常微分方程 二阶线性微分方程习题课.ppt

*,定理,1,线性微分方程的解的结构,二阶线性微分方程,定理,2,线性无关解，,齐次方程通解：,非齐次方程通解：,定理,4,定理,3,定理,5,1,例,1,都是方程,:,求此方程的,通解,.,的解,二阶线性微分方程,齐次,方程的特解,.,非齐次,线性方程的两个特解之差,是对应,非齐次,方程的通解：,齐次,线性方程的通解：,解,线性无关,.,2,(3),根据特征根的不同情况，得到相应的通解。,(1),相应的特征方程,(2),求特征根，,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,二阶线性微分方程,3,解,特征方程,通解：,例,2,特征根,二阶线性微分方程,4,解,特征方程,通解：,例,3,特征根,二阶线性微分方程,5,例,4,解初值问题,解,特征方程,特征根,方程的通解：,(,二重根,),特解,二阶线性微分方程,6,例,5,求方程,解,的通解,.,特征方程,所求通解,:,特征根,和,二阶线性微分方程,7,特征根,所求通解,:,解,特征方程,例,6,二阶线性微分方程,8,解：,特征根,求微分方程 的通解,.,特征方程,二阶常系数齐次线性方程,通解,或,:,设,例,7,二阶线性微分方程,9,不是根,是单根,是重根,二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性方程,10,解,对应,齐次,方程通解,特征方程,特征根,(1),求对应,齐次,方程的通解,(2),求,非齐次,方程的解,例,8,二阶线性微分方程,11,代入方程,原方程通解：,对应,齐次,方程通解,二阶线性微分方程,例,8,12,解,对应,齐次,方程通解,特征方程,特征根,例,9,(1),求对应,齐次,方程的通解,(2),求,非齐次,方程的特解,二阶线性微分方程,13,代入方程,得,原方程通解：,对应,齐次,方程通解,二阶线性微分方程,例,9,14,解,对应,齐次,方程通解,特征方程,特征根,(1),求对应,齐次,方程的通解,例,10,二阶常系数线性非齐次方程,二阶线性微分方程,15,(2),求,非齐次,方程的特解,(3),求,原方程,的特解,原方程通解：,例,10,二线性微分方程,16,提示,根椐线性微分方程的性质,两个特解的和就是原方程的特解,.,特解。,的一个,是微分方程,1,),(,+,=,-,x,e,y,y,练习,二阶线性微分方程,17,微分方程,的特解,解,特征方程,特征根,对应的,齐次,微分方程,练习,x,e,x,y,y,y,2,3,2,3,-,=,+,-,x,y,y,y,3,2,3,=,+,-,x,e,y,y,y,2,2,3,-,=,+,-,0,2,3,=,+,-,y,y,y,二阶线性微分方程,18,练习,是二阶常系数微分方程,满足初始条件,的特解,函数,的极限,(,A,),不存在,.,(,B,),等于,1.,(,C,),等于,2.,(,D,),等于,3.,解,),(,x,y,y,=,设,x,e,qy,y,p,y,3,=,+,+,0,),0,(,),0,(,=,=,y,y,x,e,qy,y,p,y,3,),0,(,),0,(,),0,(,=,+,+,二高阶线性微分方程,19,解,两端再对,x,求导,积分方程,微分方程,积分方程,二阶常系数非齐次线性方程,.,练习,二阶线性微分方程,20,(1),验证函数,满足微分方程,(2),求幂级数,解,(1),;,x,e,y,y,y,=,+,+,练习,二阶线性微分方程,21,解,(2),相应的,齐次,微分方程,特征方程,特征根,x,e,y,y,y,=,+,+,0,=,+,+,y,y,y,非齐次,方程的特解：,代入方程,通解,二阶线性微分方程,22,解,特征方程,特征根,(1),求对应,齐次,方程的通解,(,二重,),练习,二阶线性微分方程,23,(2),求,非齐次,方程的特解,原方程通解：,特征根,不是特征根,.,代入方程,二阶线性微分方程,24,原方程通解：,特征根,是,二重特征根,.,代入方程,二阶线性微分方程,25,