2019-2020学年广东广州越秀区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2019-2020 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的
1．（3 分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A． B．
C． D．
2．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2﹣4x﹣5＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x+2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
3．（3 分）若将抛物线 y＝5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
4．（3 分）已知 A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+k 图象上两点，且 x1
＜x2＜1，则下列说法正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0 5．（3 分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上B．弦是直径
C．等边三角形的中心角是 120°

D．位似的两个三角形的对应边互相平行

6．（3 分）如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与直线 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、 D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 BF＝（ ）

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第30页,共30页

A．7 B．7.5 C．8 D．8.5

7．（3 分）如图，在△ABC 中，CD，BE 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的中线，则＝
（ ）

A． B． C． D．
8．（3 分）如图，AB、AC 为⊙O 的两条切线，∠BAC＝50°，点 D 是上一点、则∠BDC的大小是（ ）

A．100° B．110° C．115° D．125°

9．（3 分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED＝1 寸），锯道长 1 尺（AB
＝1 尺＝10 寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径 AC 是（ ）

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A．13 寸 B．20 寸 C．26 寸 D．28 寸

10．（3 分）如图，BD 为矩形 ABCD 的对角线，将△BCD 沿 BD 翻折得到△BC′D，BC′与边 AD 交于点 E．若 AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣4x+m
＝0 的两个实根，则 m 的值是（ ）

A．3 B． C． D．2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分

11．（3 分）关于 x 的方程（m+1）x2+2mx+1＝0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ．
12．（3 分）在平面直角坐标系中，有两点 A（1，2），B（3，1）．以原点 O 为位似中心，将

△ OAB 放大为原来的 3 倍，得到△ OA'B' ， 则点 A 的对应点 A ′的坐标是 ．
13．（3 分）一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是 ．
14．（3 分）若圆锥的底面半径是 2，侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
15．（3 分）如图，已知点 B（3，3）、C（0，6）是抛物线 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）上两点，A
是抛物线的顶点，P 点是 x 轴上一动点，当 PA+PB 最小时，P 点的坐标是 ．

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16．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，AB+BC＝8，则四边形

ABCD 的面积是 ．

三、解答题：本题共 9 小题，共 102 分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.

17．（9 分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
18．（9 分）在平面直角坐标系中，△OAB 的位置如图所示，且点 A（﹣3，4），B（2，1），将△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△OA'B′．
（1） 在图中画出△OA'B'；

（2） 求点 A 在旋转过程中所走过的路线长．

19．（10 分）已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3．
（1） 该抛物线的对称轴是 ；

（2） 选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
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x
…

…
y
…

…
（3） 根据函数的图象，直接写出不等式﹣x2+2x+3＞0 的解．

20．（10 分）如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，∠ADE＝60°．

（1） 求证：∠BAD＝∠CDE；

（2） 若 BD＝4，CE＝2，求△ABC 的边长．

21．（12 分）有 A、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字﹣1，0，1，2；B 布袋中有二个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 0，1．小明先从 A 布袋中随机取出一个小球，用 m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的球上标有的数字．
（1） 若用（m，n）表示小明取球时 m 与 n 的对应值，请用树状图或列表法表示（m，n） 的所有取值；
（2） 求关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx+n＝0 有实数根的概率．
22．（12 分）有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用

如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元，依此类推，即每多买一台，则所买各台单价均再减 20 元；乙公司一律按原售价的 75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
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（1） 若此单位需购买 4 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？

（2） 若该单位计划购买 m 台图形计算器，经过对比发现，在两家公司购买相差 480 元， 试求 m 的值．
23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6

（1） 动手操作：利用尺规作以 BC 为直径的⊙O，并标出⊙O 与 AB 的交点 D，与 AC 的交点 E，连接 DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 综合应用：在你所作的圆中，

①求证：DE∥BC；

②求线段 DE 的长．

24．（14 分）如图，抛物线 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OC＝2OB，点 D 为线段 OB 上一动点（不与点 B 重合），过点 D 作矩形 DEFH，点 H、F 在抛物线上，点 E 在 x 轴上．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积；

（3） 在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、N，连接 M、N．若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积， 求 m 的值．
25．（14 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点 E 为边 CD 上一动点，过点 C 作 AE 的垂线交 AE 的延长线于点 F．
（1） 求∠D 的度数；

（2） 若点 E 为 CD 的中点，求 EF 的值；
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（3） 当点 E 在线段 CD 上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

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2019-2020 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的
1．（3 分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A． B．
C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误． 故选：A．
【点评】本题主要考查对中心对称图形和轴对称图形的理解和掌握，能正确判断一个图形是否是中心对称图形和轴对称图形是解此题的关键．
2．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2﹣4x﹣5＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x+2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【分析】移项，配方，再变形，即可得出选项．

【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， x2﹣4x＝5， x2﹣4x+4＝5+4，
（x﹣2）2＝9， 故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
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3．（3 分）若将抛物线 y＝5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
【分析】根据平移规律，可得答案．

【解答】解：y＝5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 y＝5（x﹣2）2+1，
故选：A．

【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．（3 分）已知 A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+k 图象上两点，且 x1
＜x2＜1，则下列说法正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0
【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线 x＝1，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，于是可判断 y1 与 y2 的大小．
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+k 图象的对称轴为直线 x＝1， 开口向下，而 x1＜x2＜1，
∴y1＜y2，
即 y1﹣y2＜0． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较 y1 与 y2 的大小．
5．（3 分）下列事件为必然事件的是（ ）

A．掷一枚硬币，正面朝上B．弦是直径
C．等边三角形的中心角是 120°

D．位似的两个三角形的对应边互相平行

【分析】直接利用位似变换和平行线的性质、随机事件的定义分析得出答案．

【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；

B、弦是直径，是随机事件，不合题意；
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C、等边三角形的中心角是 120°，是必然事件；

D、位似的两个三角形的对应边互相平行，是随机事件，不合题意． 故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换和平行线的性质、随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
6．（3 分）如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与直线 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、 D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 BF＝（ ）

A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【分析】由直线 a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由 AC＝4， CE＝6，BD＝3，即可求得 DF 的长，则可求得答案．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴，
解得：DF＝ ，
∴BF＝BD+DF＝3+ ＝7.5．
故选：B．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7．（3 分）如图，在△ABC 中，CD，BE 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的中线，则＝
（ ）

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A． B． C． D．
【分析】根据中位线的性质得：DE∥BC，DE＝ BC，从而得：△DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．
【解答】解：∵CD，BE 分别是△ABC 的边 AB，AC 上中线，

∴D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，

∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△DEF∽△CBF，

∴＝ ＝， 故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
8．（3 分）如图，AB、AC 为⊙O 的两条切线，∠BAC＝50°，点 D 是上一点、则∠BDC的大小是（ ）

A．100° B．110° C．115° D．125°
【分析】如图连接 OB、OC．首先求出∠BOC，再根据∠BD′C＝∠BOC，∠BDC+∠
BD′C＝180°，即可解决问题．

【解答】解：如图连接 OB、OC．

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∵AB、AC 是⊙O 的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，

∴∠ABO＝∠ACO＝90°，

∵∠BAC＝50°，

∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠BD′C＝ ∠BOC＝65°，
∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°， 故选：C．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有一题多解．
9．（3 分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED＝1 寸），锯道长 1 尺（AB
＝1 尺＝10 寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径 AC 是（ ）

A．13 寸 B．20 寸 C．26 寸 D．28 寸

【分析】设⊙O 的半径为 r 寸．在 Rt△ADO 中，AD＝5 寸，OD＝（r﹣1）寸，OA＝r 寸，则有 r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O 的半径为 r 寸．
在 Rt△ADO 中，AD＝5 寸，OD＝（r﹣1）寸，OA＝r 寸，

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r ＝ + r﹣ ， 解得 r＝13，
∴⊙O 的直径为 26 寸， 故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．（3 分）如图，BD 为矩形 ABCD 的对角线，将△BCD 沿 BD 翻折得到△BC′D，BC′与边 AD 交于点 E．若 AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣4x+m
＝0 的两个实根，则 m 的值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【分析】利用根与系数的关系得到 x1+x2＝4，x1x2＝m，AB+BC＝4，m＝AB× BC， 再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则 EB＝ED＝3，所以 AE＝AD
﹣DE＝5﹣2AB，利用勾股定理得到 AB2+（5﹣2AB）2＝32，解得 AB＝或 AB＝ （舍去），则 BC＝，然后计算 m 的值．
【解答】解：∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣4x+m＝0 的两个实根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝m，
即 AB+BC＝4，m＝AB× BC，
∵△BCD 沿 BD 翻折得到△BC′D，BC′与边 AD 交于点 E，

∴∠CBD＝∠EBD，

∵AD∥BC，

∴∠CBD＝∠EDB，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴EB＝ED＝3，

在 Rt△ABE 中，AE＝AD﹣DE＝BC﹣3＝8﹣2AB﹣3＝5﹣2AB，
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∴AB2+（5﹣2AB）2＝32，解得 AB＝ 或 AB＝ （舍去），
∴BC＝8﹣2AB＝ ，
∴m＝ ××＝． 故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
两根时，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分
11．（3 分）关于 x 的方程（m+1）x2+2mx+1＝0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 m≠
﹣1 ．

【分析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程．
12．（3 分）在平面直角坐标系中，有两点 A（1，2），B（3，1）．以原点 O 为位似中心，将

△OAB 放大为原来的 3 倍，得到△OA'B'，则点 A 的对应点 A′的坐标是 （3，6）或（﹣

3，﹣6） ．

【分析】直接利用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 A′的坐标．

【解答】解：∵以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 3 倍，得到△OA'B'，A（1，

2），

∴点 A 的对应点 A′的坐标是：（3，6）或（﹣3，﹣6）．故答案为：（3，6）或（﹣3，﹣6）．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
13．（3 分）一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是 m+n＝10 ．
【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．

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【解答】解：∵一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
∴m 与 n 的关系是：m+n＝10． 故答案为：m+n＝10．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．

14．（3 分）若圆锥的底面半径是 2，侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的母线长是 6 ．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
则： ＝4π， 解得 l＝6．
故答案为：6．

【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面

周长；弧长公式为： ．
15．（3 分）如图，已知点 B（3，3）、C（0，6）是抛物线 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）上两点，A
是抛物线的顶点，P 点是 x 轴上一动点，当 PA+PB 最小时，P 点的坐标是 （2.4，0） ．

【分析】根据点 B（3，3）、C（0，6）是抛物线 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点 A 的坐标，然后即可得到点 A 关于 x 轴的对称点的坐标，则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标与点 B 所连直线与 x 轴的交点即为所求的点P 的坐标．
【解答】解：∵点 B（3，3）、C（0，6）是抛物线 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）上两点，

第15页（共30页）

∴ ，得 ，
∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点 A 的坐标为（2，2），

点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为（2，﹣2），

则点（2，﹣2）与点 B（3，3）所连直线与 x 轴的交点即为所求的点 P，此时 PA+PB 最小，
设过点（2，﹣2）与点 B（3，3）的直线解析式为 y＝kx+b，
，得 ，
即过点（2，﹣2）与点 B（3，3）的直线解析式为 y＝5x﹣12， 当 y＝0 时，0＝5x﹣12，得 x＝2.4，
∴点 P 的坐标为（2.4，0），故答案为：（2.4，0）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，AB+BC＝8，则四边形

ABCD 的面积是 16 ．

【分析】连接 AC，由于 S 四边形 ABCD＝S△ABC+S△ADC＝BC•AB+ CD×AD＝ BC• AB+ AD2＝ BC•AB+ CD2，由 AB+BC＝8，求出 BC2+AB2+2BC×AB＝64，可得到 4S
△ABC+4S△ACD＝64，即可得到结论．
【解答】解：连接 AC，

第16页（共30页）

∵∠B＝∠D＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴ S 四边形 ABCD ＝ S △ ABC+S △ ADC ＝ BC • AB+ CD × AD ＝ BC • AB+ AD2 ＝ BC • AB+ CD2，
＝ ．
∵AB+BC＝8，

∴BC2+AB2+2BC×AB＝64，
∴4S△ABC+4S△ACD＝64，
∴S 四边形 ABCD＝S△ABC+S△ADC＝16． 故答案为：16．
【点评】本题考查了勾股定理，四边形的面积，三角形的面积，等积变换，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：本题共 9 小题，共 102 分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.

17．（9 分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】利用因式分解法把原方程化为 x﹣2＝0 或 2x+1＝0，然后解两个一次方程即可．

【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝0，

x﹣2＝0 或 2x+1＝0，
所以 x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（9 分）在平面直角坐标系中，△OAB 的位置如图所示，且点 A（﹣3，4），B（2，1），

将△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△OA'B′．
第17页（共30页）

（1） 在图中画出△OA'B'；

（2） 求点 A 在旋转过程中所走过的路线长．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B 的对应点 A′、B′即可；

（2）先利用勾股定理计算出 OA，然后根据弧长公式计算．

【解答】解：（1）如图，△OA'B'为所作；

（2）OA＝ ＝5，
点 A 在旋转过程中所走过的路线长＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．（10 分）已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3．
（1） 该抛物线的对称轴是 直线 x＝1 ；

（2） 选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
第18页（共30页）

x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（3） 根据函数的图象，直接写出不等式﹣x2+2x+3＞0 的解．

【分析】（1）利用二次函数的对称轴方程求解；

（2） 分别计算出自变量为﹣1，0，1，2，3 对应的函数值，然后描点即可；

（3） 观察函数图象，写出 HA 图象在 x 轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝1；
（2）当 x＝﹣1 时，y＝﹣x2+2x+3＝0； 当 x＝0 时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当 x＝1 时，y＝﹣x2+2x+3＝4； 当 x＝2 时，y＝﹣x2+2x+3＝3； 当 x＝3 时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
故答案为直线 x＝1；﹣1，0，1，2，3；0，3，4，3，0； 如图，

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（3）当﹣1＜x＜3 时，y＞0，

所以不等式﹣x2+2x+3＞0 的解集为﹣1＜x＜3、
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，也可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
20．（10 分）如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，∠ADE＝60°．

（1） 求证：∠BAD＝∠CDE；

（2） 若 BD＝4，CE＝2，求△ABC 的边长．

【分析】（1）根据三角形的外角性质即可求证．

（2）根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．

【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，

∵∠B＝∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠EDC．

（2）∵∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C，

∴△ABD∽△DCE，
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∴ ，

设 AB＝x，
∴，
解得：x＝8，

∴△ABC 的边长为 8．

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
21．（12 分）有 A、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字﹣1，0，1，2；B 布袋中有二个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 0，1．小明先从 A 布袋中随机取出一个小球，用 m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的球上标有的数字．
（1） 若用（m，n）表示小明取球时 m 与 n 的对应值，请用树状图或列表法表示（m，n） 的所有取值；
（2） 求关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx+n＝0 有实数根的概率．
【分析】（1）依据题意先画出树状图得出所有等可能的结果数即可；

（2）利用 m，n 的值确定△≥0 时的个数，根据概率公式求出该事件的概率．

【解答】解：（1）画树状图如下：

由图表知，（m，n）有 8 种可能；

（2）由方程得Δ＝m2﹣2n，
当（m，n）的对应值是（﹣1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（2，1）时，△≥0，原方程有实数根，
则关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx+n＝0 有实数根的概率是．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实
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验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．（12 分）有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用

如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元，依此类推，即每多买一台，则所买各台单价均再减 20 元；乙公司一律按原售价的 75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1） 若此单位需购买 4 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？

（2） 若该单位计划购买 m 台图形计算器，经过对比发现，在两家公司购买相差 480 元， 试求 m 的值．
【分析】（1）根据两家公司的促销方案，分别求出去两家公司购买 4 台图形计算器的花费，再比较即可求解；
（2）分两种情况进行讨论：①在甲公司比在乙公司购买多花费 480 元；②在乙公司比在

甲公司购买多花费 480 元．

【解答】解：（1）在甲公司购买 4 台图形计算器需要用 4×（800﹣20×4）＝2880（元），在乙公司购买需要用 75%×800×4＝2400（元）＜2880（元），
∴应去乙公司购买花费较少；

（2）设该单位计划购买 m 台图形计算器，

若在甲公司购买则需要花费 m（800﹣20m）元；

若在乙公司购买则需要花费 75%×800m＝600m 元；

①当在甲公司比在乙公司购买多花费 480 元时，

m（800﹣20m）﹣600m＝480， 整理得，m2﹣10m+24＝0，
解得，m1＝4，m2＝6，均符合题意；
②当在乙公司比在甲公司购买多花费 480 元时，

600m﹣m（800﹣20m）＝480， 整理得，m2﹣10m﹣24＝0，
解得 m1＝12，m2＝﹣2（不合题意舍去），故所求 m 的值为 4 或 6 或 12．
【点评】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费＝单价×

数量这一等量关系，解决此题就会比较容易．注意第二问需分两种情况进行讨论．
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23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6

（1） 动手操作：利用尺规作以 BC 为直径的⊙O，并标出⊙O 与 AB 的交点 D，与 AC 的交点 E，连接 DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 综合应用：在你所作的圆中，

①求证：DE∥BC；

②求线段 DE 的长．

【分析】（1）根据尺规作以 BC 为直径的⊙O，标出⊙O 与 AB 的交点 D，与 AC 的交点 E， 连接 DE 即可；
（2）①根据等腰三角形的性质即可求证明 DE∥BC；

②根据三角形的面积和勾股定理即可求线段 DE 的长．

【解答】解：如图所示，

（1） ⊙O 即为所求作的图形；
（2） ①∵在△ABC 中，AB＝AC

∴∠ABC＝∠C

∴＝

∴＝

∴DE∥BC；

②∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC
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∴ ＝ ．

∵AB＝AC＝5，BC＝6

∴OB＝OC＝OE＝3

∴AO＝4， 连接 BE，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴S△ABC＝ ＝，
∴5BE＝24，
∴BE＝ ，
在 Rt△AEB 中，根据勾股定理，得 AE2+EB2＝AB2
即 AE2+（）2＝52 解得 AE＝
∴＝
解得 DE＝．
答：线段 DE 的长为．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，解决本题的关键是根据语句准确画图并利用以上知识证明．
24．（14 分）如图，抛物线 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OC＝2OB，点 D 为线段 OB 上一动点（不与点 B 重合），过点 D 作矩形 DEFH，点 H、F 在抛物线上，点 E 在 x 轴上．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积；

（3） 在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、N，连接 M、N．若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积， 求 m 的值．
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【分析】（1）先求出点 C 的坐标，由 OC＝2OB，可推出点 B 坐标，将点 B 坐标代入 y

＝ax2+（4a﹣1）x﹣4 可求出 a 的值，即可写出抛物线的解析式；
（2） 设点 D 坐标为（x，0），用含 x 的代数式表示出矩形 DEFH 的周长，用函数的思想求出取其最大值时 x 的值，即求出点 D 的坐标，进一步可求出矩形 DEFH 的面积；
（3） 如图，连接 BH，EH，DF，设 EH 与 DF 交于点 G，过点 G 作 BH 的平行线，交ED 于 M，交 HF 于点 N，则直线 MN 将矩形 DEFH 的面积分成相等的两半，依次求出直线 BH，MN 的解析式，再求出点 M 的坐标，即可得出 m 的值．
【解答】解：（1）在抛物线 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4 中，当 x＝0 时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），

∴OC＝4，

∵OC＝2OB，

∴OB＝2，

∴B（2，0），
将 B（2，0）代入 y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4， 得，a＝ ，
∴抛物线的解析式为 y＝x2+x﹣4；

（2） 设点 D 坐标为（x，0），

∵四边形 DEFH 为矩形，
∴H（x，x2+x﹣4），
∵y＝ x2+x﹣4＝ （x+1）2﹣ ，
∴抛物线对称轴为 x＝﹣1，

∴点 H 到对称轴的距离为 x+1，

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由对称性可知 DE＝FH＝2x+2，
∴矩形 DEFH 的周长 C＝2（2x+2）+2（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，
∴当 x＝1 时，矩形 DEFH 周长取最大值 13，
∴此时 H（1，﹣），
∴HF＝2x+2＝4，DH＝