2022-2023学年广东省广州市越秀区广东实验中学九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省实验中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）2 的相反数是( )

第 9页（共 30页）

A． -2
B．2 C． - 1
2

D．1

2．（3 分）如图的几何体，其左视图是( )
A． B． C． D．

3．（3 分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到 2030 年我国风电、太阳能发电总装机容量达到
1200000000 千瓦以上的目标．数据 1200000000 用科学记数法表示为( )

A．1.2 ´1010
B．1.2 ´109
C． 0.12 ´1010
D．12 ´108

4．（3 分）在RtDABC 中， ÐC = 90° ， AB = 5 ， AC = 3 ，则sin B 的值为( )

A. 3
4
B. 4
3
C. 4
5
D. 3
5

5．（3 分）下列运算正确的是( )

A． 3a2 - 2a = a
B． (a - b)2 = a2 - b2
C． a(a + 1) = a2 + a
D． a8 ¸ a4 = a2

6．（3 分）如图，直线 a / /b ， Ð1 = 75° ， Ð2 = 35° ，则Ð3 的度数是( )

A． 75° B． 55° C． 40° D． 35°

7．（3 分）如图，以点O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A¢B¢C¢D¢ ，已知 OA = 1 ，

OA¢ 3
若四边形 ABCD 的面积是 2，则四边形 A¢B¢C¢D¢ 的面积是( )

A．4 B．6 C．16 D．18

8．（3 分）如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在 AB 上的点 E 处．已知 BC = 12 ，ÐB = 30° ，
ÐC = 90° ，则 DE 的长是( )

A．6 B．4 C．3 D．2

9．（3 分）对于两个不相等的有理数 a，b，我们规定符号 min{a，b}表示 a、b 两数中较小的数，例如 min{2，﹣4}＝﹣4，则方程 min{x，﹣x}＝3x+4 的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1 或 x＝﹣2 D．x＝1 或 x＝2 10．（3 分）如图，抛物线 y = x2 - bx + c 与 x 轴交于C 、 D 两点（点C 在点 D 的左侧），顶点在线段 AB 上运动， AB / / x 轴， B(1, -1) ， AB = 3 ，则下列结论中正确的是( )

A． b2 - 4ac < 0 B．当 x > 0 时，一定有 y 随 x 的增大而增大

C． 0„c„3 D．若点C 的坐标为(m, 0) ，则点 D 的坐标为(m + 2, 0)

二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）用“ > ”、“ = ”、“ < ”符号填空： -4 -p ．
12．（3 分）在正比例函数 y = kx 中，y 的值随着 x 值的增大而增大，则点 P(3, k ) 在第 象限．
13．（3 分）已知扇形半径是3cm ，弧长为 3pcm ，则扇形的圆心角为 度．
2
14．（3 分）分解因式： 3m3 -12m = ．
15．（3 分）如图，函数 y = x 与 y = 4 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴
x
垂线，垂足分别为点C 、 D ，则四边形 ACBD 的面积为 ．

16．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB = BD ，点 E 、F 分别在 AB 、AD 上，且 BE = AF ，连接 BF 与 DE 相交于点G ，连接CG 与 BD 相交于点 H ．
①若 AF = DF ，则 FG = ；

BG
②若 AD = 2 ，则四边形GDCB 的面积最大值为 ．

三、解答题（满分 72 分，解答题应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）

íx…2x - 4
17．（4 分）解不等式组： ì5x -1 > 4x + 2 ．
î

18．（4 分）如图，AB / / DE ，点C 、F 在线段 AD 上，且 AC = DF ，ÐB = ÐE ．求证：AB = DE ．

19．（6 分）已知 A = (3 + a)(3 - a) + (1 - a)2 ．

（1） 化简 A ．

5
（2） a 是 的整数部分，求 A 的值．

20．（6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结 果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1） 这次活动共调查了 人；请将条形统计图补充完整．

（2） 在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

21．（8 分）广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多 4 元，商店用 800 元购进洗发水的数量与用 640 元购进电池的数量相等．
（1） 求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？

（2） 已知洗发水的销售价为每件 26 元，电池的销售价为每件 20 元．若该商店准备购进这两种用品共 100 件，其中购进洗发水 a 件(20„a„38) ，那么该商店要获得最大利润应如何进货？

22．（10 分）如图，在DABC 中， AC = BC = 5 ， AB = 8 ， AB ^ x 轴，垂足为 A ，反比例函
数 y = k (x > 0) 的图象经过点 C ，交 AB 于点 D ．
x
（1） 若OA = AB ，求 k 的值；
（2） 若 BC = BD ，连接OC ，求DOAC 的面积．

23．（10 分）如图，在DABC 中， ÐC 是钝角，以 AB 上一点O 为圆心， AC 为弦作eO ．
（1） 在图中作出eO 交 AB 于点 D （不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 若ÐBCD = ÐA ．
①求证： BC 是eO 的切线；
② tan A = 1 ， BC = 9 ，求弦 AC 的长．
3

24．（12 分）在正方形 ABCD 中，边长为 2．点 E 是线段 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF ，ÐAEF = 90° ，其中 EF 交CD 于点 P ，AF 交CD 于点Q ，连接CF ．
（1） 如图 1，①若 BE = 1 时，求线段CF 的长；
2
②当点 E 在线段 BC 上运动时，求证： ÐQEF = ÐFEC ．
（2） 如图 2，过点 B 作 BG ^ AE 交 EQ 于点G ，过点 D 作 DH ^ CF 所在的直线于点 H ， 求 HG 的最小值．

25．（12 分）已知抛物线 y = ax2 - 5x + c 与 x 轴交于 M 、 N 两点（点 M 在点 N 的左侧）．

（1） 若抛物线的对称轴为直线 x = 1 ，则 a = ．
（2） 如图 1，若抛物线与直线 y = -x 有且只有一个交点 E ，当 a > 0 时，求ÐENM 的度数．
（3） 如图 2，若抛物线满足（1）中的条件，且顶点 D 的纵坐标为-4 ，点 P 的坐标为(-2, -2) ，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，6 秒后停止运动，设运动时间为t(t > 0) ． 连接 PD ，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R ，求在点 P 的整个运动过程中，点 R 运动的路径长．

第 30页（共 30页）

2022-2023 学年广东省实验中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）2 的相反数是( )

A． -2
B．2 C． - 1
2

D．1

【解答】解：2 的相反数是-2 ． 故选： A ．
2．（3 分）如图的几何体，其左视图是( )
A． B． C． D．

【解答】解：由题意知，原几何体的左视图共两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一 个小正方形．
故选： B ．

3．（3 分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到 2030 年我国风电、太阳能发电总装机容量达到
1200000000 千瓦以上的目标．数据 1200000000 用科学记数法表示为( )

A．1.2 ´1010
B．1.2 ´109
C． 0.12 ´1010
D．12 ´108

【解答】解：1200000000 =1.2 ´109 ． 故选： B ．
4．（3 分）在RtDABC 中， ÐC = 90° ， AB = 5 ， AC = 3 ，则sin B 的值为( )

A. 3
4
B. 4
3
C. 4
5
D. 3
5

【解答】解：Q在RtDABC 中， ÐC = 90° ， AB = 5 ， AC = 3 ，
\ sin B = AC = 3
AB 5
故选： D ．

5．（3 分）下列运算正确的是( )

A． 3a2 - 2a = a
B． (a - b)2 = a2 - b2
C． a(a + 1) = a2 + a
D． a8 ¸ a4 = a2

【解答】解： A 、3a2 与-2a 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B 、原式= a2 - 2ab + b2 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C 、原式= a2 + a ，原计算正确，故此选项符合题意； D 、原式= a4 ，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选： C ．
6．（3 分）如图，直线 a / /b ， Ð1 = 75° ， Ð2 = 35° ，则Ð3 的度数是( )

A． 75° B． 55° C． 40° D． 35°
【解答】解：Q直线 a / /b ， Ð1 = 75° ，
\Ð4 = Ð1 = 75° ，
QÐ2 + Ð3 = Ð4 ，
\Ð3 = Ð4 - Ð2 = 75° - 35° = 40° ． 故选： C ．

7．（3 分）如图，以点O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A¢B¢C¢D¢ ，已知 OA = 1 ，

OA¢ 3
若四边形 ABCD 的面积是 2，则四边形 A¢B¢C¢D¢ 的面积是( )

A．4 B．6 C．16 D．18

【解答】解：Q以点O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A¢B¢C¢D¢ ， OA = 1 ，

\ S四边形ABCD S四边形A¢B¢C¢D¢

= 1 =
9

2 ，
S四边形A¢B¢C¢D¢
OA¢ 3

则四边形 A¢B¢C¢D¢ 面积为：18． 故选： D ．
8．（3 分）如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在 AB 上的点 E 处．已知 BC = 12 ，ÐB = 30° ，
ÐC = 90° ，则 DE 的长是( )

A．6 B．4 C．3 D．2

【解答】解：由题意可得， AD 平分ÐBAC ， ÐC = ÐAED = 90° ，
\ DE = DC ， 又QÐB = 30° ，
\ DE = 1 BD ，
2
又Q BC = 12 ，
\3DE = 12 ，
\ DE = 4 ． 故选： B ．
9．（3 分）对于两个不相等的有理数 a，b，我们规定符号 min{a，b}表示 a、b 两数中较小的数，例如 min{2，﹣4}＝﹣4，则方程 min{x，﹣x}＝3x+4 的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1 或 x＝﹣2 D．x＝1 或 x＝2

【解答】解：（1）x≥0 时，x≥﹣x，

∵min{x，﹣x}＝3x+4，

∴﹣x＝3x+4，

解得 x＝﹣1（﹣1＜0，舍去）．

（2）x＜0 时，x＜﹣x，

∵min{x，﹣x}＝3x+4，

∴x＝3x+4， 解得 x＝﹣2．
综上，可得方程 min{x，﹣x}＝3x+4 的解为 x＝﹣2． 故选：A．
10．（3 分）如图，抛物线 y = x2 - bx + c 与 x 轴交于C 、 D 两点（点C 在点 D 的左侧），顶点在线段 AB 上运动， AB / / x 轴， B(1, -1) ， AB = 3 ，则下列结论中正确的是( )

A. b2 - 4ac < 0
B. 当 x > 0 时，一定有 y 随 x 的增大而增大
C． 0„c„3
D．若点C 的坐标为(m, 0) ，则点 D 的坐标为(m + 2, 0)
【解答】解：图象与 x 轴有两个交点，所以b2 - 4ac > 0 ，故选项 A 错误；
Q抛物线开口向上，顶点的纵坐标为-1 ，且横坐标在-2 与 1 之间，
\当对称轴在 y 轴右边、 x > 0 时，不是 y 随 x 的增大而增大， 故选项 B 错误；
Q顶点为(0, -1) 时， c = -1，
故C 错误；
Q抛物线的对称轴是直线 x = - -b = b ，点C 在点 D 的左侧，

2 ´1 2
1，
\
4ac - b2 = 4c - (-b)2 = -


4a
b
2
\c = -1 ，
4
2
4 ´1


2 b2

\抛物线 y = x

2
- bx + c 为 y = x
b2

- bx + - 1 ，
4

当 y = 0 时， x
- bx + -1 = 0 ，
4

解得 x = b ± 1 ，
2
\点C 的坐标为(b - 1， 0) ， D(b + 1 ， 0) ，
2 2
若点C 坐标为(m, 0) ，则 b - 1 = m ．
2
\ b + 1 = m + 2 ，
2
\点 D 坐标为(m + 2, 0) ， 故 D 正确．
故选： D ．

二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）用“ > ”、“ = ”、“ < ”符号填空： -4 < -p．
【解答】解：Q| -4 |= 4 ， | -p|= p， 4 > p，
\-4 < -p，
故答案为： < ．
12．（3 分）在正比例函数 y = kx 中， y 的值随着 x 值的增大而增大，则点 P(3, k ) 在第 一

象限．
【解答】解：Q在正比例函数 y = kx 中， y 的值随着 x 值的增大而增大，
\ k > 0 ，
\点 P(3, k ) 在第一象限． 故答案为：一．
13．（3 分）已知扇形半径是3cm ，弧长为 3pcm ，则扇形的圆心角为 90 度．
2
【解答】解：设扇形的圆心角为 n° ，
Q扇形半径是3cm ，弧长为 3pcm ，
2
\ np´ 3 = 3p，
180 2
解得： n = 90 ． 故答案为：90．
14．（3 分）分解因式： 3m3 -12m = 3m(m - 2)(m + 2) ．

【解答】解： 3m3 -12m

= 3m(m2 - 4)

= 3m(m - 2)(m + 2) ．
故答案为： 3m(m - 2)(m + 2) ．
15．（3 分）如图，函数 y = x 与 y = 4 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴
x
垂线，垂足分别为点C 、 D ，则四边形 ACBD 的面积为 8 ．

【解答】解：设 A 的坐标是(m, n) ，则 B 的坐标是(-m, -n) ， mn = 4
则 AC = n ， CD = 2m ．
则四边形 ACBD 的面积= AC × CD = 2mn = 8 ． 故答案为：8．
16．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB = BD ，点 E 、F 分别在 AB 、AD 上，且 BE = AF ，连接 BF 与 DE 相交于点G ，连接CG 与 BD 相交于点 H ．
①若 AF = DF ，则 FG = 1 ；
BG 2
②若 AD = 2 ，则四边形GDCB 的面积最大值为 ．

【解答】解：（1）Q DABC 是等边三角形，
\ AD = AB ，
Q AF = DF ， BE = AF ，
\ AE = EB ，
\点G 是DABC 的重心，
\ BG = 2FG ，
\ FG = 1 ．
BG 2

故答案为： 1 ．
2
（2）Q四边形 ABCD 为菱形，
\ AB = AD ．
Q AB = BD ，
\DABD 为等边三角形．
\ÐA = ÐBDF = 60° ．
\ÐBCD = 60° ，
Q AD = DB ， ÐDAE = ÐBDF ， AE = DF ，
\DDAE @ DBDF (SAS ) ，
\ÐADE = ÐDBF ，
\ÐBGE = ÐBDG + ÐDBF = ÐBDG + ÐADE = ÐADB = 60° ，
\ÐBGD = 180° - 60° = 120° ，
\ÐBGD + ÐBCD = 180° ，
\点 B 、C 、 D 、G 四点共圆，

\当CG 是直径时，四边形 DGBC 的面积最大，最大面积为 = 2S


DCDG


= 2 ´ 1 ´ 2 ´ 2 3 = 4 3 ．
2 3 3

4 3
3
故答案为： ．

三、解答题（满分 72 分，解答题应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）

íx…2x - 4
17．（4 分）解不等式组： ì5x -1 > 4x + 2 ．
î

ì5x -1 > 4x + 2①
î
【解答】解： íx…2x - 4② ，

由①得： x > 3 ， 由②得： x„4 ，
则不等式组的解集为3 < x„4 ．
18．（4 分）如图，AB / / DE ，点C 、F 在线段 AD 上，且 AC = DF ，ÐB = ÐE ．求证：AB = DE ．

【解答】证明：Q AB / / DE ，
\ÐA = ÐD ，
在DABC 与DDEF 中，

ìÐA = ÐD
í
ïÐB = ÐE ，
î
ï AC = DF

\DABC @ DDEF (AAS ) ，
\ AB = DE ．

19．（6 分）已知 A = (3 + a)(3 - a) + (1 - a)2 ．

（1） 化简 A ．

5
（2） a 是 的整数部分，求 A 的值．

【解答】解：（1） A = 9 - a2 + 1 - 2a + a2
= 10 - 2a ．

4
（2）Q
< < ，即 2 < < 3 ．

5
9
5
\ a = 2 ． 当 a = 2 时， A = 10 - 2a
= 10 - 2 ´ 2
= 10 - 4
= 6 ．
20．（6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结 果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1） 这次活动共调查了 200 人；请将条形统计图补充完整．

（2） 在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为 (45 + 15) ¸ (1 -15% - 30% - 25%) = 200 （人) ，用微信支付的人数为 200 ´ 30% = 60 （人) ，用银行卡支付的人数为 200 ´15% = 30 （人) ， 故答案为：200，
补全条形统计图如下：

（2）把“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式分别记为 A 、 B 、C ，画树状图如下：

共有 91 种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有 3 种，
\小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为 3 = 1 ．
9 3
21．（8 分）广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价

多 4 元，商店用 800 元购进洗发水的数量与用 640 元购进电池的数量相等．

（1） 求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？

（2） 已知洗发水的销售价为每件 26 元，电池的销售价为每件 20 元．若该商店准备购进这两种用品共 100 件，其中购进洗发水 a 件(20„a„38) ，那么该商店要获得最大利润应如何进货？
【解答】解：（1）设每件洗发水的进价是 x 元，则每件电池的进价是(x - 4) 元，

根据题意得： 800 =

640 ，

x x - 4
解得 x = 20 ，
经检验， x = 20 是方程的解，
\ x - 4 = 20 - 4 = 16 ，
\每件洗发水的进价是 20 元，每件电池的进价是 16 元；
（2）设该商店获得的利润为 y 元，

根据题意得 y = (26 - 20)a + (20 - 16)(100 - a) = 2a + 400 ，
Q 20„a„38 ，
\当 a = 38 时， y 取最大值，最大值为 2 ´ 38 + 400 = 476 （元) ，
\100 - a = 100 - 38 = 62 （件) ，
答：购进洗发水 38 件，电池 62 件，该商店获得最大利润 476 元．

22．（10 分）如图，在DABC 中， AC = BC = 5 ， AB = 8 ， AB ^ x 轴，垂足为 A ，反比例函
数 y = k (x > 0) 的图象经过点 C ，交 AB 于点 D ．
x
（1） 若OA = AB ，求 k 的值；
（2） 若 BC = BD ，连接OC ，求DOAC 的面积．

【解答】解：（1）过点C 作CE ^ AB 于点 E ， CF ^ OA 于 F ，则CF = AE

Q AB = 8 ， AC = BC ， CE ^ AB
\ BE = AE = CF = 4
Q AC = BC = 5
\CE = 3
Q OA = AB = 8
\OF = 5
\点C(5, 4)
Q点C 在 y = k 图象上
x
\ k = 20
（2）Q BC = BD = 5 ， AB = 8
\ AD = 3
设 A 点坐标为(m, 0) ，则C ， D 两点坐标分别为(m - 3, 4) ， (m, 3)
Q C ， D 在 y = k 图象上
x
\ 4(m - 3) = 3m
\ m = 12
\ A(12, 0) ， C(9, 4) ， D(12, 3)

\ SDAOC
= 1 ´12 ´ 4 = 24
2

23．（10 分）如图，在DABC 中， ÐC 是钝角，以 AB 上一点O 为圆心， AC 为弦作eO ．
（1） 在图中作出eO 交 AB 于点 D （不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 若ÐBCD = ÐA ．
①求证： BC 是eO 的切线；
② tan A = 1 ， BC = 9 ，求弦 AC 的长．
3

【解答】（1）解：如图， eO ，点 D 即为所求；
（2）①证明：连接OC ，

Q AD 是直径，
\ÐACD = 90° ，
\ÐA + ÐADC = 90° ，
Q OC = OD ，
\ÐDC = ÐOCD ，
\ÐA + ÐOCD = 90° ，
QÐDCB = ÐA ，
\ÐDCB + ÐOCD = 90° ，
\ÐOCB = 90° ，
\OC ^ BC ，

Q OC 是半径，
\ BC 是eO 的切线；
②解：QÐB = ÐB ， ÐDCB = ÐA ，
\DCBD∽DABC ，
\ CD = BC = BD ，
AC AB BC
Q tan ÐA = CD = 1 ， BC = 9 ，
AC 3

\ AB = 27 ，
Q BC 2 = BD × BA ，
\ BD = 3 ，
\ AD = AB - BD = 24 ，
设CD = k ， AC = 3k ，则有 k 2 + 9k 2 = 242 ，
\ k = 12 10 （负根已经舍去），
5
\ AC = 36 10 ．
5
24．（12 分）在正方形 ABCD 中，边长为 2．点 E 是线段 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF ，ÐAEF = 90° ，其中 EF 交CD 于点 P ，AF 交CD 于点Q ，连接CF ．
（1） 如图 1，①若 BE = 1 时，求线段CF 的长；
2
②当点 E 在线段 BC 上运动时，求证： ÐQEF = ÐFEC ．
（2） 如图 2，过点 B 作 BG ^ AE 交 EQ 于点G ，过点 D 作 DH ^ CF 所在的直线于点 H ， 求 HG 的最小值．
【解答】（1）①解：过点 F 作 FN ^ 直线 BC 于 N ，

QDAEF 是等腰直角三角形，
\ AE = EF ， ÐEAF = 45° ， ÐAEF = ÐABE = ÐFNE = 90° ，

\ÐAEB + ÐBAE = 90° = ÐAEB + ÐFEN ，
\ÐBAE = ÐFEN ，
\DABE @ DENF (AAS ) ，
\ BE = FN = 1 ， AB = EN ，
2
\ BC = EN = AB ，
\CN = BE = 1 ，
2
又QÐN = 90° ，
\DCFN 是等腰直角三角形，

\CF =
2CN = 2 ；
2

②证明：如图，延长CB 至 K ，使 BK = DQ ，连接 AK ，

Q BK = DQ ， ÐABK = ÐD = 90° ， AB = AD ，
\DABK @ DADQ (SAS ) ，
\ÐBAK = ÐDAQ ， AK = AQ ，
QÐEAF = 45° ，
\ÐBAE + ÐDAQ = 45° ，
\ÐBAE + ÐBAK = 45° = ÐEAK = ÐEAD ， 又Q AE = AE ，
\DAEK @ DAEQ(SAS ) ，
\ÐAEK = ÐAEQ ，
QÐAEF = 90° ，
\ÐFEQ = ÐFEC ；
（3） 解：如图，连接 AG ， GH ， AH ， AC ，

由（1）可知ÐDCH = 45° ， ÐAEB = ÐAEG ，
2
Q四边形 ABCD 是正方形，

\ AB = AD = CD = 2 ， AC =
2 AD = 2
， ÐACD = 45° ，

\ÐACH = 90° ，
Q DH ^ CH ， ÐDCH = 45° ，
\DDCH 是等腰直角三角形，

\ DC = 2CH = 2 ，

2
\CH = ，

AC2 + CH 2
8 + 2
10
\ AH = = = ，

Q BG ^ AE ， ÐAEB = ÐAEG ，
\ÐEBG = ÐEGB ，
\ BE = EG ， 又Q AE = AE ，
\DABE @ DAGE (SAS ) ，
\ AB = AG ，
\点G 在以点 A 为圆心， AB 长为半径的圆上，
\点G 在线段 AH 上时， GH 有最小值，

10
\GH 的最小值为 - 2 ．

25．（12 分）已知抛物线 y = ax2 - 5x + c 与 x 轴交于 M 、 N 两点（点 M 在点 N 的左侧）．

（1） 若抛物线的对称轴为直线 x = 1 ，则 a = 5 ．
2
（2） 如图 1，若抛物线与直线 y = -x 有且只有一个交点 E ，当 a > 0 时，求ÐENM 的度数．
（3） 如图 2，若抛物线满足（1）中的条件，且顶点 D 的纵坐标为-4 ，点 P 的坐标为(-2, -2) ，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，6 秒后停止运动，设运动时间为t(t > 0) ． 连接 PD ，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R ，求在点 P 的整个运动过程中，点 R 运动的路径长．

【解答】解：（1）Q抛物线 y = ax2 - 5x + c 的对称轴为直线 x = 1 ，
\- -5 = 1 ，
2a
解得 a = 5 ，
2
经检验， a = 5 是方程的解，
2
\ a = 5 ；
2
故答案为： 5 ；
2
（2） 过 E 作 EH ^ x 轴于 H ，如图：

Q抛物线 y = ax2 - 5x + c 与直线 y = -x 有且只有一个交点，

\ ax2 - 5x + c = -x 有两个相等实数解，即 ax2 - 4x + c = 0 有两个相等实数解，
\△ = 0 ，即16 - 4ac = 0 ，
\ ac = 4 ，

\ ax2 - 4x + c = 0 的解为 x = x
= 2 ，

\ E( 2 ， - 2) ，
1 2 a

a a
\OH = 2 ， EH = 2 ，
a a

在 y = ax2 - 5x + c 中，令 y = 0 得 x = 5 ±
Q ac = 4 ，
25 - 4ac ，
2a

\ xM
= 1 ， x a N
= 4 ，
a

\ M ( 1 ， 0) ， N ( 4 ， 0) ，
a a
\ON = 4 ，
a
\ HN = ON - OH = 2 ，
a
\ HN = EH ，
\DEHN 是等腰直角三角形，
\ÐMNE = 45° ；

（3） 由（1）得，抛物线 y = ax2 - 5x + c 的对称轴为直线 x = 1 ，

\顶点 D(1, -4) ，
根据题意， P 从(-2, -2) 开始，以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，6 秒后停止运动，

\ P 最终运动到点(4, -2) ；
过点 P 作直线 x = 1 的垂线，垂足为点 F ，交 y 轴于点G ，连接GD ，
①点 P 在 y 轴左侧，此时点 R 在点G 的上方，当点 P 的坐标为(-2, -2) 时，点 R 的位置最高， 如图：

QÐPGR = ÐDFG = 90° ， ÐRPG = 90° - ÐFPD = ÐPDF ，
\DPRG∽DDPF ，
\ RG = PG ，
PF DF
Q P(-2, -2) ， D(1, -4) ，
\ PF = 3 ， DF = 2 ， PG = 2 ，
\ RG = 2 ´ 3 = 3 ，
2
\ R(0,1) ；
②当点 P 在 y 轴右侧且在直线 x = 1 左侧，此时点 R 的最低位置在点G 下方，如图：

同理可得DPRG∽DDPF ，
\ RG = PG ，
PF DF
\ RG = PG × PF ，
DF
设 P(r, -2) ，则 RG = r(1 - r) = - 1 r 2 + 1 r = - 1 (r - 1 )2 + 1 ，
2 2 2 2 2 8
\当 r = 1 时， RG 的最大值为 1 ，
2 8
\ R(0, - 17 ) ，
8
③当点 P 在直线 x = 1 右侧，则点 R 在点G 的上方，当点 P 坐标为(4, -2) 时，点 R 的位置最高，如图：

同理可得DPRG∽DDPF ，

\ RG = PG ，
PF DF
\GR = PG × PF = 4 ´ 3 = 6 ，
DF 2
\ R(0, 4) ，
Q1 + 17 + 17 + 4 = 37 ，
8 8 4
\点 R 运动路径的长为 37 ．
4