2022-2023学年广东省广州市天河区华南师大附中九年级上学期期末数学试卷二（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市天河区华南师大附中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只

有一个是正确的）

1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（3 分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60° ，90° ，210° ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )

第 9页（共 32页）

A. 1
6
B. 1
4
C. 1
3
D. 7
12

3．（3 分）将二次函数 y = x2 图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的函数是( )

A． y = (x + 1)2 + 2
B． y = (x -1)2 - 2
C． y = (x + 1)2 - 2
D． y = (x -1)2 + 2

4．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， CD 为弦， CD ^ AB 于点 E ，则下列结论中不成立的是( )

A. ¶AC = ¶AD
B. B¶C = B¶D
C. OE = BE
D. CE = DE

5．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则( )

A. m < 1
B. m > 1
C. m ¹ 0
D． 0 < m < 1

6．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，点C ， D 在eO 上，若ÐADC = 130° ，则ÐBAC 的度数为( )
A． 25° B． 30° C． 40° D． 50°
7．（3 分）如图，已知 DABC ， D 、 E 分别在边 AB 、 AC 上，下列条件中，不能确定
DADE∽DACB 的是( )

A． ÐAED = ÐB
C． ADgBC = ACgDE
B． ÐBDE + ÐC = 180°
D． ADg AB = AEg AC

8．（3 分）如图，一次函数 y = ax + b 与反比例函数 y = k (k > 0) 的图象交于点 A(1, 2) ，
x
B(m, -1) ．则关于 x 的不等式 ax + b > k 的解集是( )
x

A． x < -2 或0 < x < 1
B． x < -1 或0 < x < 2
C． -2 < x < 0 或 x > 1 D．-1 < x < 0 或 x > 2

9．（3 分）如图为DABC 的内切圆，点 D ， E 分别为边 AB ， AC 上的点，且 DE 为eI 的切线，若DABC 的周长为 21， BC 边的长为 6，则DADE 的周长为( )

A．15 B．9 C．7.5 D．7

10．（3 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，其对称轴为 x = -1 ，它与 x 轴的一个
交点的横坐标为-3 ，则一次函数 y = ax - 2b 与反比例函数 y = c 在同一平面直角坐标系中的
x
图象大致是( )

A．
B．
C． D．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）二次函数 y = -x2 - 2x 的最大值为 ．

12．（3 分）如图，乐器上的一根弦 AB 的长度为30cm ，两个端点 A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是弦 AB 靠近点 B 的黄金分割点，则线段 AC 的长度为 cm ．（结果保留根号，
参考数据：黄金分割数： 5 - 1)
2
13．（3 分）如图，点 A 是反比例函数 y = 2 (x > 0) 的图象上任意一点， AB / / x 轴交反比例函
x
数 y = - 3 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中C 、D 在 x 轴上，则 S

x
为 ．
❑ ABCD

14．（3 分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留p)
15．（3 分）如图，BE 是DABC 的中线，点 F 在 BE 上，延长 AF 交 BC 于点 D ．若 BF = 3FE ，则 BD = ．
DC

16．（3 分）如图，四边形 ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接 BG 、DE ，
DE 和 FG 相交于点 O ， 设 AB = a ， CG = b(a > b) ． 下列结论： ① DBCG @ DDCE ； ②

BG ^ DE ；③ DG = GO ；④ (a - b)2 × S
GC CE


DEFO

= b2 × S


DDGO

．其中结论正确的是 ．

三、解答题（本题有 9 小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17．（4 分）如图，若ÐADE = ÐB ， ÐBAD = ÐCAE ．求证： DADE∽DABC ．

18．（4 分）如图， AB 是eO 的直径， AC 的中点 D 在eO 上， DE ^ BC 于 E ．求证： DE是eO 的切线．

19．（6 分）先化简，再求值： (m + 4m + 4) ¸ m + 2 ，其中 m 是方程 2x2 + 4x -1 = 0 的根．
m m2

20．（6 分）已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为 v （单位：吨/ 小时），卸完这批货物所需的时间为t （单位：小时）．
（1） 求v 关于t 的函数表达式．
（2） 若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

21．（8 分）在平面直角坐标系中，DABC 的三个顶点坐标分别为 A(2, -4) ，B(3, -2) ，C(6, -3) ．

（1） 画出DABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1C1 ；

（2） 以 M 点为位似中心，在网格中画出△ A1 B1C1 的位似图形△ A2 B2C2 ，使△ A2 B2C2 与△

A1B1C1 的相似比为2 :1 ．

22．（10 分）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：

分数/ 分
80
85
90
95
人数/ 人
4
2
10
4
根据图形信息，解答下列问题：

（1） 获得“秦九韶奖”的学生有多少人，并补全条形统计图；

（2） 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 分，众数是 分；

（3） 若从获得“祖冲之奖”且得分为 95 分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取 2 名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 y 轴上， A ，C 两点的坐
标分别为(4, 0) ，(4, m) ，直线CD : y = ax + b(a ¹ 0) 与反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象交于C ，
x
P(-8, -2) 两点．
（1） 求该反比例函数的解析式及 m 的值；
（2） 判断点 B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．

24．（12 分）如图，抛物线 y = - 1 x2 + 3 x + 2 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），
2 2
与 y 轴交于点C ，连接 BC ．

（1） 求点 A 、 B 、C 的坐标；

（2） 设 x 轴上的一个动点 P 的横坐标为t ，过点 P 作直线 PN ^ x 轴，交抛物线于点 N ，交直线 BC 于点 M ．
①当点 P 在线段 AB 上时，设 MN 的长度为 s ，求 s 与t 的函数关系式；
②当点 P 在线段OB 上时，是否存在点 P ，使得以O 、P 、N 三点为顶点的三角形与DCOB

相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25．（12 分）如图①，已知eO 是DABC 的外接圆，ÐABC = ÐACB = a(45° < a< 90° ， D 为
¶AB 上一点，连接CD 交 AB 于点 E ．
（1） 连接 BD ，若ÐCDB = 40° ，求a的大小；
（2） 如图②，若点 B 恰好是C¶D 中点，求证： CE 2 = BE × BA ；
（3） 如图③，将CD 分别沿 BC 、 AC 翻折得到CM 、CN ，连接 MN ，若CD 为直径，请问 AB 是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
MN

2022-2023 学年广东省广州市天河区华南师大附中九年级（上） 期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【解答】解： A ．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B ．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C ．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选： B ．
2．（3 分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60° ，90° ，210° ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )

A. 1
6
B. 1
4
C. 1
3
D. 7
12

【解答】解：Q黄扇形区域的圆心角为90° ，
所以黄区域所占的面积比例为 90 = 1 ，
360 4
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 1 ，
4
故选： B ．

3．（3 分）将二次函数 y = x2 图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的函数是( )

A． y = (x + 1)2 + 2
B． y = (x -1)2 - 2
C． y = (x + 1)2 - 2
D． y = (x -1)2 + 2

【解答】解：原抛物线的顶点为(0, 0) ，向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，那么新

抛物线的顶点为(-1, -2) ，

可设新抛物线的解析式为： y = (x - h)2 + k ， 代入得： y = (x + 1)2 - 2 ．
\所得图象的解析式为： y = (x + 1)2 - 2 ；

故选： C ．
4．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， CD 为弦， CD ^ AB 于点 E ，则下列结论中不成立的是( )

A. ¶AC = ¶AD
B. B¶C = B¶D
C. OE = BE
D. CE = DE

【解答】解：如图，Q AB 是eO 的直径， CD 是弦， CD ^ AB 于点 E ，
\弧 BD = 弧 BC ，弧 AC = 弧 AD ， CE = DE ，
\选项 A 、 B 、 D 正确，不符合题意；
OE 和 BE 的大小关系不能证明，故选项C 符合题意； 故选： C ．
5．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则( )

A. m < 1
B. m > 1
C. m ¹ 0
D． 0 < m < 1

【解答】解：根据题意得△ = (-2)2 - 4m > 0 ，

解得 m < 1． 故选： A ．
6．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，点C ， D 在eO 上，若ÐADC = 130° ，则ÐBAC 的度
数为( )

A． 25° B． 30° C． 40° D． 50°
【解答】解：Q四边形 ABCD 是圆内接四边形，
\ÐADC + ÐB = 180° ，
QÐADC = 130° ，
\ÐB = 180° - 130° = 50° ，
Q AB 是eO 的直径，
\ÐACB = 90° ，
\ÐBAC = 90° - ÐB = 40° ． 故选： C ．
7．（3 分）如图，已知 DABC ， D 、 E 分别在边 AB 、 AC 上，下列条件中，不能确定
DADE∽DACB 的是( )

A. ÐAED = ÐB
B. ÐBDE + ÐC = 180° C．ADgBC = ACgDE
D． ADg AB = AEg AC

【解答】解： A 、由ÐAED = ÐB ， ÐA = ÐA ，则可判断DADE∽DACB ；
B 、由ÐBDE + ÐC = 180° ， ÐADE + ÐBDE = 180° ，得ÐADE = ÐC ， ÐA = ÐA ，则可判断
DADE∽DACB ；
C 、由 ADgBC = ACgDE ，得 AD = DE 不能判断DADE∽DACB ；
AC BC
D 、由 ADg AB = AEg AC 得 AD = AE ， ÐA = ÐA ，故能确定DADE∽DACB ，
AC AB
故选： C ．
8．（3 分）如图，一次函数 y = ax + b 与反比例函数 y = k (k > 0) 的图象交于点 A(1, 2) ，
x

B(m, -1) ．则关于 x 的不等式 ax + b > k 的解集是( )
x

A． x < -2 或0 < x < 1 B． x < -1 或0 < x < 2
【解答】解：Q A(1, 2) 在反比例函数图象上，
\ k = 1´ 2 = 2 ，
\反比例函数解析式为 y = 2 ，
x
Q B(m, -1) 在反比例函数图象上，
C． -2 < x < 0 或 x > 1 D．-1 < x < 0 或 x > 2

\ m =
2 = -2 ，
-1

\ B(-2, -1) ，
由题意得关于 x 的不等式 ax + b > k 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变
x
量的取值范围，
\关于 x 的不等式 ax + b > k 的解集为-2 < x < 0 或 x > 1 ，
x
故选： C ．
9．（3 分）如图为DABC 的内切圆，点 D ， E 分别为边 AB ， AC 上的点，且 DE 为eI 的切线，若DABC 的周长为 21， BC 边的长为 6，则DADE 的周长为( )

A．15 B．9 C．7.5 D．7
【解答】解：QDABC 的周长为 21， BC = 6 ，
\ AC + AB = 21 - 6 = 15 ，

设eI 与DABC 的三边 AB 、 BC 、 AC 的切点为 M 、 N 、Q ，切 DE 为 P ，
Q DM = DP ， BN = BM ， CN = CQ ， EQ = EP ，
\ BM + CQ = BN + CN = BC = 6 ，
\DADE 的周长= AD + DE + AE = AD + AE + DP + PE
= AD + DM + AE + EQ
= AB - BM + AC - CQ
= AC + AB - (BM + CQ)

= 15 - 6 = 9 ， 故选： B ．

10．（3 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，其对称轴为 x = -1 ，它与 x 轴的一个交点的横坐标为-3 ，则一次函数 y = ax - 2b 与反比例函数 y = c 在同一平面直角坐标系中的
x
图象大致是( )

A．
B．
C． D．

【解答】解：Q二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象开口向下，

\ a < 0 ，
Q其对称轴为 x = -1 ，即- b
2a


= -1，

\b = 2a ，
\b < 0 ，
Q图象与 y 轴的交点在 y 轴正半轴，
\ c > 0 ，
\一次函数 y = ax - 2b 的图象过一、二、四象限，
反比例函数 y = c 的图象过一、三象限，
x

由图象可知，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象过点(-3, 0) ，

\ 0 = 9a - 3b + c ，
Q b = 2a ，
\9a - 6a + c = 0 ，
\ c = -3a ，
令 c = ax - 2b ，
x
\ ax2 - 2bx - c = 0 ， 即 ax2 - 4ax + 3a = 0 ，
Q△ = (-4a)2 - 4 × a × 3a = 4a2 > 0 ，
\一次函数 y = ax - 2b 与反比例函数 y = c 有两个交点．
x
综上，一次函数 y = ax - 2b 的图象过一、二、四象限，反比例函数 y = c 的图象过一、三象
x
限，且一次函数 y = ax - 2b 与反比例函数 y = c 有两个交点．
x
故选： C ．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）二次函数 y = -x2 - 2x 的最大值为 1 ．

【解答】解：Q y = -x2 - 2x = -(x + 1)2 + 1 ，
\当 x = -1 时， y 有最大值为 1．

故答案为：1．

12．（3 分）如图，乐器上的一根弦 AB 的长度为30cm ，两个端点 A 、B 固定在乐器板面上，

5
支撑点C 是弦 AB 靠近点 B 的黄金分割点，则线段 AC 的长度为 (15

果保留根号，参考数据：黄金分割数： 5 - 1)
2

【解答】解：Q点C 是弦 AB 靠近点 B 的黄金分割点， AB = 30cm ，
- 15) cm ．（结

\ AC =
5 -1 AB =
5 -1 ´ 30 = (15 5 - 15)(cm ) ，

2 2

5
故答案为： (15
-15) ．

13．（3 分）如图，点 A 是反比例函数 y = 2 (x > 0) 的图象上任意一点， AB / / x 轴交反比例函
x
数 y = - 3 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中C 、D 在 x 轴上，则 S

x
为 5 ．

【解答】解：设点 A 的纵坐标为b ， 所以， 2 = b ，
x
❑ ABCD

解得 xA
= 2 ，
b

Q AB / / x 轴，
\点 B 的纵坐标为- 3 = b ，
x

解得 xB
= - 3 ，
b

\ AB = 2 - (- 3) = 5 ，
b b b

\ SY ABCD
= 5 × b = 5 ．
b

故答案为：5．

14．（3 分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 2 2p ．（结果保留p)
【解答】解：Q某圆锥的主视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，

2
\斜边长为 2 ，

则底面圆的周长为 2 2p，

\该圆锥侧面展开扇形的弧长为 2 2p，

故答案为 2 2p．

15．（3 分）如图，BE 是DABC 的中线，点 F 在 BE 上，延长 AF 交 BC 于点 D ．若 BF = 3FE ，
则 BD = 3 ．
DC 2

【解答】解：如图，Q BE 是DABC 的中线，
\点 E 是 AC 的中点，
\ AE = 1 ，
AC 2
过点 E 作 EG / / DC 交 AD 于G ，
\ÐAGE = ÐADC ， ÐAEG = ÐC ，
\DAGE∽DADC ，
\ GE = AE = 1 ，
DC AC 2
\ DC = 2GE ，
Q BF = 3FE ，

\ EF = 1 ，
BF 3
QGE / / BD ，
\ÐGEF = ÐFBD ， ÐEGF = ÐBDF ，
\DGFE∽DDFB ，
\ GE = EF = 1 ，
DB BF 3
\ DC = 2 ，
DB 3
\ BD = 3 ，
DC 2
故答案为： 3 ．
2

16．（3 分）如图，四边形 ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接 BG 、DE ，
DE 和 FG 相交于点 O ， 设 AB = a ， CG = b(a > b) ． 下列结论： ① DBCG @ DDCE ； ②

BG ^ DE ；③ DG = GO ；④ (a - b)2 × S
GC CE


DEFO

= b2 × S


DDGO

．其中结论正确的是 ①②④ ．

【解答】解：①Q四边形 ABCD 和四边形CEFG 是正方形，
\ BC = DC ， CG = CE ， ÐBCD = ÐECG = 90° ，
\ÐBCG = ÐDCE ， 在DBCG 和DDCE 中，
ìBD = CD
í
ïÐBCG = ÐDCE ，
î
ïCG = CE

\DBCG @ DDCE (SAS ) ， 故①正确；
②延长 BG 交 DE 于点 H ，

QDBCG @ DDCE ，
\ÐCBG = ÐCDE ，
又QÐCBG + ÐBGC = 90° ，
\ÐCDE + ÐDGH = 90° ，
\ÐDHG = 90° ，
\ BH ^ DE ；
\ BG ^ DE ． 故②正确；
③Q DC / / EF ，
\ÐGDO = ÐOEF ，
QÐGOD = ÐFOE ，
\DOGD∽DOFE ，

\ SDDGO = (
DG )2 = (

a - b )2

(a - b)2
=
，

SDEFO EF
b b2

EFO DDGO
\(a - b)2 × SD = b2 × S ． 故④正确；
故答案为：①②④．

三、解答题（本题有 9 小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17．（4 分）如图，若ÐADE = ÐB ， ÐBAD = ÐCAE ．求证： DADE∽DABC ．

【解答】证明：QÐBAD = ÐCAE ，
\ÐBAD + ÐBAE = ÐBAE + ÐCAE ，
\ÐDAE = ÐBAC ，
QÐADE = ÐB ，
\DADE∽DABC ．
18．（4 分）如图， AB 是eO 的直径， AC 的中点 D 在eO 上， DE ^ BC 于 E ．求证： DE是eO 的切线．

【解答】证明：连接OD ，
Q AO = OB ， D 为 AC 的中点，
\OD / / BC ，
Q DE ^ BC ，
\ DE ^ OD ，

Q OD 是eO 的半径，
\ DE 是eO 的切线．
19．（6 分）先化简，再求值： (m + 4m + 4) ¸ m + 2 ，其中 m 是方程2x2 + 4x -1 = 0 的根．
m m2

【解答】解：原式
m2 + 4m + 4 m2
=
g

=
(m + 2)2 m2
g

m m + 2

m m + 2
= m2 + 2m ．
Q m 是方程2x2 + 4x -1 = 0 的根，
\ 2m2 + 4m - 1 = 0 ．
\ m2 + 2m = 1 ，
2
\原式= 1 ．
2
20．（6 分）已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为 v （单位：吨/ 小时），卸完这批货物所需的时间为t （单位：小时）．
（1） 求v 关于t 的函数表达式．
（2） 若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

【解答】解：（1）由题意可得：100 = vt ，
则v = 100 (t > 0) ；
t

（2）Q不超过 5 小时卸完船上的这批货物，
\t„5 ，
则v…100 = 20 ，
5
答：平均每小时至少要卸货 20 吨．
21．（8 分）在平面直角坐标系中，DABC 的三个顶点坐标分别为 A(2, -4) ，B(3, -2) ，C(6, -3) ．

（1） 画出DABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1C1 ；

（2） 以 M 点为位似中心，在网格中画出△ A1 B1C1 的位似图形△ A2 B2C2 ，使△ A2 B2C2 与△

A1B1C1 的相似比为2 :1 ．

【解答】解：（1）如图所示：△ A1 B1C1 ，即为所求；

（2）如图所示：△ A2 B2C2 ，即为所求．

22．（10 分）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：

分数/ 分
80
85
90
95
人数/ 人
4
2
10
4
根据图形信息，解答下列问题：

（1） 获得“秦九韶奖”的学生有多少人，并补全条形统计图；

（2） 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 分；

（3） 若从获得“祖冲之奖”且得分为 95 分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取 2 名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次获奖人数有： 20 ¸10% = 200 （人) ，
则获得“秦九韶奖”的人数有 200 ´ 46% = 92 （人) ．
则刘徽奖的人数为 200 ´ (1 - 24% - 46% -10%) = 40 （人) ， 补全条形统计图如解图所示：

（2） 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分； 故答案为：90，90；

（3） 树状图如图所示，

Q从四人中随机抽取两人共有 12 种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙
的有 2 种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）．
\抽取两人恰好是甲和乙的概率是 2 = 1 ．
12 6
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 y 轴上， A ，C 两点的坐
标分别为(4, 0) ，(4, m) ，直线CD : y = ax + b(a ¹ 0) 与反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象交于C ，
x
P(-8, -2) 两点．
（1） 求该反比例函数的解析式及 m 的值；
（2） 判断点 B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．

【解答】解：（1）把 P(-8, -2) 代入 y = k 得：
x
-2 = k ，
-8
解得 k = 16 ，
\反比例函数的解析式为 y = 16 ，
x
Q C(4, m) 在反比例函数 y = 16 的图象上，
x
\ m = 16 = 4 ；
4
\反比例函数的解析式为 y = 16 ， m = 4 ；
x

（2） B 在反比例函数 y = 16 的图象上，理由如下：
x
连接 AC ， BD 交于 H ，如图：
把C(4, 4) ， P(-8, -2) 代入 y = ax + b 得：

ì4a + b = 4
î
í-8a + b = -2 ，

í
ìa = 1
解得ï 2 ，
îïb = 2
\直线CD 的解析式是 y = 1 x + 2 ，
2
在 y = 1 x + 2 中，令 x = 0 得 y = 2 ，
2
\ D(0, 2) ，
Q四边形 ABCD 是菱形，
\ H 是 AC 中点，也是 BD 中点， 由 A(4, 0) ， C(4, 4) 可得 H (4, 2) ，
设 B( p, q) ，

Q D(0, 2) ，
ì p + 0 = 4

\ ï 2 ，
ï
í q + 2
= 2
îï 2

íq = 2
解得ì p = 8 ，
î

\ B(8, 2) ，
在 y = 16 中，令 x = 8 得 y = 2 ，
x
\ B 在反比例函数 y = 16 的图象上．
x

24．（12 分）如图，抛物线 y = - 1 x2 + 3 x + 2 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），
2 2
与 y 轴交于点C ，连接 BC ．

（1） 求点 A 、 B 、C 的坐标；

（2） 设 x 轴上的一个动点 P 的横坐标为t ，过点 P 作直线 PN ^ x 轴，交抛物线于点 N ，交直线 BC 于点 M ．
①当点 P 在线段 AB 上时，设 MN 的长度为 s ，求 s 与t 的函数关系式；
②当点 P 在线段OB 上时，是否存在点 P ，使得以O 、P 、N 三点为顶点的三角形与DCOB

相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）Q点 A 、 B 、C 在二次函数图象上，
\把 x = 0 代入 y = - 1 x2 + 3 x + 2 ，得 y = 2 ，
2 2
把 y = 0 代入 y = - 1 x2 + 3 x + 2 ，得 x = -1 ， x = 4 ，

2 2 1 2
\ A(-1, 0) ， B(4, 0) ， C(0, 2) ；

（2）①设直线 BC 的解析式为 y = kx + b(k ¹ 0) ，

íb = 2
把 B(4, 0) ， C(0, 2) 代入，得ì4k + b = 0 ，
î

í
ìk = - 1
解得： ï 2 ，
ïîb = 2
\直线 BC 的解析式为 y = - 1 x + 2 ，
2
QOP = t ，
\ P(t, 0) ， M (t, - 1 t + 2) ， N (t, - 1 t 2 + 3 t + 2) ，如图：
2 2 2

\ S = N P - M P = - 1 t 2 + 3 t + 2 - (- 1 t + 2) = - 1 t 2 + 2t(0 < t < 4) ，

1 1 1 1 1

S2 = M 2 P2 - N2 P2
2 2 2 2
= - 1 t + 2 - (- 1 t 2 + 3 t + 2) = 1 t 2 - 2t(-1 < t < 0) ，
2 2 2 2

ì 1 t 2 - 2t(-1 < t < 0)
即 S = ï 2 ；
1
í
ï
ï- t 2 + 2t(0 < t < 4)
î 2

②存在，理由： 如图：

若DOPN∽DCOB ，当OP 与OC 是对应边时，则 OP = NP ，
CO BO

即 1 t =
- 1 t 2 + 3 t + 2
2 2 ，

2 4
化简得： t 2 + t - 4 = 0 ，

解得： t = -1 ±
2
17 （舍去负值），

若DOPN∽DBOC ，当OP 与OB 是对应边时，则 OP = PN ，
BO CO

即 t =
- 1 t 2 + 3 t + 2
2 2 ，

4 2
5
化简得： t 2 - 2t - 4 = 0 ，

5
解得： t = 1 ± ，（舍去负值），
\符合题意的点 P 的坐标为( -1 +
2

17 ， 0) 和(1 + ， 0) ．

25．（12 分）如图①，已知eO 是DABC 的外接圆，ÐABC = ÐACB = a(45° < a< 90° ， D 为
¶AB 上一点，连接CD 交 AB 于点 E ．
（1） 连接 BD ，若ÐCDB = 40° ，求a的大小；
（2） 如图②，若点 B 恰好是C¶D 中点，求证： CE 2 = BE × BA ；
（3） 如图③，将CD 分别沿 BC 、 AC 翻折得到CM 、CN ，连接 MN ，若CD 为直径，请问 AB 是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
MN
【解答】解：（1）Q B¶C = B¶C ，
\ÐCAB = ÐCDB = 40° ，
QÐABC + ÐACB + ÐCAB = 180° ， ÐABC = ÐACB = a，
\a= 1 ´ (180° - 40°) = 70° ；
2
（2） 证明：Q点 B 是C¶D 的中点，
\ B¶D = B¶C ，

\ÐDCB = ÐA ，
QÐABC = ÐCBE ，
\DBCE∽DBAC ，
\ BC = BE ，
BA BC

\ BC 2 = BE × BA ，
QÐACB = ÐACD + ÐBCD ， ÐBEC = ÐACD + ÐA ， ÐBCD = ÐA ，
\ÐABC = ÐACB = ÐBEC ，
\ CB = CE ，
\CE 2 = BE × BA ；
（3） 是定值．
方法一：Q将CD 分别沿 BC 、 AC 翻折得到CM 、CN ，
\ÐDCN = 2ÐDCA ， ÐDCM = 2ÐDCB ， CN = CD = CM = 2r ，
\ÐMCN = 2ÐACB = 2a，
过点C 作CQ ^ MN 于点Q ，则 MN = 2NQ ， ÐNCQ = 1 ÐMCN = a， ÐCQN = 90° ，
2
连接 AO 并延长交eO 于点 P ，连接 BP ，则ÐABP = 90° ，
Q ¶AB = A¶B ，
\ÐP = ÐACB = ÐNCQ = a，
Q AP = CN ， ÐABP = 90° = ÐNQC ，