2024-2025学年广东省广州市番禺区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2-1x=0 B．x2+2xy+1＝0
C．x2+2x3＝0 D．x2+x＝2
2．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝3x2+2 B．y＝3（x+2）2 C．y＝3（x﹣2）2 D．y＝3x2﹣2
3．（3分）观察下列四个图形，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2）
5．（3分）下列各事件，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3
B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯
D．画一个三角形，其内角和为180°
6．（3分）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．（60+x）（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816
D．（60+x）（40+x）＝2816
7．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（　　）

A．23 B．12 C．13 D．16
8．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0经过配方得（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
9．（3分）关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
10．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）一元二次方程x2﹣3＝0的解为　 　 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
13．（3分）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为　 　 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　 　 ．
15．（3分）如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若AB＝2，则此莱洛三角形的周长为　 　 ．

16．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）；
③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立．
其中正确的有　 　 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x＝3．
18．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，求∠OAB的度数．

19．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系xOy内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4）、B（1，1）、C（4，3）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）写出C2的坐标，并求C2旋转过程中所经过的路径长（结果保留π）．

20．（6分）如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．试求BC，AD的长．

21．（8分）某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可多售出2件．
（1）要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利1200元，问每件运动衫应降价多少元？
（2）当每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
22．（10分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
20%
良好
45
c
优秀
32
32%
（1）如表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．

23．（10分）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0（a为实数）．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围；
（2）若x＝2是方程的一个根，求其另一个根；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+a﹣2与x轴交于A、B两点．
①结合图形，写出y＞0时自变量x的取值范围；
②若抛物线顶点为C，求△ABC的面积．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．

（Ⅰ）如图1，若AB＝5，BC＝4，分别求⊙O半径长和切线AD的长；
（Ⅱ）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB．
（1）尺规作图：过点M作MN⊥AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断MN是否是⊙O的切线？并对结论给出证明．
25．（12分）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的一动点，PN⊥BC于N，小明同学在探究时认为：当点P位于抛物线顶点时，△BCP的面积最大，他的结论是否正确？若正确请说明理由；若不正确，试探究△BCP 的面积最大时点P的位置，并求此时BNCN的值．

2024-2025学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
D
B
A
B
D
D

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2-1x=0 B．x2+2xy+1＝0
C．x2+2x3＝0 D．x2+x＝2
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断．
【解答】解：A、该方程不是整式方程，故不符合题意；
B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、该方程中含有未知数x的最高次数是3，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．
2．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝3x2+2 B．y＝3（x+2）2 C．y＝3（x﹣2）2 D．y＝3x2﹣2
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可解答．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，得到的新的抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2）2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，掌握函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
3．（3分）观察下列四个图形，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2）
【分析】根据题意得到OA＝4，OC＝2，根据矩形的性质得到BC＝OA＝4，根据旋转的性质得到OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，于是得到点B′的坐标为（2，4）．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，
∴点B′的坐标为（2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．
5．（3分）下列各事件，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3
B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯
D．画一个三角形，其内角和为180°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．（60+x）（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816
D．（60+x）（40+x）＝2816
【分析】根据风景画的长、宽及四周镶的金色纸边的宽度，可得出整个挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，根据整个挂图的面积是2816cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形风景画的长为60cm，宽为40cm，四周镶的金色纸边的宽为xcm，
∴整个挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm．
根据题意得：（60+2x）（40+2x）＝2816．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（　　）

A．23 B．12 C．13 D．16
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，
∴灯泡能发光的概率为：46=23，
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0经过配方得（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
【分析】方程移项，利用完全平方公式配方后，开方即可求出解．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
移项得：x2+4x＝﹣1，
配方得：x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（3分）关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴A、B、C说法正确；
D说法错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE
【分析】先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°﹣x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF+FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确；
故选：D．

【点评】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）一元二次方程x2﹣3＝0的解为　x1=3，x2=-3　 ．
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【解答】解：∵x2﹣3＝0，
∴x2＝3，
∴x1=3，x2=-3，
故答案为：x1=3，x2=-3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞1且k≠2　 ．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，
解得：k＞1且k≠2，
故答案为：k＞1且k≠2．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
13．（3分）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为　14　 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次都取到白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：

由图可得共有4种等可能的结果，分别为红红，红白，白红，白白，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
∴两次都取到白色小球的概率为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　（﹣3，2）　 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15．（3分）如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若AB＝2，则此莱洛三角形的周长为　2π　 ．

【分析】利用弧长计算公式计算即可．
【解答】解：l=60π×2180=23π，
∴C＝3l＝2π，
故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式是解题的关键．
16．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）；
③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立．
其中正确的有　①③④　 ．

【分析】根据二次函数的图象和性质进行解题即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0），故选项②错误；
∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故选项①正确；
∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于（2，y2）到对称轴距离，
∴y1＜y2，故选项③正确；
∵x＝1时，函数有最大值，故an2+bn+c≤a+b+c，即不等式an2+bn≤a+b总成立，故选项④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x＝3．
【分析】利用因式分解解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的求解，利用十字相乘法是解题的关键．
18．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，求∠OAB的度数．

【分析】先利用圆周角定理可得：∠COB＝2∠D＝56°，然后利用垂径定理可得：AC=BC，从而可得∠AOC＝∠COB＝56°，进而可得∠AOB＝112°，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠D＝28°，
∴∠COB＝2∠D＝56°，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠COB＝56°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝112°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA=180°-∠AOB2=34°．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
19．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系xOy内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4）、B（1，1）、C（4，3）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）写出C2的坐标，并求C2旋转过程中所经过的路径长（结果保留π）．

【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标（﹣2，﹣4）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）C2的坐标（3，﹣2），
∵BC=22+32=13
∴C2旋转过程中所经过的路径长=90π×13180=132π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轨迹，弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式，灵活运用所学知识解决问题．
20．（6分）如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．试求BC，AD的长．

【分析】连接AD、BD、OD．由圆周角定理可知∠ACB＝90°，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC；根据角平分线的定义和圆周角定理得AD＝BD，根据等腰三角形的性质得∠AOD＝90°，在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD即可．
【解答】解：如图，连接AD、BD、OD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中利用勾股定理，得BC=AB2-AC2=102-62=8（cm）；
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中利用勾股定理，得AD=OA2+OD2=52+52=52（cm）．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（8分）某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可多售出2件．
（1）要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利1200元，问每件运动衫应降价多少元？
（2）当每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
【分析】（1）每件运动衫的利润×（20+降价后多售出的件数）＝1200，把相关数值代入计算即可；
（2）设每天的利润为y元，y＝每件运动衫的利润×（20+降价后多售出的件数），进而根据抛物线的开口方向和对称轴判断出每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润，以及最大利润为多少元．
【解答】解：（1）设每件运动衫应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
（40﹣x）（10+x）＝600，
﹣x2+30x+400＝600，
x2﹣30x+200＝0，
（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵需要尽量扩大销售量，
∴x＝20．
答：每件运动衫应降价20元；
（2）设每天的利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝15时，y最大，y最大＝25×50＝1250（元）．
答：每件运动衫降价15元时，每天可获得最大利润，最大利润为1250元．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出降价后每天的销售量是解决本题的易错点．
22．（10分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
20%
良好
45
c
优秀
32
32%
（1）如表中a＝　3%　 ，b＝　20　 ，c＝　45%　 ；
（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．

【分析】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案；
（2）根据及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中两人均为“良好”的结果，利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）这次调查的人数为：32÷32%＝100（人），
a=3100×100%＝3%，b＝100×20%＝20，c=45100×100%＝45%，
故答案为：3%，20，45%；
（2）补全条形统计图如下：

600×（45%+32%）＝462（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：

∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
∴所抽取的两人均为“良好”的概率为612=12．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
23．（10分）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0（a为实数）．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围；
（2）若x＝2是方程的一个根，求其另一个根；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+a﹣2与x轴交于A、B两点．
①结合图形，写出y＞0时自变量x的取值范围；
②若抛物线顶点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）由方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，可得a≠0，[﹣（2a+1）]2﹣4a（a﹣2）≥0，解得a≥-112，从而可得答案；
（2）由x＝2是方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0的一个根，知4a﹣2（2a+1）+a﹣2＝0，解得a＝4，解4x2﹣9x+2＝0，可得另一个根是x=14；
（3）①画出函数大致图象可得观察得y＞0时，自变量x的取值范围是x＜14或x＞2；
②求出AB＝2-14=74，C（98，-4916），根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，
∴a≠0且Δ≥0，
∴[﹣（2a+1）]2﹣4a（a﹣2）≥0，
解得a≥-112，
∴a≥-112且a≠0；
（2）∵x＝2是方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0的一个根，
∴4a﹣2（2a+1）+a﹣2＝0，
解得a＝4，
∴关于x的方程为4x2﹣9x+2＝0，
解得x＝2或x=14，
∴另一个根是x=14；
（3）①由（2）知抛物线解析式为y＝4x2﹣9x+2，其图象经过（2，0），（14，0），（0，2），大致图象如下：

由图象可知，y＞0时自变量x的取值范围是x＜14或x＞2；
②∵A（14，0），B（2，0），
∴AB＝2-14=74，
∵y＝4x2﹣9x+2＝4（x-98）2-4916，
∴C（98，-4916），
∴S△ABC=12×74×4916=343128，
∴△ABC的面积为343128．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．

（Ⅰ）如图1，若AB＝5，BC＝4，分别求⊙O半径长和切线AD的长；
（Ⅱ）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB．
（1）尺规作图：过点M作MN⊥AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断MN是否是⊙O的切线？并对结论给出证明．
【分析】（Ⅰ）如图1，连接OF，OD，OE，OA，OB，OC．利用勾股定理求出AC，再利用面积法求出OD即可；
（Ⅱ）（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△ABC≌△AMN（AAS），推出△ABC与△AMN的内切圆的大小一样，由⊙O与AM，AN相切，推出⊙O就是△AMN的内切圆，
【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OF，OD，OE，OA，OB，OC．
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
∴OD⊥AB，OF⊥BC，OE⊥AC，
∴OD＝OE＝OF，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC=AB2-BC2=52-42=3，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴12×3×4=12×OD×（3+4+5），
∴OD＝1，
∴⊙O半径长为1，
∵∠C＝∠OFC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE＝OF＝1，
∴AE＝AC﹣EC＝3﹣1＝2，
∵AC，AB是⊙O的切线，
∴AD＝AE＝2；
（Ⅱ）（1）如图2中，直线MN即为所求；
（2）结论：直线MN是⊙O的切线．
理由：∵∠ACB＝∠ANM＝90°，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△ABC≌△AMN（AAS），
∴△ABC与△AMN的内切圆的大小一样，
∵⊙O与AM，AN相切，
∴⊙O就是△AMN的内切圆，
∴直线MN是⊙O的切线．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，切线的判定和性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（12分）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的一动点，PN⊥BC于N，小明同学在探究时认为：当点P位于抛物线顶点时，△BCP的面积最大，他的结论是否正确？若正确请说明理由；若不正确，试探究△BCP 的面积最大时点P的位置，并求此时BNCN的值．

【分析】（1）由题意得：y=12（x+1）（x﹣6）=12x2-52x﹣3；
（2）由△BCP的面积=12×PH×OB＝3×（-12x2+3x）=-32（x﹣3）2+272≤272，得到点P（3，﹣6），进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y=12（x+1）（x﹣6）=12x2-52x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=12x﹣3，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，

设点P（x，12x2-52x﹣3），则点H（x，12x﹣3），
则PH=-12x2+3x，
则△BCP的面积=12×PH×OB＝3×（-12x2+3x）=-32（x﹣3）2+272≤272，
即当x＝3时，△BCP的面积最大，故小明的结论不正确，正确的点P（3，﹣6）；
∵直线BC的表达式为：y=12x﹣3，PN⊥BC，
故直线PN的表达式为：y＝﹣2（x﹣3）﹣6，
联立PN和BC的表达式得：12x﹣3＝﹣2（x﹣3）﹣6，
解得：x=65，即点N（65，-125），
由点B、C、N的坐标得，BC＝35，CN=355，
则BN＝3﹣CN=1255，
故BNCN=4．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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