《线性代数》章节2.2.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第二节 行列式的性质与计算,一、行列式的性质,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,行列式 称为行列式 的转置行列式,.,记,证明,按定义,又因为行列式,D,可表示为,故,证毕,性质,2,互换行列式的两行（列）,行列式变号,.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,.,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,性质,3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式,.,推论,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质,5,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,.,则,D,等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式不变,例如,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例,2,计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例,3,证明,证明,(,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,).,计算行列式常用方法：,(1),利用定义,;(2),利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的,6,个性质,思考题,思考题解答,解,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,叫做元素 的代数余子式,例如,四、余子式与代数余子式,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,例如,证,当 位于第一行第一列时,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,五、行列式按行（列）展开法则,例,1,证,用数学归纳法,例,2,证明范德蒙德,(Vandermonde),行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例,计算行列式,解,按第一行展开，得,例,计算行列式,解,1.,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,.,小结,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,