2024-2025学年广东省广州市越秀区七年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市越秀区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．（3分）下列各数中，比﹣2.5小的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣3
2．（3分）北京时间2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射升空，进入近地点200000米、远地点362000米的近地轨道．将数字362000用科学记数法可表示为（　　）
A．362×103 B．36.2×104 C．3.62×105 D．0.362×106
3．（3分）某车间检测乒乓球，其中超过标准质量的克数记为正数．以下哪个质量最接近标准质量（　　）
A．+0.2 B．﹣0.1 C．+0.13 D．﹣0.18
4．（3分）若x＝1是关于x的方程2x+a＝1的解，则a的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
5．（3分）如图是一个正方体表面的展开图，若正方体相对面上的数字互为相反数，则x的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
6．（3分）如图，∠AOD＝110°，OC平分∠AOD，∠BOC与∠COD互余，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
7．（3分）已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，则常数m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．±2 D．﹣2
8．（3分）下列运算错误的是（　　）
A．若x＝y，则x+2a＝y+2a
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|
C．若ax＝ay，则x＝y
D．若2x﹣3y＝5，则y=23x-53
9．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1＝5，表示该生为5班学生．那么表示10班学生的识别图案是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2024时对应的手指是（　　）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）

A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 　 　 m．
12．（3分）单项式x2y的系数是 　 　 ，次数是 　 　 ．
13．（3分）用四舍五入法取近似数：3.7682≈　 　 ．（精确到0.01）
14．（3分）已知x﹣2y＝2，则代数式2x﹣4y﹣5的值为 　 　 ．
15．（3分）如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东28°方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东43°20'方向，则∠BAC的度数是 　 　 ．

16．（3分）如图，某乡镇的五个家庭依次居住在一条笔直的小道路边的A，B，C，D，E处，且这五个家庭的人数依次有3人，m+3人，m+1人，m人，2人．乡村改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点P，要求所有居民到便民服务点P的距离之和最小（每个家庭所有人都需要计算），若这样的P点有无数个，则m的值为 　 　 ．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）计算：
（1）﹣7+3﹣（﹣1）﹣9；
（2）（﹣1）3+32÷（1﹣3）×2．
18．（8分）解方程：
（1）5y+5＝9﹣3y；
（2）x-32=23x-1．
19．（6分）糖果厂生产了一批水果糖，把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如表所示：
每袋装的颗数
20
30
40
50
60
…
总袋数
300
200
150
120
100
…
（1）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？
（2）设每袋装的颗数为m，总袋数为n，若m＝80，求n的值．
20．（8分）已知|2x﹣1|+（3y+7）2＝0，设M=12x+3(-x+512y2)-5(32x+14y2)，求M的值．
21．（10分）如图，已知线段a，b．
（1）尺规作图：作线段AB，BC，使得AB＝a，BC＝b，且A，B，C三点在同一条直线上（请画出所有符合要求的图形，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若a＝6，b＝2，D为AB的中点，求线段CD的长．

22．（10分）某班共有学生48人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人．
（1）求该班女生的人数；
（2）劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身13个或盒底22个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
23．（10分）在长方形纸片ABCD中，AB＝m，AD＝8（m＞8），将两张边长分别为n和3（n＞3）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．
（1）请用含m，n的式子表示图1中BF，EF的长；
（2）用含m，n的式子表示图1中的阴影部分的面积S1；
（3）若S2﹣S1＝3，求m的值．

24．（12分）如图，点A，B，C是数轴上顺次的三个点，动点P，Q分别从B点和C点同时出发沿数轴向左运动，点P和点Q的速度分别为1个单位/秒和2个单位/秒，设运动时间为t秒，点D是PQ的中点．
（1）若BC＝4，当t取何值时，点Q追上点P？
（2）当点P，Q在线段AC上运动时，若AP=13AB，CQ=13BC，且BC＝AB+m（m＞0），求BD的长（用含m的代数式表示）；
（3）若BC＝2AB＝4，设S＝k•PD﹣PA，是否存在常数k，使得S在某段时间内为定值？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．

2024-2025学年广东省广州市越秀区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
C．
B
C
A
B
D．
C
B
A

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．（3分）下列各数中，比﹣2.5小的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣3
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．∵|﹣2|＝2，|﹣2.5|＝2.5，2＜2.5，∴﹣2＞﹣2.5，故不符合题意；
B．0＞﹣2.5，故不符合题意；
C．1＞﹣2.5，故不符合题意；
D．∵|﹣3|＝3，|﹣2.5|＝2.5，3＞2.5，∴﹣3＜﹣2.5，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）北京时间2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射升空，进入近地点200000米、远地点362000米的近地轨道．将数字362000用科学记数法可表示为（　　）
A．362×103 B．36.2×104 C．3.62×105 D．0.362×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：362000＝3.62×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）某车间检测乒乓球，其中超过标准质量的克数记为正数．以下哪个质量最接近标准质量（　　）
A．+0.2 B．﹣0.1 C．+0.13 D．﹣0.18
【分析】先比较每个数的绝对值，然后根据绝对值小的数最接近标准即可得出答案．
【解答】解：超过标准质量的克数记为正数，则不足标准质量的克数记为负数．
∵|+0.2|＝0.2，|﹣0.1|＝0.1，|+0.13|＝0.13，|﹣0.18|＝0.18，
又∵0.1＜0.13＜0.18＜0.2，
∴最接近标准的是﹣0.1，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，利用绝对值解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题求出有理数的绝对值并进行大小比较．
4．（3分）若x＝1是关于x的方程2x+a＝1的解，则a的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把 x＝1代入已知方程后，列出关于a的新方程，再解新方程求a的值即可．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程﹣2x+a＝1的解，
∴2×1+a＝1，
解得：a＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解一元一次方程的解的定义是解题的关键．
5．（3分）如图是一个正方体表面的展开图，若正方体相对面上的数字互为相反数，则x的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】根据正方体表面展开图的判断相对的面，再根据相反数的定义进行计算即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“6”与“3x”是对面，
由于相对两个面上的数字互为相反数，
所以3x+6＝0，
解得x＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
6．（3分）如图，∠AOD＝110°，OC平分∠AOD，∠BOC与∠COD互余，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据∠AOD的度数和角平分线的性质，求出∠COD，再根据∠BOC与∠COD互余，求出∠BOC即可．
【解答】解：∵∠AOD＝110°，OC平分∠AOD，
∴∠COD=12∠AOD=55°，
∵∠BOC与∠COD互余，
∴∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠COD＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了余角和补角、角平分线，解题关键是熟练掌握互为余角的定义和角平分线的定义．
7．（3分）已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，则常数m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．±2 D．﹣2
【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．
【解答】解：∵多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，
∴|m|＝2，m﹣2≠0，
∴m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数．
8．（3分）下列运算错误的是（　　）
A．若x＝y，则x+2a＝y+2a
B．若x2＝y2，则|x|＝|y|
C．若ax＝ay，则x＝y
D．若2x﹣3y＝5，则y=23x-53
【分析】A．根据等式的基本性质1计算即可；
B．将x2＝y2的两边同时开平方即可；
C．根据等式的基本性质2计算即可；
D．根据等式的基本性质1和2计算即可．
【解答】解：根据等式的基本性质1，将x＝y两边同时加2a，得x+2a＝y+2a，
∴A正确，不符合题意；
将x2＝y2的两边同时开平方，得x＝±y，
∴|x|＝|y|，
∴B正确，不符合题意；
当a≠0时，根据等式的基本性质2，将ax＝ay两边同时除以a，得x＝y，
当a＝0时，x＝y不定成立，
∴C错误，符合题意；
根据等式的基本性质2，将2x﹣3y＝5的两边同时乘﹣1，得3y﹣2x＝﹣5，
根据等式的基本性质1，将3y﹣2x＝﹣5的两边同时加2x，得3y＝2x﹣5，
根据等式的基本性质1，将3y＝2x﹣5的两边同时除以3，得y=23x-53，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质和绝对值的性质是解题的关键．
9．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1＝5，表示该生为5班学生．那么表示10班学生的识别图案是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题中所给身份识别系统，依次求出选项中识别图案所表示的班级即可解决问题．
【解答】解：由题知，
0×23+1×22+1×21+0＝6，
即A选项的识别图案表示6班学生．
故A选项不符合题意．
1×23+0×22+1×21+0＝10，
即B选项的识别图案表示10班学生．
故B选项符合题意．
1×23+0×22+0×21+1＝9，
即C选项的识别图案表示9班学生．
故C选项不符合题意．
0×23+1×22+1×21+1＝7，
即D选项的识别图案表示7班学生．
故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的乘方及用数字表示事件，理解题中所给身份识别系统是解题的关键．
10．（3分）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2024时对应的手指是（　　）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）

A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指
【分析】根据所给图形，发现各数与手指之间的对应关系即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
从数字1开始，它们依次与：大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指对应，
因为2024÷8＝253，
所以数到2024时对应的手指是食指．
故选：A．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给规则发现从数字1开始，它们依次与：大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指对应是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 　﹣3　 m．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵水位升高3m时，水位变化记作+3m，
∴水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．（3分）单项式x2y的系数是 　1　 ，次数是 　3　 ．
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式x2y的系数与次数分别是1，3．
故答案为：1，3．
【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．
13．（3分）用四舍五入法取近似数：3.7682≈　3.77　 ．（精确到0.01）
【分析】把千分位上的数字8进行四舍五入即可
【解答】解：用四舍五入法取近似数：3.7682≈3.77．
故答案为：3.77．
【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．
14．（3分）已知x﹣2y＝2，则代数式2x﹣4y﹣5的值为 　﹣1　 ．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当x﹣2y＝2时，原式＝2（x﹣2y）﹣5＝2×2﹣5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
15．（3分）如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东28°方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东43°20'方向，则∠BAC的度数是 　108°40′　 ．

【分析】根据方位角的概念和度分秒的换算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：∠BAC＝180°﹣28°﹣43°20′＝108°40′．
故答案为：108°40′．
【点评】本题考查了方向角和度分秒的换算，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键．
16．（3分）如图，某乡镇的五个家庭依次居住在一条笔直的小道路边的A，B，C，D，E处，且这五个家庭的人数依次有3人，m+3人，m+1人，m人，2人．乡村改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点P，要求所有居民到便民服务点P的距离之和最小（每个家庭所有人都需要计算），若这样的P点有无数个，则m的值为 　3　 ．

【分析】建立数轴，利用数轴上两点间的距离解决问题，设A、B、C、D、E、P表示的数分别为：a、b、c、d、e、x，则总距离 L＝3|x﹣a|+（m+3）|x﹣b|+（m+1）|x﹣c|+m|x﹣d|+2|x﹣e|，观察有几个零点，然后分类讨论．
【解答】解：法一：建立数轴转换成绝对值来处理．
如图，设A、B、C、D、E、P表示的数分别为：a、b、c、d、e、x，

则总距离 L＝3|x﹣a|+（m+3）|x﹣b|+（m+1）|x﹣c|+m|x﹣d|+2|x﹣e|，
共有3+m+3+m+1+m+2＝（3m+9）个零点，
∵P点有无数个，
∴3m+9 为偶数，且最小值在第3m+92，3m+12个零点之间取得，
即P必在A、B、C、D、E相邻的两个点之间；
①在A、B之间取最小值，则第3m+92个零点在A：3m+12=3（舍去）．
②在B、C之间取最小值，则第3m+92个零点在B：3m+12=3+m+3⇒m=3．
③在C、D之间取最小值，则第3m+92个零点在C：3m+92=3+m+3+m+1（舍）．
④在C、D之间取最小值，则第3m+92个零点在D：3m+92=3+m+3+m+1+m(舍）．
综上，m＝3．
法二：利用线段长度计算距离再比较大小．
设 AB＝a．BC＝b．CD＝c．DE＝d．
要使得总距离最小，P点建在A、B、C、D、E其中一个点或者两个相邻点之间．
∵有无数个p．即必有相邻两点总距离相等．
①当P建在B点时，
L1＝3a+（m+1）b+m（b+c）+2（b+c+d）＝3a+（2m+2）b+（ma+2）c+2d；
②当P建在C点时，
L2＝3（a+b）+（m+3）b+mc+2（c+d）＝3a+（m+b）b+（m+2）c+2d；
③当P建在D点时，
L3＝3（a+b+c）+（m+3）（b+c）+（m+1）c+2d＝3a+（m+b）b+（2m+7）c+2d；
当L1＝L2＜L3时，m＝3，
当L2＝L3＜L1时，无解．
综上，m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了两点间的距离、推理问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）计算：
（1）﹣7+3﹣（﹣1）﹣9；
（2）（﹣1）3+32÷（1﹣3）×2．
【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加法即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+1﹣9
＝﹣3﹣9
＝﹣12；
（2）原式＝﹣1+9÷（﹣2）×2
＝﹣1﹣9
＝﹣10．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（8分）解方程：
（1）5y+5＝9﹣3y；
（2）x-32=23x-1．
【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得y的值；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：（1）5y+5＝9﹣3y，
5y+3y＝9﹣5，
8y＝4，
y=12；
（2）x-32=23x-1，
3（x﹣3）＝4x﹣6，
3x﹣9＝4x﹣6，
3x﹣4x＝﹣6+9，
﹣x＝3，
x＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
19．（6分）糖果厂生产了一批水果糖，把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如表所示：
每袋装的颗数
20
30
40
50
60
…
总袋数
300
200
150
120
100
…
（1）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？
（2）设每袋装的颗数为m，总袋数为n，若m＝80，求n的值．
【分析】（1）根据表格中的数据即可得到总袋数是怎样随着每袋装的颗数而变化的；
（2）根据每袋装的颗数乘总袋数，用式子表示n与m的关系，然后把m＝80代入即可得到结论．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知，
总袋数是随着每袋装的颗数的增大而减小；
（3）从表格中得到，mn＝6000，
∴n=6000m，
当m＝80时，n=600080=75．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是找到题中的数量关系．
20．（8分）已知|2x﹣1|+（3y+7）2＝0，设M=12x+3(-x+512y2)-5(32x+14y2)，求M的值．
【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性，可以求出x、y的值，然后将M去括号、合并同类项，对式子进行化简，然后将x、y的值代入计算即可．
【解答】解：因为|2x﹣1|+（3y+7）2＝0，
所以2x﹣1＝0，3y+7＝0，
所以x=12，y=-73，
M=12x+3(-x+512y2)-5(32x+14y2)
=12x-3x+54y2-152x-54y2
＝﹣10x；
M=-10×12=-5．
【点评】本题考查了整式的加减、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是掌握整式加减的计算法则．
21．（10分）如图，已知线段a，b．
（1）尺规作图：作线段AB，BC，使得AB＝a，BC＝b，且A，B，C三点在同一条直线上（请画出所有符合要求的图形，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若a＝6，b＝2，D为AB的中点，求线段CD的长．

【分析】（1）根据题意分两种情形作出图形即可；
（2）分两种情形分别求出BD，再利用线段和差定义求解．
【解答】解：（1）图形如图1，2所示；

（2）如图1中，∵D是AB的中点，
∴DB=12AB＝3，
∵BC＝2，
∴CD＝DB+BC＝3+2＝5；
如图2中，∵D是AB的中点，
∴DB=12AB＝3，
∵BC＝2，
∴CD＝DB﹣BC＝3﹣2＝1；
综上所述，CD的长为5或1．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某班共有学生48人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人．
（1）求该班女生的人数；
（2）劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身13个或盒底22个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【分析】（1）设该班女生的人数为x，男生的人数为y，根据共有学生48人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设有m名男生去支援女生，根据每名学生一节课能做盒身13个或盒底22个，女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，m名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该班女生的人数为x，男生的人数为y，
由题意得：x+y=48y=2x-9，
解得：x=19y=29，
答：该班女生的人数为19；
（2）设有m名男生去支援女生，
由题意得：13（19+m）×2＝22（29﹣m），
解得：m＝3，
答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（10分）在长方形纸片ABCD中，AB＝m，AD＝8（m＞8），将两张边长分别为n和3（n＞3）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．
（1）请用含m，n的式子表示图1中BF，EF的长；
（2）用含m，n的式子表示图1中的阴影部分的面积S1；
（3）若S2﹣S1＝3，求m的值．

【分析】（1）根据图形中线段的数量关系，可得答案；
（2）用长方形面积减去空白部分的面积即可．
（3）利用图形的面积关系分别表示出S1，S2，再利用整式的混合运算计算它们的差即可．
【解答】解：（1）EF＝n+3﹣m，BF＝3﹣（n+3﹣m）
＝3﹣n﹣3+m
＝m﹣n；
（2）S1＝8m﹣n2﹣3（m﹣n）
＝8m﹣n2﹣3m+3n
＝5m+3n﹣n2；
（3）S2＝8m﹣n2﹣3（8﹣n）
＝8m﹣n2﹣24+3n；
由S2﹣S1＝3得8m﹣n2﹣24+3n﹣5m﹣3n+n2＝3，
3m＝27，
解得m＝9．
【点评】本题考查了整式加减的应用，利用图形，正确列式是解题的关键．
24．（12分）如图，点A，B，C是数轴上顺次的三个点，动点P，Q分别从B点和C点同时出发沿数轴向左运动，点P和点Q的速度分别为1个单位/秒和2个单位/秒，设运动时间为t秒，点D是PQ的中点．
（1）若BC＝4，当t取何值时，点Q追上点P？
（2）当点P，Q在线段AC上运动时，若AP=13AB，CQ=13BC，且BC＝AB+m（m＞0），求BD的长（用含m的代数式表示）；
（3）若BC＝2AB＝4，设S＝k•PD﹣PA，是否存在常数k，使得S在某段时间内为定值？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）当点Q追上点P时，两点所走路程相同，建立方程求解即可；
（2）由BP＝t，CQ＝2t，结合题意可知AB=32t，BC＝6t，BQ＝4t，再利用BC＝AB+m找到t和m的关系，进而求出BD=32t即可得解；
（3）利用数轴表示出A、B、C、P、Q、D，进而求出PD和PA长度，再根据题干条件表示出S，分类讨论去绝对值求解即可．
【解答】解：（1）由题可知BP＝t，CQ＝2t，
∵BC＝4，
∴2t＝t+4，
解得t＝4，
即当t＝4时，点Q追上点P；
（2）∵AP=13AB，且BP＝t，
∴AP=12t，
∴AB＝AP+BP=32t，
∵CQ=13BC＝2t，
∴BC＝6t，BQ＝4t，
∵BC＝AB+m，
∴6t=32t+m，
∴t=29m，
∵PQ＝BP+BQ＝5t，D为PQ中点，
∴PD=12PQ=52t，
∴BD＝PD﹣BP=32t=32×29m=13m；
（3）∵BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
如图，以B为原点建立数轴，则A表示的数为﹣2，C表示的数为4，

∴动点P表示的数为﹣t，Q表示的数为4﹣2t，
∴点D表示的数为-t+4-2t2=2-32t，
∴PD＝|2-12t|，PA＝|2﹣t|，
则S＝k•PD﹣PA＝k•|2-12t|﹣|2﹣t|，
令2-12t＝0，得t＝4，
令2﹣t＝0，得t＝2，
①当0＜t＜2时，
S＝k（2-12t）﹣（2﹣t）＝（1-12k）t+2k﹣2，
当1-12k＝0，即k＝2时，S＝2是定值；
②当2≤t≤4时，
S＝k（2-12t）﹣（t﹣2）＝（﹣1-12k）t+2k+2，
当﹣1-12k＝0，即k＝﹣2时，S＝﹣2为定值；
③当t＞4时，
S＝k（12t﹣2）﹣（t﹣2）＝（12k﹣1）t﹣2k+2，
当12k﹣1＝0，即k＝2时，S＝﹣2为定值，
综上所述，k＝±2时，S为定值．
【点评】本题主要考查了一元一次方程几何动点问题的应用、数轴、线段和差问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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