2021-2022学年广东省广州市黄埔区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知点A坐标为（3，﹣2），点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，2）
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（x3）2＝x5 B．（﹣x）5＝﹣x5
C．x3•x2＝x6 D．3x2+2x3＝5x5
4．（3分）下列各式：，，，中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
6．（3分）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（x﹣y）（﹣x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m）
7．（3分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
8．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
9．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
10．（3分）如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（　　）

A．50° B．60° C．65° D．30°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分满分18分。）
11．（3分）计算：
（1）x2•x6＝　 　；
（2）a2n•an+1＝　 　；
（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝　 　．
12．（3分）计算：（1）（2x）3＝　 　；（2）（﹣5a2b）（﹣3a）＝　 　（3）（ab）5÷（ab）2＝　 　．
13．（3分）分解因式：（1）ax+ay＝　 　；（2）＝　 　；（3）＝　 　．
14．（3分）已知△ABC的面积为10，D为AC中点，则△ABD的面积为 　 　．
15．（3分）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长度为　 　．
16．（3分）如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝30°，∠ABD＝15°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）尺规作图：如图，已知△ABC，作BC边的垂直平分线交AB于点D，连接DC．（不写作法，保留作图痕迹）．

18．（4分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）（x+5），其中x＝．
19．（6分）解方程：．
20．（6分）计算：．
21．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P的位置．

22．（10分）已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
23．（10分）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
24．（12分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．

25．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC上一点，DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线．
（1）∠DEA＝　 　；（需说明理由）
（2）求证：CE＝EB；
（3）探究CD、DA、AB三条线段之间的数量关系，并说明理由．

2021-2022学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）已知点A坐标为（3，﹣2），点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，2）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：∵点A坐标为（3，﹣2），点B与点A关于x轴对称，
∴点B的坐标为：（3，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（x3）2＝x5 B．（﹣x）5＝﹣x5
C．x3•x2＝x6 D．3x2+2x3＝5x5
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式＝x6，故本选项错误；
B、原式＝﹣x5，故本选项正确；
C、原式＝x5，故本选项错误；
D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3分）下列各式：，，，中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义判断即可得出答案．
【解答】解：，，的分母中含有字母，
的分母π是数字，
符合题意的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握π是数字是解题的关键．
5．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角，进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应角是解题关键．
6．（3分）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（x﹣y）（﹣x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、不能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、能用平方差公式，故此选项符合题意；
D、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
7．（3分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7，
即这个多边形为七边形．
故选：C．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
8．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：B．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
9．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
【分析】本题利用平行线的性质，得出∠A的同位角∠DOE的大小，再借助外角的性质，得出∠C的大小，
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠DOE＝∠A＝45°，
∵∠DOE是△EOC的外角，
∴∠DOE＝∠C+∠E，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DOE＝×45°＝22.5°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质及外角的性质，解题关键是熟记平行线的性质及把握∠DOE＝∠C+∠E．
10．（3分）如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（　　）

A．50° B．60° C．65° D．30°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C，AD＝AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ADE＝∠ADC＝∠C＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C，AD＝AC，
∴∠DAC＝∠EAB＝50°，
∴∠ADE＝∠ADC＝∠C＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分满分18分。）
11．（3分）计算：
（1）x2•x6＝　x8　；
（2）a2n•an+1＝　a3n+1　；
（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝　26　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”计算即可．
【解答】解：（1）x2•x6＝x2+6＝x8；
故答案为：x8；
（2）a2n•an+1＝a2n+n+1＝a3n+1；
故答案为：a3n+1；
（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝（﹣2）1+2+3＝（﹣2）6＝26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的运算法则，侧重考查考生的运算能力，掌握计算方法，细心计算是做对题目的关键．
12．（3分）计算：（1）（2x）3＝　8x3　；（2）（﹣5a2b）（﹣3a）＝　15a3b　（3）（ab）5÷（ab）2＝　a3b3　．
【分析】（1）原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果；
（2）原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；
（3）原式利用同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝23x3＝8x3；
（2）原式＝（﹣5）×（﹣3）•（a2a）•b＝15a3b；
（3）原式＝（ab）3＝a3b3．
故答案为：（1）8x3；（2）15a3b；（3）a3b3．
【点评】此题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
13．（3分）分解因式：（1）ax+ay＝　a（x+y）　；（2）＝　（a+）（a﹣）　；（3）＝　　．
【分析】（1）利用提公因式法解答即可；
（2）利用平方差公式解答即可；
（3）利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）ax+ay＝a（x+y）；
（2）＝（a+）（a﹣）；
（3）＝．
故答案为：（1）a（x+y）；（2）（a+）（a﹣）；（3）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和乘法公式是解答本题的关键．
14．（3分）已知△ABC的面积为10，D为AC中点，则△ABD的面积为 　5　．
【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解．
【解答】解：∵D为AC中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．（3分）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长度为　10　．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PD．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝10．
故答案为：10．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．（3分）如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝30°，∠ABD＝15°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是 　2　．

【分析】作点Q关于AD的对称点Q'，则点Q'在A上运动，连接PQ'，则PQ'＝PQ，所以PQ+PC＝PQ'+PC≥CQ'，当CQ'⊥AB时，CQ'最短，据此解答即可．
【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q'，
∵∠ABC＝30°，∠ABD＝15°，
∴点Q'在A上运动，
连接PQ'，则PQ'＝PQ，
∴PQ+PC＝PQ'+PC≥CQ'，
当CQ'⊥AB时，CQ'最短，
∴CQ'＝＝＝2，
即PQ+PC的最小值是2．
故答案为：2．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）尺规作图：如图，已知△ABC，作BC边的垂直平分线交AB于点D，连接DC．（不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】利用基本作图，作线段BC的垂直平分线即可．
【解答】解：如图，CD为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．（4分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）（x+5），其中x＝．
【分析】先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）（x+5）
＝x2﹣4﹣x2﹣5x+x+5
＝﹣4x+1，
当x＝时，原式＝﹣4×+1＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（6分）解方程：．
【分析】本题考查解分式方程的能力．因为x2+x＝x（x+1），所以可得方程最简公分母为x（x+1）．然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．
【解答】解：原方程可化为：．
去分母得：5x+2＝3x，
解得：x＝﹣1．
经检验，x＝﹣1是原方程的增根．
∴原方程无解．
【点评】将分式方程转化为整式方程的关键是去分母，而确定最简公分母是去分母的首要前提，因此要根据方程所给分母准确最简公分母．方程分母是多项式的要先进行因式分解，再去确定最简公分母．
20．（6分）计算：．
【分析】先把分母因式分解，再把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
21．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P的位置．

【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质分别作出B、D关于直线AC的对称点B′、D′，从而得到四边形AB′CD′；
（2）利用两个三角形的面积和去计算四边形ABCD的面积；
（3）连接ED′交直线AC于P，利用两点之间线段最短可判断点P满足条件．
【解答】解：（1）如图，四边形AB′CD′为所作；

（2）S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝×6×2+×6×1
＝9；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22．（10分）已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
【分析】（1）依据完全平方公式可知x2+y2＝（x+y）2﹣2xy即可求解；
（2）由题意可知m的值，再依据完全平方公式的特点“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知n．
【解答】解：（1）∵xy＝4，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+y2+2×4＝25，
∴x2+y2＝17．

（2）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣2×4＝9，
∴m＝9，
∵4a2+na+m＝4a2+na+9是完全平方式，
∴na＝±2×2a×3＝±12a，
∴n＝±12．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键在于要理解它的特征，灵活运用．
23．（10分）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
【分析】设第一批口罩每包的价格是x元，则第二批口罩每包（x﹣5）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批口罩的数量是第一批的2倍，即可得出关于x的分式方程，解出检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣5）元．
根据题意得：
，
解得：x＝25，
经检验x＝25是所列方程的根，
＝480（包），
答：第一批口罩每包的价格是25元，公司前后两批一共购进480包口罩．
【点评】本题考查了分式方程的应用，抓住第二批口罩的数量是第一批的2倍，找到相等关系是解决问题的关键．
24．（12分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．

【分析】（1）根据SSS即可得出结论；
（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论；
（3）由∠BOA＝∠DOA判断出AC⊥BD，即可求出答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，
证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA；

（3）由（2）知，∠BOA＝∠DOA，
∵∠BOA+∠DOA＝180°，
∴∠BOA＝90°，
即AC⊥BD，
∴“筝形”ABCD的面积为BD•AC＝×4×6＝12．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC上一点，DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线．
（1）∠DEA＝　90°　；（需说明理由）
（2）求证：CE＝EB；
（3）探究CD、DA、AB三条线段之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的判定定理得到CD∥AB，根据平行线的性质得到∠CDA+∠BAD＝180°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）过作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质即可得到结论；
（3）由（2）知，CE＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据全等三角形的性质得到CD＝DF，同理，AF＝AB，于是得到结论．
【解答】（1）解：∠DEA＝90°，
理由：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠C+∠B＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∵DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线，
∴∠FDE＝CDA，∠FAE＝BAD，
∴∠FDE+∠FAE＝（∠CDF+∠BAF）＝＝90°，
∴∠DEA＝90°，
故答案为：90°；
（2）证明：过作EF⊥AD于F，
∵DE、AE分别为∠ADC、∠DAB的平分线，∠B＝∠C＝90°，
∴CE＝EF，BE＝EF，
∴CE＝BE；
（3）解：AD＝CD+AB，
理由：由（2）知，CE＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，
∵ED＝ED，
∴Rt△CDE≌Rt△FDE（HL），
∴CD＝DF，
同理，AF＝AB，
∵AD＝DF+AF，
∴AD＝CD+AB．

【点评】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
第22页（共22页）