B,，,A,）不可记错，但同时注意方向向量是不,唯一的,.,4.,利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三,种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求,出垂直于,x,轴的直线方程,.,一、选择题,1.,直线,l,经过,A,（,2,，,1,）、,B,（,1,，,m,2,）（,m,R,）两点，那么直线,l,的倾斜角的取值范围是 （）,A.,0,，）,B.,C.D.,解析,k,=1-,m,2,1,又,k,=tan ,0,所以,l,的倾斜角的取值范围为,定时检测,D,2,.,直线,l,1,:3,x,-,y,+1=0,，直线,l,2,过点（,1,，,0,），且它的,倾斜角是,l,1,的倾斜角的,2,倍，则直线,l,2,的方程为,（）,A.,y,=6,x,+1,B.,y,=6(,x,-1),C.,y,=(,x,-1),D.,y,=-(,x,-1),解析,由,tan =3,可求出直线,l,2,的斜率,k,=tan 2 =,再由,l,2,过点（,1,，,0,）即可求得直线方程,.,D,3.,若直线（,2,m,2,+,m,-3,）,x,+(,m,2,-,m,),y,=4,m,-1,在,x,轴上的,截距为,1,则实数,m,是,(),A.1 B.2 C.D.2,或,解析,当,2,m,2,+,m,-30,时,在,x,轴上截距为,=1,即,2,m,2,-3,m,-2=0,，,m,=2,或,m,=.,D,4.,直线,x,+(,a,2,+1),y,+1=0(,a,R,),的倾斜角的取值范围,是 （）,A.B.,C.D.,解析,斜率,k,=-1,故,k,-1,，,0,），,由图象知倾斜角,故选,B.,B,5.,直线,ax,+,y,+1=0,与连结,A,（,2,，,3,）、,B,（,-3,，,2,）的,线段相交，则,a,的取值范围是 （）,A.,-1,，,2,B.,（,-,，,-1,）,2,，,+,）,C.,-2,，,1,D.,（,-,，,-2,1,，,+,）,解析,直线,ax,+,y,+1=0,过定点,C,（,0,，,-1,），当直,线处在,AC,与,BC,之间时，必与线段,AB,相交，应满,足,-,a,或,-,a,，即,a,-2,或,a,1.,D,6.,已知直线,x,=2,及,x,=4,与函数,y,=log,2,x,图象的交点分别,为,A,，,B,，与函数,y,=,lg,x,图象的交点分别为,C,，,D,，,则直线,AB,与,CD,（）,A.,相交，且交点在第,象限,B.,相交，且交点在第,象限,C.,相交，且交点在第,象限,D.,相交，且交点在坐标原点,解析,易知,A,（,2,，,1,），,B,（,4,，,2,），原点,O,（,0,，,0,），,k,OA,=,k,OB,=.,直线,AB,过原点,.,同理,C,（,2,，,lg,2,），,D,（,4,，,2lg 2,），,k,OC,=,k,OD,=,直线,CD,过原点，且与,AB,相交，故选,D.,D,二、填空题,7.,过两点,A,（,m,2,+2,，,m,2,-3,），,B,（,3-,m,-,m,2,，,2,m,）的,直线,l,的倾斜角为,45,，则,m,的值为,.,解析,由题意得：,解得：,m,=-2,或,m,=-1.,又,m,2,+23-,m,-,m,2,m,-1,且,m,m,=-2.,-2,8.,若经过点,P,（,1-,a,1+,a,）和,Q,（,3,，,2,a,）的直线的,倾,斜角为锐角，则实数,a,的取值范围是,.,解析,由条件知直线的斜率存在，由公式得,因为倾斜角为锐角，所以,k,0,，,解得,a,1,或,a,-2.,所以,a,的取值范围是,a,|,a,1,或,a,-2.,（,-,-2,）,(1,+),9.,直线,y,=,x,关于直线,x,=1,对称的直线方程是,.,解析,在所求直线上任取一点坐标为（,x,y,），设,关于直线,x,=1,对称点的坐标是（,x,0,，,y,0,），,整理得：,x,+2,y,-2=0.,（也可以用点斜式求解）,x,+2,y,-2=0,三、解答题,10.,已知线段,PQ,两端点的,坐标分别为（,-1,，,1,）、,（,2,，,2,），若直线,l,:,x,+,my,+,m,=0,与线段,PQ,有交点，,求,m,的范围,.,解,方法一,直线,x,+,my,+,m,=0,恒过,A,（,0,，,-1,）点,.,k,AP,=-2,，,又,m,=0,时直线,x,+,my,+,m,=0,与线段,PQ,有交点，,所求,m,的范围是 ,m,.,方法二,过,P,、,Q,两点的直线方程为,y,-1=,即,代入,x,+,my,+,m,=0,整理得：,由已知,-1 2,解得：,-,m,.,11.,已知,ABC,中，,A,（,1,，,-4,），,B,（,6,，,6,），,C,（,-2,，,0,）,.,求：,（,1,）,ABC,的平行于,BC,边的中位线的一般式方,程和截距式方程；,（,2,）,BC,边的中线的一般式方程，并化为截距式,方程,.,解,（,1,）平行于,BC,边的中位线就是,AB,、,AC,中点,的连线,.,因为线段,AB,、,AC,中点坐标为,所以这条直线的方程为,整理得：,6,x,-8,y,-13=0,，,化为截距式方程为,（,2,）因为,BC,边上的中点为（,2,，,3,），所以,BC,边,上的中线方程为 即,7,x,-,y,-11=0,化为截距式方程为,12.,已知两点,A,（,-1,，,2,），,B,（,m,，,3,）,.,（,1,）求直线,AB,的方程；,（,2,）已知实数,m,求直线,AB,的倾,斜角 的取值范围,.,解,（,1,）当,m,=-1,时，直线,AB,的方程为,x,=-1,当,m,-1,时，直线,AB,的方程为,（,2,）当,m,=-1,时，,=;,当,m,-1,时，,m,+1 ,（,0,，,综合知，直线,AB,的倾斜角,返回,